Fiche d'exercices Logimaths | 5ème
Fiche d'exercices : Triangles
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Constructible ou pas ?⭐
Pour chaque triplet de longueurs, dis si le triangle est constructible, en justifiant :
- 4 cm ; 7 cm ; 9 cm
- 3 cm ; 5 cm ; 10 cm
- 6 cm ; 2 cm ; 8 cm
- 5 cm ; 5 cm ; 5 cm
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. 9 < 4 + 7 = 11 : constructible.
2. 10 > 3 + 5 = 8 : impossible.
3. 8 = 6 + 2 : triangle aplati, les points seraient alignés : impossible.
4. 5 < 5 + 5 : constructible (et même équilatéral).
2. 10 > 3 + 5 = 8 : impossible.
3. 8 = 6 + 2 : triangle aplati, les points seraient alignés : impossible.
4. 5 < 5 + 5 : constructible (et même équilatéral).
Exercice 2 : Le troisième côté⭐
Deux côtés d'un triangle mesurent 4 cm et 9 cm.
- Le 3ᵉ côté peut-il mesurer 13 cm ? 5 cm ? 6 cm ?
- Donne toutes les longueurs ENTIÈRES possibles du 3ᵉ côté.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. 13 = 4 + 9 : aplati, non. 5 : il faut 9 < 4 + 5 = 9… égalité, non. 6 : 9 < 4 + 6 = 10 ✔ oui.
2. Il faut dépasser 9 − 4 = 5 et rester sous 9 + 4 = 13 : 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12 cm (7 valeurs).
2. Il faut dépasser 9 − 4 = 5 et rester sous 9 + 4 = 13 : 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12 cm (7 valeurs).
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Programmes de construction⭐⭐
Pour chaque triangle, fais un croquis à main levée puis construis en vraie grandeur :
- Triangle DEF avec DE = 6 cm, DF = 5 cm et EF = 4 cm.
- Triangle GHI avec GH = 5 cm, l'angle en G mesurant 40° et GI = 7 cm.
- Triangle JKL avec JK = 6 cm, l'angle en J mesurant 55° et l'angle en K mesurant 65°.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. On trace [DE] (6 cm), puis un arc de rayon 5 cm centré en D et un arc de rayon 4 cm centré en E : leur croisement donne F.
2. On trace [GH] (5 cm), l'angle de 40° au rapporteur en G, on reporte 7 cm sur la demi-droite : c'est I, on relie I et H.
3. On trace [JK] (6 cm), un angle de 55° en J, un angle de 65° en K : les deux demi-droites se croisent en L.
Contrôle : dans le 3ᵉ, l'angle en L doit mesurer 180 − 55 − 65 = 60°.
2. On trace [GH] (5 cm), l'angle de 40° au rapporteur en G, on reporte 7 cm sur la demi-droite : c'est I, on relie I et H.
3. On trace [JK] (6 cm), un angle de 55° en J, un angle de 65° en K : les deux demi-droites se croisent en L.
Contrôle : dans le 3ᵉ, l'angle en L doit mesurer 180 − 55 − 65 = 60°.
Exercice 4 : Qui est qui ?⭐⭐
Sur la figure, trois droites remarquables sont tracées et numérotées :Associe chaque numéro à son nom (médiane, hauteur, médiatrice) en t'appuyant sur les codages.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
(1) part du sommet C et coupe [AB] en son milieu (codages) : c'est la médiane issue de C.
(2) part du sommet B, perpendiculaire à (AC) (angle droit) : c'est la hauteur issue de B.
(3) coupe [BC] en son milieu ET perpendiculairement, sans passer par un sommet : c'est la médiatrice de [BC].
(2) part du sommet B, perpendiculaire à (AC) (angle droit) : c'est la hauteur issue de B.
(3) coupe [BC] en son milieu ET perpendiculairement, sans passer par un sommet : c'est la médiatrice de [BC].
Exercice 5 : La propriété de la médiatrice⭐⭐
Le point M est sur la médiatrice du segment [AB], avec MA = 7 cm.
- Que vaut MB ? Pourquoi ?
- Un point N vérifie NA = 5 cm et NB = 6 cm. N peut-il être sur la médiatrice de [AB] ?
- Où se trouvent TOUS les points à égale distance de A et de B ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. MB = 7 cm : tout point de la médiatrice est équidistant de A et de B.
2. Non : 5 ≠ 6, N n'est pas équidistant, donc pas sur la médiatrice.
3. Exactement sur la médiatrice de [AB] : c'est sa carte d'identité.
2. Non : 5 ≠ 6, N n'est pas équidistant, donc pas sur la médiatrice.
3. Exactement sur la médiatrice de [AB] : c'est sa carte d'identité.
Exercice 6 : Médiane et aires⭐⭐
Dans un triangle RST d'aire 24 cm², on trace la médiane issue de R, qui coupe [ST] en son milieu M.
- Quelle est l'aire du triangle RSM ? Justifie.
- Ce résultat dépend-il de la forme du triangle ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire : aire de RSM = 24 : 2 = 12 cm².
2. Non : c'est vrai pour TOUS les triangles (même base SM = MT, même hauteur issue de R).
2. Non : c'est vrai pour TOUS les triangles (même base SM = MT, même hauteur issue de R).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Le cercle qui attrape les trois sommets⭐⭐⭐
- Quelles droites faut-il tracer pour trouver le centre du cercle circonscrit à un triangle ?
- Pourquoi ce centre est-il à égale distance des trois sommets ? (Utilise la propriété de la médiatrice.)
- Suffit-il de tracer deux de ces droites au lieu de trois ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Les médiatrices des côtés : leur point de concours est le centre O.
2. O est sur la médiatrice de [AB], donc OA = OB ; il est sur celle de [BC], donc OB = OC.
Ainsi OA = OB = OC : le cercle de centre O passant par A passe aussi par B et C.
3. Oui : deux médiatrices suffisent à trouver O, la troisième passe forcément par lui.
2. O est sur la médiatrice de [AB], donc OA = OB ; il est sur celle de [BC], donc OB = OC.
Ainsi OA = OB = OC : le cercle de centre O passant par A passe aussi par B et C.
3. Oui : deux médiatrices suffisent à trouver O, la troisième passe forcément par lui.
Exercice 8 : Défis⭐⭐⭐
- Un triangle isocèle a deux côtés de 5 cm. Combien de longueurs entières sont possibles pour le troisième côté ?
- Dans un triangle ÉQUILATÉRAL, que peut-on dire de la hauteur, de la médiane et de la médiatrice issues du même sommet ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Le 3ᵉ côté doit vérifier 0 < c < 5 + 5 = 10 : c ∈ {1, 2, …, 9}, soit 9 longueurs possibles.
2. Elles sont confondues : une seule droite joue les trois rôles à la fois (elle passe par le sommet, coupe le côté opposé en son milieu ET perpendiculairement). La symétrie parfaite de l'équilatéral fait tout fusionner.
2. Elles sont confondues : une seule droite joue les trois rôles à la fois (elle passe par le sommet, coupe le côté opposé en son milieu ET perpendiculairement). La symétrie parfaite de l'équilatéral fait tout fusionner.