Fiche de cours Logimaths | 5ème
Fiche de cours : Triangles
Inégalité triangulaire, constructions et droites remarquables
I. Peut-on toujours construire un triangle ?
L'inégalité triangulaire
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est plus petite que la somme des deux autres.
En pratique, il suffit de tester le PLUS GRAND côté : s'il est plus petit que la somme des deux autres, le triangle existe.
En pratique, il suffit de tester le PLUS GRAND côté : s'il est plus petit que la somme des deux autres, le triangle existe.
3 cm, 5 cm, 7 cm : 7 < 3 + 5 ✔ constructible | 2 cm, 4 cm, 9 cm : 9 > 2 + 4 ✘ impossible
⚠️ Le cas d'égalité : le triangle aplati
Avec 3 cm, 5 cm et 8 cm : 8 = 3 + 5. Les trois « sommets » sont alignés : le triangle est plat, il n'existe pas vraiment.
👆 ▶ À toi : peut-on construire un triangle de côtés 6 cm, 6 cm et 11 cm ? Puis vérifie
Le plus grand côté est 11, et 11 < 6 + 6 = 12 : oui, constructible (il sera isocèle et très aplati !).
7 cm
5 cm
4 cm
🎮 Entraîne-toi : constructible ou pas ?
Teste le plus grand côté contre la somme des deux autres.
🎮 Entraîne-toi : le troisième côté
Les longueurs sont des nombres entiers de centimètres.
cm
II. Construire un triangle
Trois situations, trois outils
- Trois côtés connus : on trace un côté, puis deux arcs de compas qui se croisent.
- Deux côtés et l'angle entre eux : côté, rapporteur pour l'angle, puis report du deuxième côté.
- Un côté et ses deux angles : côté, puis un angle à chaque extrémité ; le troisième sommet apparaît au croisement.
👆 ▶ À toi : décris les étapes pour construire un triangle MNP avec MN = 7 cm, l'angle en M à 50° et MP = 4 cm. Vérifie
Croquis à main levée d'abord. Puis : on trace [MN] de 7 cm ;
au rapporteur, on marque un angle de 50° de sommet M ;
sur cette demi-droite, on reporte MP = 4 cm au compas ou à la règle : P est placé, on relie P à N.
au rapporteur, on marque un angle de 50° de sommet M ;
sur cette demi-droite, on reporte MP = 4 cm au compas ou à la règle : P est placé, on relie P à N.
III. Les droites remarquables
| Droite | Définition | Les 3 ensemble… |
|---|---|---|
| Médiatrice (d'un côté) | perpendiculaire au côté en son milieu | se croisent au centre du cercle circonscrit (il passe par les 3 sommets) |
| Hauteur | passe par un sommet, perpendiculaire au côté opposé | se croisent à l'orthocentre |
| Médiane | passe par un sommet et le milieu du côté opposé | se croisent au centre de gravité |
La propriété clé de la médiatrice
Tout point de la médiatrice de [AB] est à égale distance de A et de B (on dit équidistant).
C'est pour ça que le centre du cercle circonscrit touche les trois sommets à la même distance !
C'est pour ça que le centre du cercle circonscrit touche les trois sommets à la même distance !
⚠️ Hauteur ou médiane ? Regarde le codage
La hauteur porte un petit carré (angle droit) au pied ; la médiane porte les codages de milieu sur le côté coupé. Sur la figure ci-dessus, retrouve les deux !
👆 ▶ À toi : la médiatrice d'un côté passe-t-elle toujours par un sommet du triangle ? Vérifie
Non ! Elle passe par le MILIEU d'un côté, perpendiculairement, sans se soucier des sommets.
(Elle ne passe par le sommet opposé que si le triangle est isocèle.)
(Elle ne passe par le sommet opposé que si le triangle est isocèle.)
🎮 Entraîne-toi : quelle droite suis-je ?
Lis la description et retrouve la droite remarquable.