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Fiche de cours : Continuité

Du raccord des courbes au théorème des valeurs intermédiaires

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I. Continuité en un point, sur un intervalle

Définition : continuité en un point Soit f définie sur \mathcal{D}_f et a \in \mathcal{D}_f. La fonction f est continue en a si

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

autrement dit : la limite de f en a existe ET elle vaut exactement f(a).
f est continue sur un intervalle I \subset \mathcal{D}_f si elle est continue en tout point de I.

Lecture graphique Sur un dessin, la continuité se voit d'un coup d'œil : la courbe d'une fonction continue se trace sans lever le crayon. Un point de discontinuité se repère par un saut de la courbe (point plein pour la valeur réellement prise, point creux pour la valeur « ratée »).

⚠️ Trois façons de perdre la continuité en a

f n'est pas définie en a (la question ne se pose même pas dans \mathcal{D}_f, mais un prolongement est parfois possible, voir la partie III) ;
la limite n'existe pas en a : limites à gauche et à droite différentes (un saut, comme sur la figure) ;
la limite existe mais ne vaut pas f(a) (la courbe vise un point, la valeur est ailleurs).

👆 ▶ À toi : un site facture la livraison 6 € pour toute commande de moins de 50 €, et l'offre dès 50 €. Les frais sont-ils une fonction continue du montant ? Vérifie

Non ! Notons L(x) les frais pour une commande de x €. Pour x < 50, L(x) = 6 ; pour x \geq 50, L(x) = 0.
La limite à gauche de 50 vaut 6, mais L(50) = 0 : la fonction fait un saut en 50, elle est discontinue en ce point (et continue partout ailleurs). Les effets de seuil de ce genre sont partout en économie : barèmes, remises, tarifs par tranches…

II. Fonctions usuelles et opérations

Théorème : continuité des fonctions usuelles Les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition :

les polynômes, sur ℝ ;
x \mapsto e^x sur ℝ, x \mapsto \ln(x) sur ]0\,;\,+\infty[ ;
x \mapsto \sqrt{x} sur [0\,;\,+\infty[, x \mapsto |x| sur ℝ ;
x \mapsto \dfrac{1}{x} sur chacun des intervalles ]-\infty\,;\,0[ et ]0\,;\,+\infty[.

Théorème : stabilité par opérations Si f et g sont continues sur un intervalle I, alors :

f + g et f \times g sont continues sur I ;
\dfrac{f}{g} est continue en tout point de I où g ne s'annule pas ;
la composée g \circ f est continue sur son ensemble de définition.

Méthode : justifier une continuité en une ligne On ne revient jamais à la définition : on décompose la fonction en briques usuelles.

Un coût total C(q) = 0{,}2q^2 + 5q + 80 est un polynôme : continu sur [0\,;\,+\infty[.
f(x) = (x^3 + 1)\,e^{-2x} est un produit d'un polynôme et d'une composée d'exponentielle : continue sur ℝ.
g(x) = \ln(x^2 + 1) est la composée de x \mapsto x^2 + 1 > 0 (continue) et de ln : continue sur ℝ.

👆 ▶ À toi : justifie que h(x) = (3x + 2)/(x² + 4) est continue sur ℝ. Vérifie

Numérateur et dénominateur sont des polynômes, donc continus sur ℝ. De plus x^2 + 4 \geq 4 > 0 : le dénominateur ne s'annule jamais. Quotient de fonctions continues à dénominateur non nul : h est continue sur ℝ.

🎮 Entraîne-toi : continue au raccord ?

Chaque morceau est continu : tout se joue au point de raccord. Compare la limite à gauche et la valeur à droite.

III. Prolongement par continuité

Définition : prolongement par continuité Soit f définie sur un intervalle privé d'un point a. Si \lim_{x \to a} f(x) = L avec L réel (limite finie), alors la fonction \tilde{f} définie par

\tilde{f}(x) = f(x) \text{ si } x \neq a \quad \text{et} \quad \tilde{f}(a) = L

est continue en a : on dit que f est prolongeable par continuité en a. Concrètement, on « bouche le trou » de la courbe avec la valeur de la limite.

Exemple rédigé Soit f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}, définie pour x \neq 3.
Pour x \neq 3 : \begin{aligned}f(x) &= \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} \\ &= x + 3\end{aligned} donc \lim_{x \to 3} f(x) = 6.
La limite est finie : f se prolonge par continuité en 3 en posant \tilde{f}(3) = 6.

⚠️ Ce n'est pas toujours possible Le prolongement exige une limite finie. La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} n'a aucun prolongement continu en 0 : ses limites à gauche et à droite sont infinies (et opposées). Aucune valeur \tilde{f}(0) ne peut recoller la courbe.

👆 ▶ À toi : g(x) = (x² − 25)/(x − 5) est-elle prolongeable par continuité en 5 ? Vérifie

Pour x \neq 5 : \begin{aligned}g(x) &= \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} \\ &= x + 5 \to 10\end{aligned} La limite est finie : oui, on prolonge g en posant \tilde{g}(5) = 10.

🎮 Entraîne-toi : boucher le trou

Factorise, simplifie, puis donne la valeur qui prolonge la fonction par continuité.

IV. Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Soit f continue sur [a\,;\,b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c \in [a\,;\,b] tel que f(c) = k.
Autrement dit : une courbe continue ne peut pas passer d'une altitude à une autre sans traverser toutes les altitudes intermédiaires.

Théorème des valeurs intermédiaires strict (théorème de bijection) Si de plus f est strictement monotone sur [a\,;\,b], alors ce réel c est unique : l'équation f(x) = k admet exactement une solution dans [a\,;\,b].
On l'appelle aussi corollaire du TVI. Attention : « croissante » au sens large ne suffit pas, un palier horizontal peut donner une infinité de solutions.

Méthode : la rédaction en trois points Pour montrer que f(x) = k a une unique solution sur [a\,;\,b] :

f est continue sur [a\,;\,b] (fonctions usuelles + opérations) ;
k est compris entre f(a) et f(b) (on calcule les deux valeurs) ;
f est strictement monotone sur [a\,;\,b] (signe de la dérivée, ou somme de fonctions strictement monotones de même sens).

Conclusion : d'après le théorème des valeurs intermédiaires strict, l'équation admet une unique solution, qu'on encadre ensuite à la calculatrice.

Théorème : image d'un intervalle L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
En particulier, si f est continue sur [a\,;\,b], alors f([a\,;\,b]) = [m\,;\,M], où m et M sont le minimum et le maximum de f sur [a\,;\,b] (toutes les valeurs intermédiaires sont atteintes).
Si f est strictement croissante sur [a\,;\,b], alors f([a\,;\,b]) = [f(a)\,;\,f(b)].

Exemple rédigé : le seuil de rentabilité Le résultat mensuel d'un atelier (en milliers d'euros) pour q centaines d'articles vendus est modélisé par R(q) = 6\sqrt{q} - q - 8 pour q \in [0\,;\,9]. À partir de quelle production l'atelier est-il rentable ?

R est continue sur [0\,;\,9] (somme de fonctions usuelles continues) ;
R(0) = -8 < 0 et \begin{aligned}R(9) &= 18 - 9 - 8 \\ &= 1 > 0\end{aligned}
R'(q) = \dfrac{3}{\sqrt{q}} - 1 > 0 pour 0 < q < 9 : R est strictement croissante.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires strict, il existe un unique seuil q_0 tel que R(q_0) = 0 : en dessous l'atelier perd de l'argent, au-dessus il en gagne.

🎮 Entraîne-toi : que garantit le théorème ?

Vérifie les deux hypothèses (k entre les valeurs aux bornes ? stricte monotonie ?) et choisis la conclusion la plus précise.

Méthode : compter les solutions avec un tableau de variations Chaque flèche d'un tableau de variations représente une fonction continue et strictement monotone sur l'intervalle : on applique donc le théorème de bijection flèche par flèche. Sur chaque flèche, l'équation f(x) = k a une solution si (et seulement si) k est compris entre les valeurs des deux extrémités de la flèche. On additionne ensuite les solutions trouvées.

🎮 Entraîne-toi : compter les solutions

Une montée puis une descente : applique le théorème de bijection flèche par flèche et compte.

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