Fiche de cours Logimaths | 5ème
Fiche de cours : Symétries
Le miroir (axiale) et le demi-tour (centrale)
I. Deux symétries à ne pas confondre
Symétrie AXIALE
le miroir 🪞
pliage le long d'une droite : (d) est la médiatrice de [MM']
Symétrie CENTRALE
le demi-tour 🔄
rotation d'un demi-tour autour d'un point : O est le milieu de [MM']
La définition qui sert à tout
M' est le symétrique de M par rapport à O signifie que O est le milieu du segment [MM'].
Cas particulier : le symétrique de O lui-même… c'est O.
Cas particulier : le symétrique de O lui-même… c'est O.
👆 ▶ À toi : M' est le symétrique de M par rapport à O, et MO = 3,5 cm. Que vaut MM' ? Vérifie
O est le milieu : MM' = 2 × MO = 7 cm.
🎮 Entraîne-toi : symétriques dans un repère
Donne les coordonnées du symétrique demandé.
(
;
)
| [AB] | [BC] | [CA] | angle en A | |
|---|---|---|---|---|
| figure de départ | ||||
| son image |
II. Construire le symétrique par rapport à un point
La construction au compas (ou à la règle graduée)
- Trace la demi-droite [MO] et prolonge-la au-delà de O.
- Reporte la longueur MO de l'autre côté de O (compas ou règle) : tu obtiens M'.
- Pour une figure entière : construis le symétrique de chaque sommet, puis relie.
⚠️ L'image est à l'envers
Après un demi-tour, la figure est « tête en bas » : c'est normal ! Ses dimensions, elles, n'ont pas bougé d'un millimètre.
👆 ▶ À toi : le symétrique de A(3 ; 1) par rapport à l'origine du repère ? Vérifie
Demi-tour autour de O : les DEUX coordonnées changent de signe : A'(−3 ; −1).
🎮 Entraîne-toi : le centre est un milieu
O est le centre de la symétrie. Complète les coordonnées de l'image M'.
M' (
;
)
III. Ce que la symétrie centrale conserve
| Objet | Son image |
|---|---|
| une droite | une droite parallèle |
| un segment | un segment parallèle et de même longueur |
| des points alignés | des points alignés |
| un milieu | un milieu |
| un cercle | un cercle de même rayon (le centre suit la symétrie) |
| un angle | un angle de même mesure |
| une figure | une figure de même aire et même périmètre |
L'argument massue pour prouver un parallélisme
A' et B' sont les symétriques de A et B par rapport à O : alors la droite (A'B') est l'image de la droite (AB).
Or deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles : (AB) // (A'B'). Démonstration en trois lignes !
Or deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles : (AB) // (A'B'). Démonstration en trois lignes !
👆 ▶ À toi : un cercle de rayon 2,5 cm a pour image un cercle par symétrie centrale. Son rayon ? Vérifie
La symétrie centrale conserve les rayons : 2,5 cm aussi.
🎮 Entraîne-toi : les conservations
Réponds (les symétries ne déforment rien !).
IV. Axe et centre de symétrie d'une figure
Deux cartes d'identité
Une droite est un axe de symétrie d'une figure si le pliage le long de la droite superpose les deux moitiés.
Un point est un centre de symétrie si le demi-tour autour du point superpose la figure à elle-même.
Un point est un centre de symétrie si le demi-tour autour du point superpose la figure à elle-même.
⚠️ Le piège du triangle équilatéral
Trois axes de symétrie… mais AUCUN centre de symétrie : retourné d'un demi-tour, le triangle pointe vers le bas et ne se superpose pas ! Beaucoup d'axes n'impliquent pas un centre.
👆 ▶ À toi : la lettre H (majuscule d'imprimerie) a-t-elle des axes ? un centre ? Vérifie
Le H a 2 axes (vertical et horizontal) et, cerise sur le gâteau, un centre de symétrie en plein milieu : retourné, il reste un H.
🎮 Entraîne-toi : centre de symétrie ou pas ?
La figure possède-t-elle un CENTRE de symétrie ?