Fiche d'exercices : Raisonnement et démonstration

1. Vraie. Si n est divisible par 9, alors n = 9k = 3 × (3k), donc n est un multiple de 3. Aucun contre-exemple n'est possible puisque la démonstration vaut pour tout k.
2. Fausse. Contre-exemple : 12 est divisible par 3 (12 = 3 × 4) mais pas par 9 (12 = 9 × 1 + 3). Un seul suffit.
3. Vraie. Un nombre est pair si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 : c'est le cas ici.
4. Vraie. (2k + 1)(2k' + 1) = 4kk' + 2k + 2k' + 1 = 2(2kk' + k + k') + 1, de la forme 2 × entier + 1, donc impair.

1. n = 2k, avec k entier.
2. n = 2k + 1, avec k entier.
3. n = 7k, avec k entier.
4. a = n et b = n + 1, avec n entier.
5. n = 2k avec k impair, c'est-à-dire n = 2(2m + 1) = 4m + 2, avec m entier. C'est la traduction la plus utile : elle montre directement que n laisse un reste de 2 dans la division par 4.

Point de méthode. « avec k entier » n'est pas une formalité : sans cette précision, n = 2k ne dit rien (tout nombre s'écrit 2k si k est un décimal quelconque).

1. Soit a = 2k et b = 2k', avec k et k' entiers. Alors a + b = 2(k + k'), et k + k' est un entier : la somme est paire.
2. Les cinq entiers s'écrivent n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4. Leur somme vaut 5n + 10 = 5(n + 2), avec n + 2 entier : c'est un multiple de 5.
3. Si n est impair, n = 2k + 1 avec k entier. Alors n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, de la forme 2 × entier + 1 : n² est impair.

Remarque utile pour le concours. En 2., prendre n comme premier des cinq entiers est un choix. Prendre n comme celui du milieu donne les entiers n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2 et une somme de 5n : la démonstration tient en une ligne. Bien choisir sa lettre fait gagner du temps.

1. L'énoncé ne dit pas si n est pair ou impair : on ne peut donc pas écrire n = 2k. Il faut envisager les deux situations.
2. Cas 1 : n est pair. Alors n = 2k avec k entier, et n(n + 1) = 2k(n + 1) = 2 × entier : le produit est pair.
Cas 2 : n est impair. Alors n + 1 est pair, donc n + 1 = 2k avec k entier, et n(n + 1) = 2kn = 2 × entier : le produit est encore pair.
Dans les deux cas, n(n + 1) est pair.
3. Tout entier est pair ou impair, et jamais les deux : les deux cas couvrent l'ensemble des entiers sans recouvrement. C'est cette phrase que le jury cherche : une disjonction incomplète est une démonstration trouée.

1. Réciproque : « si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un carré ». Elle est fausse : un rectangle de 5 cm sur 2 cm est un contre-exemple.
2. Contraposée : « si un quadrilatère n'est pas un rectangle, alors ce n'est pas un carré ». Elle est vraie, et elle l'est nécessairement : une contraposée a toujours la même valeur de vérité que l'implication de départ.
3. Il faudrait exhiber un carré qui ne soit pas un rectangle. C'est impossible, ce qui confirme que l'implication est vraie.
4. C'est le théorème de Pythagore. Sa réciproque (« si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle a un angle droit ») est vraie elle aussi, mais c'est un autre énoncé, qui sert à démontrer qu'un triangle est rectangle et non à calculer une longueur. Sa contraposée est le résultat qu'on emploie pour prouver qu'un triangle n'est pas rectangle.

1. Universelle. Prouver : une démonstration valable pour tout n. Réfuter : un contre-exemple (ici n = 5 donne 16, qui n'est pas premier : l'affirmation est fausse).
2. Existentielle. Prouver : un rectangle explicite (le rectangle 6 cm × 3 cm a pour aire 18 et pour périmètre 18). Réfuter : une démonstration montrant qu'aucun rectangle ne convient.
3. Universelle. Prouver : une démonstration générale. Réfuter : un contre-exemple (ici 11, qui n'est somme d'aucune paire de nombres premiers ; l'affirmation est fausse même si elle résiste sur les nombres pairs).
4. Existentielle. Prouver : exhiber le nombre (aucun ici entre 100 et 200, puisque 64 et 729 sont les puissances sixièmes qui encadrent l'intervalle). Réfuter : montrer qu'aucun entier de l'intervalle ne convient, ce qui est le cas.

À retenir. Se tromper de colonne, c'est répondre à côté : vérifier une affirmation universelle sur trois exemples ne prouve rien, et démontrer « en général » une affirmation existentielle est un travail inutile.

1. Supposons le contraire : il existe un entier n tel que n + (n + 1) soit pair.
2. Cette somme vaut 2n + 1. Si elle était paire, on aurait 2n + 1 = 2k pour un certain entier k, donc 1 = 2k − 2n = 2(k − n). Le nombre 1 serait alors le double d'un entier, c'est-à-dire un nombre pair : c'est faux.
3. La supposition est donc intenable : la somme de deux entiers consécutifs n'est jamais paire.
4. Directement : n + (n + 1) = 2n + 1, qui est de la forme 2 × entier + 1, donc impair, donc non pair. Le raisonnement direct est ici bien meilleur : l'absurde ne se justifie que lorsque la voie directe est bloquée. Le choisir sans nécessité alourdit la copie sans rapporter de points.

1. Fausse. Contre-exemple : 12 est divisible par 4 et par 6, mais pas par 24. Le bon énoncé fait intervenir le PPCM de 4 et 6, qui vaut 12 et non 24.
2. Fausse. Si le côté passe de c à 2c, l'aire passe de c² à (2c)² = 4c² : elle est multipliée par 4. Un exemple chiffré suffit pour réfuter : un carré de 3 cm a pour aire 9 cm², un carré de 6 cm a pour aire 36 cm².
3. Vraie. Deux nombres de même chiffre des unités diffèrent d'un multiple de 10, donc a − b = 10k. Or 10k = 5 × (2k) est un multiple de 5 : a et b ont donc le même reste modulo 5.
4. Vraie. Parmi trois entiers consécutifs n, n + 1, n + 2, l'un au moins est pair (le produit est donc divisible par 2) et l'un exactement est un multiple de 3 (les restes dans la division par 3 sont 0, 1 et 2 dans un ordre ou un autre). Comme 2 et 3 n'ont pas de diviseur commun autre que 1, le produit est divisible par 2 × 3 = 6.

Ce que le jury regarde. En 1. et 2., c'est le contre-exemple qui fait la réponse : il doit être écrit en entier, calcul compris. En 3. et 4., c'est l'argument général : citer trois exemples y vaudrait zéro.