Fiche de cours Logimaths | 5ème
Fiche de cours : Parallélogrammes
Si… alors…, le parallélogramme et sa famille royale
I. Si… alors… : l'art de la propriété
Condition et conclusion
Une propriété est une machine « si (condition) alors (conclusion) ».
Exemple : SI un nombre entier se termine par 0, ALORS il est pair. ✔
Exemple : SI un nombre entier se termine par 0, ALORS il est pair. ✔
⚠️ La réciproque n'est pas automatique
La réciproque échange condition et conclusion… et peut devenir FAUSSE :
« Si un nombre est pair, alors il se termine par 0 » : faux, regarde 14 ! Avant d'utiliser une réciproque, vérifie qu'elle est vraie.
« Si un nombre est pair, alors il se termine par 0 » : faux, regarde 14 ! Avant d'utiliser une réciproque, vérifie qu'elle est vraie.
👆 ▶ À toi : la réciproque de « si ABCD est un carré, alors ses 4 côtés sont égaux » est-elle vraie ? Vérifie
Réciproque : « si les 4 côtés sont égaux, alors c'est un carré » : fausse ! Un losange non carré a aussi 4 côtés égaux.
🎮 Entraîne-toi : la réciproque est-elle vraie ?
Énonce la réciproque dans ta tête, puis réponds.
II. Le parallélogramme et ses propriétés
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
| Si ABCD est un parallélogramme, alors… |
|---|
| ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur |
| ses diagonales se coupent en leur milieu O |
| O est son centre de symétrie |
| ses angles opposés sont égaux |
👆 ▶ À toi : ABCD est un parallélogramme avec AB = 8 cm et BC = 5 cm. Son périmètre ? Vérifie
CD = AB = 8 et AD = BC = 5 (côtés opposés égaux).
Périmètre : 8 + 5 + 8 + 5 = 26 cm.
Périmètre : 8 + 5 + 8 + 5 = 26 cm.
🎮 Entraîne-toi : utiliser les propriétés
ABCD est un parallélogramme de centre O. Réponds.
III. Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Trois portes d'entrée (quadrilatère non croisé)
- Ses côtés opposés sont parallèles (la définition).
- Ses diagonales se coupent en leur milieu.
- Deux côtés opposés sont parallèles ET de même longueur.
⚠️ Des diagonales de même longueur ne suffisent PAS
Deux diagonales égales sans se couper en leur milieu : aucun parallélogramme en vue. C'est le milieu qui compte, pas la longueur !
👆 ▶ À toi : les diagonales de MNPQ se coupent en leur milieu. Conclusion ? Vérifie
Par la propriété réciproque des diagonales : MNPQ est un parallélogramme. Démonstration en une ligne.
🎮 Entraîne-toi : peut-on conclure ?
L'information donnée permet-elle d'affirmer que le quadrilatère (non croisé) est un parallélogramme ?
Défi :
IV. La famille royale : rectangle, losange, carré
| Parallélogramme particulier | Sa marque de fabrique | Ses diagonales (en plus du milieu) |
|---|---|---|
| Rectangle | 4 angles droits | de même longueur |
| Losange | 4 côtés égaux | perpendiculaires |
| Carré | rectangle ET losange à la fois | même longueur ET perpendiculaires |
Reconnaître à partir d'un parallélogramme
Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.
Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
Un parallélogramme avec les deux propriétés à la fois : un carré.
Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
Un parallélogramme avec les deux propriétés à la fois : un carré.
👆 ▶ À toi : un carré est-il un rectangle ? un losange ? un parallélogramme ? Vérifie
Les trois à la fois ! 4 angles droits (rectangle ✔), 4 côtés égaux (losange ✔), côtés opposés parallèles (parallélogramme ✔). Le carré cumule tous les privilèges.
🎮 Entraîne-toi : qui suis-je ?
On part d'un PARALLÉLOGRAMME et on ajoute un indice : trouve le plus précis.