Fiche d'exercices Logimaths | L1 Éco
Fiche d'exercices : Continuité
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Justifier une continuité sans calcul⭐
Justifie en une phrase que chaque fonction est continue sur l'ensemble indiqué :
- f(x) = 4x^3 - x + 6 sur ℝ ;
- g(x) = \sqrt{x}\,(x^2 + 2) sur [0\,;\,+\infty[ ;
- h(x) = \dfrac{e^{3x}}{x^2 + 5} sur ℝ.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Fonction polynôme : continue sur ℝ.
2. Produit de x \mapsto \sqrt{x} (usuelle, continue sur [0\,;\,+\infty[) et d'un polynôme : continue sur [0\,;\,+\infty[.
3. Quotient d'une composée d'exponentielle (continue) et d'un polynôme qui vérifie x^2 + 5 \geq 5 > 0 (jamais nul) : continue sur ℝ.
2. Produit de x \mapsto \sqrt{x} (usuelle, continue sur [0\,;\,+\infty[) et d'un polynôme : continue sur [0\,;\,+\infty[.
3. Quotient d'une composée d'exponentielle (continue) et d'un polynôme qui vérifie x^2 + 5 \geq 5 > 0 (jamais nul) : continue sur ℝ.
Exercice 2 : Continue au raccord ?⭐
Soit f définie par f(x) = x^2 - 2x si x < 3 et f(x) = 2x - 3 si x \geq 3.
- Calcule la limite de f à gauche de 3, puis f(3).
- f est-elle continue en 3 ? Sur ℝ ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. À gauche : 3^2 - 2 \times 3 = 3. Et \begin{aligned}f(3) &= 2 \times 3 - 3 \\ &= 3\end{aligned}
2. Limite à gauche et valeur en 3 coïncident : f est continue en 3. Chaque morceau est polynomial, donc continu : f est continue sur ℝ.
2. Limite à gauche et valeur en 3 coïncident : f est continue en 3. Chaque morceau est polynomial, donc continu : f est continue sur ℝ.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Trouver le paramètre de raccord⭐⭐
Soit f définie par f(x) = x^2 + mx si {x < 2} et f(x) = 3x - 4 si x \geq 2, où m est un paramètre réel.
- Détermine m pour que f soit continue sur ℝ.
- Pour m = 1, décris le comportement de la courbe en x = 2.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Chaque morceau est polynomial : seul le raccord en 2 pose question. Limite à gauche : 4 + 2m ; valeur à droite : \begin{aligned}f(2) &= 6 - 4 \\ &= 2\end{aligned} Continuité ⟺ 4 + 2m = 2 ⟺ m = −1.
2. Pour m = 1, la courbe arrive à gauche en 4 + 2 = 6 et repart de 2 : elle fait un saut de 4 unités vers le bas, f est discontinue en 2.
2. Pour m = 1, la courbe arrive à gauche en 4 + 2 = 6 et repart de 2 : elle fait un saut de 4 unités vers le bas, f est discontinue en 2.
Exercice 4 : Prolongement par continuité⭐⭐
Chaque fonction est-elle prolongeable par continuité au point indiqué ? Si oui, donne la valeur du prolongement.
- f(x) = \dfrac{x^2 - 4x}{x} en 0 ;
- g(x) = \dfrac{x^2 - 49}{x - 7} en 7 ;
- h(x) = \dfrac{5}{x - 2} en 2.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Pour x \neq 0 : \begin{aligned}f(x) &= \dfrac{x(x - 4)}{x} \\ &= x - 4 \to -4\end{aligned} Limite finie : oui, on pose \tilde{f}(0) = -4.
2. Pour x \neq 7 : \begin{aligned}g(x) &= \dfrac{(x - 7)(x + 7)}{x - 7} \\ &= x + 7 \to 14\end{aligned} Oui, avec \tilde{g}(7) = 14.
3. Quand x tend vers 2, le dénominateur tend vers 0 mais pas le numérateur : les limites à gauche et à droite sont infinies (et opposées). Pas de limite finie : aucun prolongement continu possible en 2.
2. Pour x \neq 7 : \begin{aligned}g(x) &= \dfrac{(x - 7)(x + 7)}{x - 7} \\ &= x + 7 \to 14\end{aligned} Oui, avec \tilde{g}(7) = 14.
3. Quand x tend vers 2, le dénominateur tend vers 0 mais pas le numérateur : les limites à gauche et à droite sont infinies (et opposées). Pas de limite finie : aucun prolongement continu possible en 2.
Exercice 5 : Une unique solution, puis un encadrement⭐⭐
Soit g(x) = x^3 + 3x - 9 sur [1\,;\,2].
- Justifie que g est continue, puis calcule g(1) et g(2).
- Démontre que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution α dans [1\,;\,2].
- Sachant que g(1{,}6) \approx -0{,}10 et g(1{,}7) \approx 1{,}01, encadre α au dixième.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Polynôme, donc continue sur [1 ; 2]. \begin{aligned}g(1) &= 1 + 3 - 9 \\ &= -5\end{aligned} et \begin{aligned}g(2) &= 8 + 6 - 9 \\ &= 5\end{aligned}
2. g est continue, 0 est compris entre g(1) = -5 et g(2) = 5, et {g'(x) = 3x^2 + 3 > 0} donc g est strictement croissante : d'après le théorème des valeurs intermédiaires strict, l'équation admet une unique solution α dans [1 ; 2].
3. g change de signe entre 1,6 et 1,7 : 1{,}6 < \alpha < 1{,}7.
2. g est continue, 0 est compris entre g(1) = -5 et g(2) = 5, et {g'(x) = 3x^2 + 3 > 0} donc g est strictement croissante : d'après le théorème des valeurs intermédiaires strict, l'équation admet une unique solution α dans [1 ; 2].
3. g change de signe entre 1,6 et 1,7 : 1{,}6 < \alpha < 1{,}7.
Exercice 6 : Compter les solutions avec un tableau de variations⭐⭐
Une fonction f, continue sur [-2\,;\,7], est strictement décroissante de f(-2) = 6 à f(3) = -4, puis strictement croissante de f(3) = -4 à f(7) = 1. Donne le nombre de solutions de chaque équation sur [-2\,;\,7] :
- f(x) = 0 ;
- f(x) = 5 ;
- f(x) = -4 ;
- f(x) = 8.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
Chaque flèche du tableau représente une fonction continue et strictement monotone : on applique le théorème de bijection flèche par flèche.
1. 0 est entre −4 et 6 (une solution sur la descente) et entre −4 et 1 (une sur la montée) : 2 solutions.
2. 5 est entre −4 et 6, mais pas entre −4 et 1 : 1 solution.
3. −4 est le minimum, atteint uniquement en x = 3 : 1 solution.
4. 8 dépasse le maximum 6 : aucune solution.
1. 0 est entre −4 et 6 (une solution sur la descente) et entre −4 et 1 (une sur la montée) : 2 solutions.
2. 5 est entre −4 et 6, mais pas entre −4 et 1 : 1 solution.
3. −4 est le minimum, atteint uniquement en x = 3 : 1 solution.
4. 8 dépasse le maximum 6 : aucune solution.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Le seuil de rentabilité (contexte économique)⭐⭐⭐
Le résultat mensuel d'une entreprise, en milliers d'euros, pour q centaines d'articles vendus, est modélisé par R(q) = 0{,}5q - 4 - e^{-0{,}3q} pour q \in [0\,;\,20].
- Justifie que R est continue sur [0\,;\,20] et calcule R(0). Vérifie que R(20) > 0 (on donne e^{-6} \approx 0{,}002).
- Étudie le sens de variation de R.
- Démontre qu'il existe un unique seuil q_0 tel que R(q_0) = 0.
- Sachant que R(8) \approx -0{,}09 et R(9) \approx 0{,}43, donne un encadrement du seuil de rentabilité en nombre d'articles.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Somme d'une fonction affine et d'une composée d'exponentielle, toutes deux continues : R est continue sur [0 ; 20]. \begin{aligned}R(0) &= -4 - 1 \\ &= -5 < 0\end{aligned} et \begin{aligned}R(20) &= 10 - 4 - e^{-6} \\ &\approx 5{,}998 > 0\end{aligned}
2. R'(q) = 0{,}5 + 0{,}3\,e^{-0{,}3q} > 0 (somme de deux termes strictement positifs) : R est strictement croissante sur [0 ; 20].
3. R est continue, change de signe entre 0 et 20, et est strictement croissante : d'après le théorème des valeurs intermédiaires strict, il existe un unique q_0 \in [0\,;\,20] tel que R(q_0) = 0.
4. R change de signe entre 8 et 9 : {8 < q_0 < 9}. Le seuil de rentabilité se situe donc entre 800 et 900 articles vendus par mois : dès 900 articles, le résultat est positif.
2. R'(q) = 0{,}5 + 0{,}3\,e^{-0{,}3q} > 0 (somme de deux termes strictement positifs) : R est strictement croissante sur [0 ; 20].
3. R est continue, change de signe entre 0 et 20, et est strictement croissante : d'après le théorème des valeurs intermédiaires strict, il existe un unique q_0 \in [0\,;\,20] tel que R(q_0) = 0.
4. R change de signe entre 8 et 9 : {8 < q_0 < 9}. Le seuil de rentabilité se situe donc entre 800 et 900 articles vendus par mois : dès 900 articles, le résultat est positif.
Exercice 8 : Synthèse : image d'un intervalle et bijection⭐⭐⭐
Soit f(x) = x + \ln(x) sur [1\,;\,e].
- Justifie que f est continue sur [1\,;\,e] et montre que f y est strictement croissante.
- Détermine l'image f([1\,;\,e]).
- Démontre que l'équation f(x) = 2 admet une unique solution α dans [1\,;\,e].
- Sachant que \ln(1{,}5) \approx 0{,}41 et \ln(1{,}6) \approx 0{,}47, encadre α au dixième.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Somme de l'identité (polynôme) et de ln, continues sur [1\,;\,e] : f est continue. De plus f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} > 0 : f est strictement croissante.
2. f est continue et strictement croissante sur un intervalle fermé borné : \begin{aligned}f([1\,;\,e]) &= [f(1)\,;\,f(e)] \\ &= [1\,;\,e + 1]\end{aligned} (car \begin{aligned}f(1) &= 1 + 0 \\ &= 1\end{aligned} et f(e) = e + 1).
3. f est continue, strictement croissante, et 2 appartient à l'image [1\,;\,e + 1] (puisque 1 \leq 2 \leq e + 1 \approx 3{,}72) : d'après le théorème de bijection, l'équation f(x) = 2 admet une unique solution α.
4. \begin{aligned}f(1{,}5) &\approx 1{,}5 + 0{,}41 \\ &= 1{,}91 < 2\end{aligned} et \begin{aligned}f(1{,}6) &\approx 1{,}6 + 0{,}47 \\ &= 2{,}07 > 2\end{aligned} D'où 1{,}5 < \alpha < 1{,}6.
2. f est continue et strictement croissante sur un intervalle fermé borné : \begin{aligned}f([1\,;\,e]) &= [f(1)\,;\,f(e)] \\ &= [1\,;\,e + 1]\end{aligned} (car \begin{aligned}f(1) &= 1 + 0 \\ &= 1\end{aligned} et f(e) = e + 1).
3. f est continue, strictement croissante, et 2 appartient à l'image [1\,;\,e + 1] (puisque 1 \leq 2 \leq e + 1 \approx 3{,}72) : d'après le théorème de bijection, l'équation f(x) = 2 admet une unique solution α.
4. \begin{aligned}f(1{,}5) &\approx 1{,}5 + 0{,}41 \\ &= 1{,}91 < 2\end{aligned} et \begin{aligned}f(1{,}6) &\approx 1{,}6 + 0{,}47 \\ &= 2{,}07 > 2\end{aligned} D'où 1{,}5 < \alpha < 1{,}6.