Fiche de cours Logimaths | 5ème
Fiche de cours : Statistiques et probabilités
Compter, résumer, représenter… et apprivoiser le hasard
I. Effectifs et fréquences
Compter, puis comparer
L'effectif d'une catégorie, c'est le nombre d'individus qu'elle contient ; l'effectif total est la somme de tous les effectifs.
La fréquence = effectif : effectif total. En %, elle permet de comparer des groupes de tailles différentes.
La fréquence = effectif : effectif total. En %, elle permet de comparer des groupes de tailles différentes.
| Sport préféré | Football | Danse | Natation | Autre | TOTAL |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 10 | 5 | 7 | 3 | 25 |
| Fréquence | 40 % | 20 % | 28 % | 12 % | 100 % |
Calculer une fréquence
Fréquence du football : 10/25 = 0,40 = 40 %.
Contrôle malin : la ligne des fréquences doit toujours totaliser 100 %.
Contrôle malin : la ligne des fréquences doit toujours totaliser 100 %.
Trois représentations, une seule série
Un tableau, un diagramme en barres et un diagramme circulaire ne disent pas trois choses différentes : ils disent la même chose, autrement.
Change un effectif ci-dessous (tire le haut d'une barre, ou clique sur − et +) et regarde : la barre, le secteur et les lignes du tableau bougent en même temps.
Change un effectif ci-dessous (tire le haut d'une barre, ou clique sur − et +) et regarde : la barre, le secteur et les lignes du tableau bougent en même temps.
👆 ▶ À toi : dans une autre classe, 6 élèves sur 24 préfèrent la danse. Quelle fréquence ? Puis vérifie
6/24 = 1/4 = 25 %.
🎮 Entraîne-toi : les fréquences
Calcule la fréquence en % (résultat entier).
%
II. La moyenne
Définition
Moyenne = somme des valeurs : nombre de valeurs.
Exemple
Pluie tombée sur 5 jours : 2 mm, 8 mm, 0 mm, 11 mm, 4 mm.
Moyenne : (2 + 8 + 0 + 11 + 4) : 5 = 25 : 5 = 5 mm par jour.
Moyenne : (2 + 8 + 0 + 11 + 4) : 5 = 25 : 5 = 5 mm par jour.
⚠️ La moyenne peut n'être aucune des valeurs
Ici, aucun jour n'a reçu exactement 5 mm ! La moyenne résume la série, elle n'en fait pas forcément partie. Et n'oublie pas les valeurs nulles dans le compte : le 0 mm compte comme un jour.
La moyenne, c'est le point d'équilibre
Pose les valeurs sur une planche et cherche où mettre le pivot pour que tout tienne droit : ce point, c'est la moyenne.
Regarde les deux sommes affichées : à l'équilibre, les écarts à gauche valent exactement les écarts à droite.
Regarde les deux sommes affichées : à l'équilibre, les écarts à gauche valent exactement les écarts à droite.
👆 ▶ À toi : calcule la moyenne de 14, 9, 16 et 13, puis vérifie
(14 + 9 + 16 + 13) : 4 = 52 : 4 = 13.
🎮 Entraîne-toi : la moyenne
Calcule la moyenne de la série (résultat entier).
III. Les diagrammes
Barres ou camembert ?
Le diagramme en barres est parfait pour comparer les effectifs et repérer le plus grand ou le plus petit.
Le diagramme circulaire montre les proportions : on voit d'un coup d'œil « la moitié », « le quart »…
Le diagramme circulaire montre les proportions : on voit d'un coup d'œil « la moitié », « le quart »…
L'angle d'un secteur
Le disque entier (360°) représente l'effectif total : chaque secteur est proportionnel à son effectif.
Sur 24 élèves, 6 viennent à pied : secteur = 6 × (360 : 24) = 6 × 15 = 90°.
Formule à retenir : {\text{angle} = 360^{\circ}\times \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}}. Contrôle : la somme des angles doit faire exactement 360°.
Sur 24 élèves, 6 viennent à pied : secteur = 6 × (360 : 24) = 6 × 15 = 90°.
Formule à retenir : {\text{angle} = 360^{\circ}\times \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}}. Contrôle : la somme des angles doit faire exactement 360°.
👆 ▶ À toi : sur 18 élèves, 6 mangent à la cantine. Quel angle de secteur ? Puis vérifie
360 : 18 = 20° par élève.
Donc 6 × 20 = 120° (le tiers du disque, logique : 6 c'est le tiers de 18).
Donc 6 × 20 = 120° (le tiers du disque, logique : 6 c'est le tiers de 18).
🎮 Entraîne-toi : l'angle du secteur
Calcule l'angle en degrés (résultat entier).
°
Le graphique cartésien : suivre une évolution
Quand les données suivent le temps (des mois, des années), on relie les points : le graphique montre alors les montées et les descentes.
Deux questions se ressemblent mais ne veulent pas dire la même chose : « quand la valeur est-elle la plus grande ? » (le point le plus haut) et « quand la hausse est-elle la plus forte ? » (le trait le plus raide).
Deux questions se ressemblent mais ne veulent pas dire la même chose : « quand la valeur est-elle la plus grande ? » (le point le plus haut) et « quand la hausse est-elle la plus forte ? » (le trait le plus raide).
IV. Premiers pas vers le hasard
Expérience aléatoire
Une expérience est aléatoire quand on ne peut pas prévoir son résultat (lancer un dé, tirer une carte…).
Les résultats possibles s'appellent les issues : un dé classique a 6 issues.
Les résultats possibles s'appellent les issues : un dé classique a 6 issues.
Comparer des chances : on compte les issues
On écrit chaque lettre de CALCULATRICE sur une carte (12 cartes) et on tire au hasard.
Le C apparaît 3 fois, le A 2 fois, le T 1 fois : on a plus de chances de tirer un C qu'un T. Et voyelles (5 cartes) contre consonnes (7 cartes) : la consonne part favorite !
Le C apparaît 3 fois, le A 2 fois, le T 1 fois : on a plus de chances de tirer un C qu'un T. Et voyelles (5 cartes) contre consonnes (7 cartes) : la consonne part favorite !
⚠️ Le dé n'a pas de mémoire
Même après trois 6 d'affilée, la chance d'obtenir un 6 au lancer suivant reste exactement la même : 1 issue sur 6.
👆 ▶ À toi : dans DIVISIBILITE, a-t-on plus de chances de tirer un I ou un autre caractère double ? Vérifie
D-I-V-I-S-I-B-I-L-I-T-E : le I apparaît 5 fois sur 12 cartes !
Toutes les autres lettres apparaissent au plus 1 fois : le I est ultra-favori.
Toutes les autres lettres apparaissent au plus 1 fois : le I est ultra-favori.
🎮 Entraîne-toi : comparer les chances
Dans le sac, quelle couleur a le plus de chances de sortir ?