Taux d'accroissement
Soit f une fonction et a \in D_f. Le taux d'accroissement de f en a est la fonction définie sur D_f \setminus \{a\} par : {x \mapsto \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}}. Graphiquement, c'est la pente de la sécante passant par les points de la courbe d'abscisses a et x.
Nombre dérivé, fonction dérivée
f est dérivable en a si son taux d'accroissement admet une limite finie en a. Cette limite est le nombre dérivé de f en a : f'(a) = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}. Version équivalente, souvent plus pratique en calcul : f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}. Si f est dérivable en tout point d'un intervalle ouvert I, la fonction {f' : x \mapsto f'(x)} est la fonction dérivée de f.
Exemple rédigé : f(x) = x² est dérivable en 3
Pour h \neq 0 : \begin{aligned}\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} &= \dfrac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} \\ &= 6 + h\end{aligned} Quand h \to 0, ce taux tend vers 6 (limite finie) : f est dérivable en 3 et f'(3) = 6.
👆▶ À toi : montre que f(x) = x² + x est dérivable en 2 et calcule f '(2). Vérifie
\begin{aligned}\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} &= \dfrac{(4 + 4h + h^2) + (2 + h) - 6}{h} \\ &= \dfrac{5h + h^2}{h} \\ &= 5 + h\end{aligned} Quand h \to 0, le taux tend vers 5 : f est dérivable en 2 et f'(2) = 5.
Dérivable entraîne continue
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse ! Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable.
⚠️ Le contre-exemple à connaître : la valeur absoluex \mapsto |x| est continue en 0, mais son taux d'accroissement en 0 vaut \dfrac{|x|}{x}, c'est-à-dire 1 si x > 0 et −1 si x < 0 : pas de limite en 0, donc pas de nombre dérivé. La courbe a un point anguleux en 0.
Pour x \neq a, on écrit : f(x) = f(a) + \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \times (x - a). Quand x \to a, le taux d'accroissement tend vers f'(a) (limite finie car f est dérivable en a) et (x - a) \to 0, donc le produit tend vers 0. Ainsi \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) : f est continue en a. ∎
II. Les dérivées usuelles
f(x)
f '(x)
dérivable sur
x^n (n entier \geq 1)
n\,x^{n-1}
\mathbb{R}
\dfrac{1}{x}
-\dfrac{1}{x^2}
\mathbb{R}^*
\sqrt{x}
\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
]0\,;\,+\infty[
x^b (b réel)
b\,x^{b-1}
]0\,;\,+\infty[
e^x
e^x
\mathbb{R}
a^x (a > 0)
\ln(a)\,a^x
\mathbb{R}
\ln(x)
\dfrac{1}{x}
]0\,;\,+\infty[
⚠️ En fac d'éco, « log » veut dire ln
Dans le cours d'Analyse I, log désigne le logarithme népérien, celui que le lycée note ln : même fonction, même dérivée \dfrac{1}{x}. Sur cette fiche, on garde la notation ln.
⚠️ Racine carrée : définie en 0, pas dérivable en 0
Les fonctions x \mapsto x^b avec b \in \,]0\,;\,1[ (comme \sqrt{x} = x^{1/2}) sont définies en 0 mais pas dérivables en 0 : le taux d'accroissement y tend vers +\infty (tangente verticale).
🎮 Entraîne-toi : dériver un polynôme
Dérive de tête, terme à terme, puis donne le coefficient demandé.
III. Opérations : somme, produit, quotient, composée
⚠️ Le produit ne se dérive pas terme à terme(uv)' \neq u'v' ! Contre-exemple : \begin{aligned}(x \times x)' &= (x^2)' \\ &= 2x\end{aligned} alors que 1 \times 1 = 1. La bonne formule croise les rôles : u'v + uv'.
Dérivée d'une composée
Pour f(x) = v(u(x)) (on applique u, puis v au résultat) : {f'(x) = v'(u(x)) \times u'(x)}. Cas usuels, à connaître par cœur :
👆▶ À toi : dérive m(x) = \ln(x^2+1) puis n(x) = e^{4x-1}. Vérifie
m : forme \ln(u) avec u(x) = x^2 + 1, u'(x) = 2x : m'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}. n : forme e^{u} avec u'(x) = 4 : {n'(x) = 4\,e^{4x - 1}}.
🎮 Entraîne-toi : produit et quotient
Pose u, v, u ', v ' de tête et retrouve la bonne forme de la dérivée.
IV. Une application futée : lever une indétermination
Reconnaître un taux d'accroissement
Devant une limite de la forme \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} (indéterminée « 0/0 »), on reconnaît le taux d'accroissement de f en a : si f est dérivable en a, la limite vaut f'(a).Exemple rédigé\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{e^{2x} - e^{6}}{x - 3} : c'est le taux d'accroissement de f(x) = e^{2x} en 3, avec f(3) = e^6. f est dérivable sur \mathbb{R} et f'(x) = 2e^{2x}, donc la limite vaut f'(3) = 2e^6.
Deux limites à connaître\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1 et \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1. Ce sont les taux d'accroissement en 0 de x \mapsto \ln(1 + x) (dérivée en 0 : \tfrac{1}{1 + 0} = 1) et de x \mapsto e^x (dérivée en 0 : e^0 = 1).
👆▶ À toi : calcule la limite en 0 de \dfrac{e^{3x}-1}{x}. Vérifie
On reconnaît le taux d'accroissement de f(x) = e^{3x} en 0 (car f(0) = 1). f'(x) = 3e^{3x}, donc \begin{aligned}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{x} &= f'(0) \\ &= 3\end{aligned}
V. La tangente
Équation de la tangente
Si f est dérivable en a, sa courbe admet au point A\,(a\,;\,f(a)) une tangente d'équation : {y = f(a) + f'(a)(x - a)}. Le nombre dérivé f'(a) est la pente (le coefficient directeur) de cette tangente : c'est la position limite des sécantes quand x se rapproche de a.
La tangente en A(a ; f(a)) est la droite qui colle le mieux à la courbe autour de A : sa pente est f '(a).
Exemple rédigé : tangente à y = x² − 3x en a = 2\begin{aligned}f(2) &= 4 - 6 \\ &= -2\end{aligned} et f'(x) = 2x - 3 donc f'(2) = 1. Équation : \begin{aligned}y &= f(2) + f'(2)(x - 2) \\ &= -2 + 1 \times (x - 2)\end{aligned} soit y = x - 4.
👆▶ À toi : donne l'équation de la tangente à y = x³ au point d'abscisse 1. Vérifie
f(1) = 1, f'(x) = 3x^2, f'(1) = 3 : y = 1 + 3(x - 1), soit y = 3x - 2.
🎮 Entraîne-toi : l'équation de la tangente
Calcule la pente f '(a) puis l'ordonnée à l'origine : réponds en équation réduite.
y =x +
VI. Du signe de f ' aux variations
Théorème (sens de variation)
Soit f continue sur [a\,;\,b] et dérivable sur ]a\,;\,b[ :
f est croissante sur [a\,;\,b] si et seulement si f' \geq 0 sur ]a\,;\,b[ ;
f est décroissante sur [a\,;\,b] si et seulement si f' \leq 0 sur ]a\,;\,b[ ;
si f' > 0 (resp. f' < 0) sur ]a\,;\,b[, alors f est strictement croissante (resp. décroissante).
La méthode reine : étudier une fonction
Dériver f ;
étudier le signe de f ' (factoriser si besoin) ;
dresser le tableau de variations (compléter par les limites aux bornes) ;
lire les extremums : en un point où f ' s'annule en changeant de signe, f admet un maximum ou un minimum local.
L'angle éco : le coût marginal
Si C(q) est le coût total de production de q unités, le coût marginal est C_m(q) = C'(q) : c'est le coût approximatif de l'unité suivante, car C(q + 1) - C(q) \approx C'(q). Exemple : C(q) = 2q^2 + 30q + 800 donne C_m(q) = 4q + 30 ; ainsi C_m(10) = 70 : produire la onzième unité coûte environ 70 €. De même, la recette marginale est R_m(q) = R'(q) ; le profit {\pi(q) = R(q) - C(q)} est maximal quand \pi'(q) = 0, c'est-à-dire quand recette marginale = coût marginal.
Le double tableau : un seul objet, deux étages
« Dresser le tableau de variations » ne veut pas dire écrire une phrase : cela veut dire poser le signe de f ' en haut et, juste en dessous, colonnes alignées, les flèches de f. L'étage du haut commande celui du bas : + ↗, − ↘, et un 0 avec changement de signe fait tourner la flèche.
Le profit : \pi'(q) = -4q + 120 s'annule en {q = 30}. C'est exactement le point où recette marginale = coût marginal (150 = 4q + 30). En q = 0 on perd les 800 € de coût fixe ; le profit maximal vaut \pi(30) = 1000 €.
Valeur interdite : la double barre
Quand f n'est pas définie en un point (un quotient, un \ln, un coût moyen en q = 0...), ce point figure quand même dans la ligne des x, marqué d'une double barre qui traverse les deux étages. On y écrit la limite de chaque côté : la courbe part d'un côté et revient de l'autre, elle ne traverse pas.
⚠️ Le théorème exige un INTERVALLEh(x) = \dfrac{1}{x} vérifie h'(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0 pour tout x \neq 0 : h est strictement décroissante sur ]-\infty\,;\,0[et sur ]0\,;\,+\infty[, mais pas sur \mathbb{R}^* (qui n'est pas un intervalle) : \begin{aligned}h(-1) &= -1 < 1 \\ &= h(1)\end{aligned}
La double barre dit tout : h descend, tombe vers -\infty, puis repart de +\infty et redescend. Deux flèches, pas une : on ne peut pas écrire « h décroissante sur \mathbb{R}^* », il faut dire sur chacun des deux intervalles.👆▶ À toi : étudie les variations de g(x) = ln(x) − x/2 sur ]0 ; +∞[. Vérifie
\begin{aligned}g'(x) &= \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{2 - x}{2x}\end{aligned} Sur ]0\,;\,+\infty[, le dénominateur 2x est positif : g ' est du signe de 2 - x. g est strictement croissante sur ]0\,;\,2], strictement décroissante sur [2\,;\,+\infty[, avec un maximum g(2) = \ln(2) - 1.
La double barre en 0 rappelle que 0 est exclu du domaine : on y écrit une limite, pas une valeur. Le dénominateur 2x reste positif sur tout le domaine : il ne pèse pas sur le signe, c'est 2-x qui décide.
🎮 Entraîne-toi : du signe de f ' au sens de variation
Regarde le signe de f '(x) sur l'intervalle donné, puis conclus.
🎛️ Le signe de f ' commande : fais-le basculer
Déplace a. Les racines de f ' restent en -1 et 1, donc les colonnes ne bougent pas : seuls les signes changent. Quand a traverse 0, la courbe se retourne et les flèches basculent au même instant : c'est bien le signe de la dérivée qui commande le sens de variation, et rien d'autre. Lecture éco : passer d'un coût à un profit, c'est exactement ce retournement.
VII. Dérivées successives
Dérivée seconde, dérivée n-ième
Si f ' est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde{f'' = (f')'}. En itérant, on note f^{(n)} la dérivée n-ième (avec f^{(1)} = f' et f^{(2)} = f''). Exemple : p(x) = 2x^3 - 5x^2 + x donne p'(x) = 6x^2 - 10x + 1, p''(x) = 12x - 10 et p'''(x) = 12.
Quand le signe de f ' résiste : dériver encore
Si le signe de f ' n'est pas lisible directement (pas de factorisation évidente), on étudie les variations de f ' grâce à f'' : connaître le sens de variation de f ' et ses annulations suffit souvent à dresser son tableau de signes, donc les variations de f. Réflexe classique des études de fonctions en TD.
