Fiche d'exercices : Analyse de productions d'élèves

La règle. À chaque rang, l'élève soustrait le plus petit chiffre du plus grand, sans se soucier de savoir lequel est en haut. Vérification : en 1., 7 − 2 = 5 aux unités et 5 − 2 = 3 aux dizaines, ce qui donne bien 35. La même règle produit exactement les trois autres résultats.
Résultats corrects. 25, 26, 26 et 54.
Nature. Ce n'est pas un accident : l'erreur est régulière, elle se reproduit sur les quatre items et uniquement lorsqu'une retenue est nécessaire. Il s'agit d'une conception erronée sur la technique opératoire : pour cet élève, une soustraction se fait chiffre à chiffre, et « on ne peut pas enlever 7 à 2 ».
Piste de remédiation. Revenir au sens : matérialiser 52 avec 5 dizaines et 2 unités, constater qu'il faut casser une dizaine pour pouvoir en retirer 7, avant de revenir à la technique écrite.

1. Erreur de calcul. Isolée, non reproduite, dans un environnement par ailleurs correct : on la signale, on ne construit pas une séance dessus.
2. Erreur de procédure. Le sens de l'addition est acquis, c'est l'algorithme écrit qui n'est pas maîtrisé. On retravaille la technique sur des cas simples.
3. Conception erronée. La même règle fausse revient trois fois : l'élève compare les parties décimales comme des entiers.
4. Erreur de compréhension. Le calcul est juste, mais ce n'est pas celui que demande le problème : l'élève n'a pas identifié « gagne » comme une augmentation. Le travail porte sur la lecture de l'énoncé, pas sur le calcul.

Attention à l'item 4. Écrire « l'élève ne sait pas additionner » serait un contresens d'analyse : c'est justement la seule chose dont on soit sûr qu'il sache faire.

Items. 1. faux (0,7 = 70 centièmes > 25 centièmes). 2. juste. 3. faux (3,5 = 3,50 > 3,45). 4. faux : 2,60 et 2,6 sont égaux, le symbole > ne convient pas.
Diagnostic. Tout se passe comme si l'élève comparait les parties décimales entre elles comme des entiers : 25 > 7, 45 > 3, 45 > 5, 60 > 6. La règle est cohérente et appliquée fidèlement : c'est une conception erronée, pas une distraction.
Le piège de l'item 2. La règle fausse y donne la bonne réponse. Un enseignant qui ne corrigerait que les réponses fausses conclurait que l'élève « réussit une fois sur quatre » : c'est faux, il applique une règle unique qui tombe juste par hasard. Une conception erronée s'identifie sur la procédure, jamais sur le taux de réussite.
Remédiation. Faire placer les nombres sur une droite graduée de 0 à 1 partagée en dixièmes puis en centièmes ; faire convertir systématiquement dans la même unité (0,7 = 70 centièmes, 0,25 = 25 centièmes) ; puis travailler l'écriture 2,6 = 2,60 pour installer l'idée que les zéros finaux ne changent pas la valeur.

Résultats corrects. 5/6, puis 13/20, puis 5/4.
Alice. Elle additionne les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. La fraction est lue comme deux entiers superposés, sans rapport entre eux : le sens de la fraction comme quotient n'est pas construit.
Bilal. Il trouve le bon dénominateur commun (6, 20, 8 sont bien des multiples communs) mais il additionne les numérateurs sans les multiplier par le facteur correspondant. La technique est amorcée, une étape manque.
Le plus proche de la procédure experte : Bilal. Il a compris qu'il fallait un dénominateur commun, ce qui est le cœur de la méthode. Sa remédiation est ciblée (pourquoi 1/2 devient 3/6 et non 1/6). Alice, elle, doit d'abord revenir au sens : 1/2 + 1/3 vaut plus que 1/2, alors que sa réponse 2/5 vaut moins. Faire constater cette incohérence par un partage de bandes de papier est plus efficace que toute règle.

Ce que le jury valorise. Hiérarchiser les deux erreurs, au lieu de dire « les deux élèves se trompent ».

Items 1 et 2. 26 = 2 × (8 + 5) et 24 = 4 × 6 : dans les deux cas, l'élève a calculé le périmètre, avec une technique par ailleurs correcte. On attendait 8 × 5 = 40 cm² et 6 × 6 = 36 cm². L'unité cm² écrite sous un résultat de longueur confirme que les deux grandeurs ne sont pas distinguées : ce n'est ni une erreur de calcul, ni une erreur de procédure, mais une conception erronée.
Contre-exemple pour l'item 3. Un rectangle de 10 cm sur 1 cm a pour périmètre 22 cm et pour aire 10 cm². Un carré de 4 cm de côté a un périmètre plus petit (16 cm) mais une aire plus grande (16 cm²). Le périmètre a diminué et l'aire a augmenté : l'affirmation est fausse.
Remédiation. Faire recouvrir les figures par des carrés de 1 cm de côté (l'aire se compte), puis en faire entourer le contour avec une ficelle (le périmètre se mesure). Les deux grandeurs deviennent matériellement différentes avant tout retour aux formules.

Les trois procédures sont correctes, et les trois résultats aussi (120, 245, 42). Aucune n'est la procédure experte enseignée, mais toutes reposent sur des propriétés solides : la multiplication par 5 vue comme la moitié de la multiplication par 10, l'appui sur un nombre rond avec compensation, et l'appui sur un résultat connu.
Ce que le professeur doit écrire. Valider explicitement la démarche, la nommer (« tu es passé par 200, c'est efficace »), et éventuellement la faire présenter à la classe. Ces procédures relèvent du calcul mental réfléchi, qui est un attendu des programmes, pas un contournement.
Le risque. Exiger la technique posée reviendrait à sanctionner une réussite et à installer l'idée qu'il n'existe qu'une seule manière de calculer. L'élève cesserait de chercher, alors que ces stratégies sont précisément ce qu'on veut développer.

Erreur classique de candidat. Traiter « procédure non experte » comme un synonyme de « procédure à corriger ». Le bon geste est de valoriser, puis de faire évoluer vers une procédure plus économique quand les nombres deviennent grands.

1. 12 × 0,75 = 9 €.
2. L'élève tient une conception construite sur les entiers : « multiplier agrandit, diviser diminue ». Elle est vraie tant qu'on ne travaille qu'avec des entiers supérieurs à 1, ce qui est le cas pendant plusieurs années. Ici, il sait que le résultat doit être inférieur à 12 €, ce qui est un raisonnement correct sur les ordres de grandeur ; c'est le choix de l'opération qui échoue. Son contrôle du résultat lui-même est d'ailleurs pris en défaut, puisqu'il accepte 16 € alors qu'il vient d'affirmer que le prix doit être plus petit : à signaler dans l'analyse.
3. Ne pas commencer par la règle. Faire d'abord traiter la même situation avec des nombres qui rendent le calcul évident : prix de 2 kg, puis de 1 kg, puis de 0,5 kg (la moitié de 12, donc 6 €), puis de 0,25 kg. L'élève constate lui-même que l'opération ne change pas quand la quantité passe sous 1, et qu'une multiplication peut donner un résultat plus petit. Un tableau de proportionnalité rend la structure visible et permet de généraliser.

Procédure de l'élève. Pour multiplier par 10, l'élève écrit un zéro à droite du nombre ; pour multiplier par 100, il en écrit deux. La règle est appliquée fidèlement aux quatre items, en conservant la virgule à sa place. Elle donne d'ailleurs le bon résultat à l'item 4 : 25 × 10 = 250.

Nature de l'erreur. Ce n'est pas une erreur de calcul : l'élève ne se trompe dans aucune opération, et sa règle est parfaitement régulière. Il s'agit d'une conception erronée, construite sur les nombres entiers, où « multiplier par 10, c'est ajouter un zéro » fonctionne toujours. Transférée aux décimaux, la règle échoue parce qu'elle porte sur l'écriture du nombre et non sur sa valeur. L'item 4 est révélateur : la réussite y est un effet de la règle fausse, pas une preuve de compréhension. On attendait 42, 35 et 1270.

Remédiation. Faire constater l'incohérence avant d'énoncer la règle correcte : demander si 4,2 × 10 peut valoir 4,20, sachant que 4,20 est une autre écriture de 4,2 et donc que multiplier par 10 n'aurait rien changé. Puis travailler dans un tableau de numération : multiplier par 10 fait glisser chaque chiffre d'un rang vers la gauche, les unités deviennent des dizaines, les dixièmes deviennent des unités. Enfin, revenir à un contexte de mesure (4,2 m = 42 dm) pour donner du sens au déplacement des chiffres. La formulation « la virgule se déplace » sera introduite en dernier, comme une conséquence et non comme la règle.