Exercice 1 : Revenir à la définition⭐
Soit f(x) = x^2 + 3x définie sur \mathbb{R}.
Pour h \neq 0, simplifie le taux d'accroissement \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}.
Déduis-en que f est dérivable en 2 et donne f'(2).
👆▶ Correction de l'exercice 1
1.\begin{aligned}f(2 + h) &= (2+h)^2 + 3(2+h) \\ &= h^2 + 7h + 10\end{aligned} et f(2) = 10 : \begin{aligned}\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} &= \dfrac{h^2 + 7h}{h} \\ &= h + 7\end{aligned} 2. Quand h \to 0, ce taux tend vers 7 (limite finie) : f est dérivable en 2 et f'(2) = 7.
Exercice 2 : Les dérivées usuelles⭐
Dérive chaque fonction en précisant l'ensemble de dérivabilité :
f(x) = x^5 - 4x^3 + 2x - 7
g(x) = 3\sqrt{x} - \dfrac{5}{x}
h(x) = 2e^x + \ln(x)
👆▶ Correction de l'exercice 2
1.f'(x) = 5x^4 - 12x^2 + 2 sur \mathbb{R}. 2.g'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}} + \dfrac{5}{x^2} sur ]0\,;\,+\infty[ (la racine n'est pas dérivable en 0). 3.h'(x) = 2e^x + \dfrac{1}{x} sur ]0\,;\,+\infty[.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Produit et quotient⭐⭐
Dérive :
f(x) = x\ln(x) - x sur ]0\,;\,+\infty[
g(x) = (x^2 + 1)\,e^x sur \mathbb{R}
h(x) = \dfrac{3x - 2}{x + 4} sur ]-4\,;\,+\infty[
👆▶ Correction de l'exercice 3
1.\begin{aligned}f'(x) &= 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} - 1 \\ &= \ln(x)\end{aligned} (un grand classique : une primitive de ln). 2.\begin{aligned}g'(x) &= 2x\,e^x + (x^2 + 1)\,e^x \\ &= (x^2 + 2x + 1)\,e^x \\ &= (x + 1)^2\,e^x\end{aligned} 3.\begin{aligned}h'(x) &= \dfrac{3(x + 4) - (3x - 2) \times 1}{(x + 4)^2} \\ &= \dfrac{14}{(x + 4)^2}\end{aligned} (toujours positif : h est strictement croissante).
Exercice 4 : Composées⭐⭐
Dérive :
f(x) = \ln(x^2 + 4)
g(x) = e^{-2x + 1}
h(x) = (5x + 1)^3
k(x) = (\ln(x))^2 sur ]0\,;\,+\infty[
👆▶ Correction de l'exercice 4
1. Forme \ln(u) avec u' = 2x : {f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4}}. 2. Forme e^u avec u' = -2 : {g'(x) = -2\,e^{-2x + 1}}. 3. Forme u^3 avec u' = 5 : \begin{aligned}h'(x) &= 3 \times 5 \times (5x + 1)^2 \\ &= 15\,(5x + 1)^2\end{aligned} 4. Forme u^2 avec u(x) = \ln(x) : \begin{aligned}k'(x) &= 2\ln(x) \times \dfrac{1}{x} \\ &= \dfrac{2\ln(x)}{x}\end{aligned}
Exercice 5 : Des limites par taux d'accroissement⭐⭐
Calcule chaque limite en reconnaissant un taux d'accroissement :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + 5x)}{x}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{e^x - e^2}{x - 2}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
👆▶ Correction de l'exercice 5
1. Taux d'accroissement de {f(x) = \ln(1 + 5x)} en 0 (car f(0) = 0) : f'(x) = \dfrac{5}{1 + 5x}, donc la limite vaut f'(0) = 5. 2. Taux d'accroissement de e^x en 2 : la limite vaut e^2. 3. Taux d'accroissement de \sqrt{x} en 4 (car \sqrt{4} = 2) : la limite vaut \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}.
Exercice 6 : Tangentes⭐⭐
Soit f(x) = x^2 - 5x + 8 définie sur \mathbb{R}.
Donne l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3.
En quel point la tangente est-elle horizontale ?
Existe-t-il un point où la tangente a pour pente −1 ?
👆▶ Correction de l'exercice 6
1.f'(x) = 2x - 5, f'(3) = 1, f(3) = 2 : {y = 2 + 1 \times (x - 3)}, soit y = x - 1. 2. Tangente horizontale quand f'(x) = 0 : x = \dfrac{5}{2} (le sommet de la parabole, point \left(\tfrac{5}{2}\,;\,\tfrac{7}{4}\right)). 3.2x - 5 = -1 donne x = 2 : oui, au point (2\,;\,2).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : L'angle éco : coût marginal et coût moyen⭐⭐⭐
Une entreprise produit q unités ({0 < q \leq 100}) pour un coût total, en euros, de C(q) = q^2 + 30q + 900.
Calcule le coût marginal {C_m(q) = C'(q)}.
Calcule C_m(20) et compare avec le coût réel de la 21e unité, {C(21) - C(20)}.
Le coût moyen est CM(q) = \dfrac{C(q)}{q}. Montre que CM\,'(q) = 1 - \dfrac{900}{q^2} et dresse le tableau de variations de CM sur ]0\,;\,100].
Vérifie qu'au minimum du coût moyen, on a C_m(q) = CM(q).
👆▶ Correction de l'exercice 7
1.C_m(q) = 2q + 30. 2.C_m(20) = 70 €. Coût réel : \begin{aligned}C(21) - C(20) &= 1971 - 1900 \\ &= 71\end{aligned} € : le coût marginal donne une excellente approximation du coût de l'unité suivante. 3.CM(q) = q + 30 + \dfrac{900}{q}, donc \begin{aligned}CM\,'(q) &= 1 - \dfrac{900}{q^2} \\ &= \dfrac{q^2 - 900}{q^2}\end{aligned} Négatif si 0 < q < 30, positif si q > 30. CM décroît sur ]0\,;\,30] puis croît sur [30\,;\,100] : minimum en q = 30, où \begin{aligned}CM(30) &= 30 + 30 + 30 \\ &= 90\end{aligned} €. 4.\begin{aligned}C_m(30) &= 60 + 30 \\ &= 90 \\ &= CM(30)\end{aligned} Au minimum du coût moyen, le coût marginal égale le coût moyen (propriété générale, à retenir).
Le tableau exigé par la question 3. La double barre en q=0 rappelle qu'on ne divise pas par zéro : on y écrit la limite +\infty (produire une seule unité fait porter tout le coût fixe de 900 € sur elle). Le creux de la flèche est l'échelle efficace : q = 30, coût moyen 90 €.
Exercice 8 : Étude complète, dérivée seconde en renfort⭐⭐⭐
Soit f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4 définie sur \mathbb{R}.
Calcule f'(x) et vérifie que {f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)}.
Étudie le signe de f ' et dresse le tableau de variations de f.
Donne les extremums locaux de f.
Calcule f''(x) et déduis-en les variations de f '. En quel point f ' atteint-elle son minimum ?
👆▶ Correction de l'exercice 8
1.f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 et \begin{aligned}3(x + 1)(x - 3) &= 3(x^2 - 2x - 3) \\ &= 3x^2 - 6x - 9\end{aligned} : égalité vérifiée. 2. Trinôme de racines −1 et 3, positif à l'extérieur des racines : f est croissante sur ]-\infty\,;\,-1], décroissante sur [-1\,;\,3], croissante sur [3\,;\,+\infty[. 3. Maximum local \begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 9 + 4 \\ &= 9\end{aligned} minimum local \begin{aligned}f(3) &= 27 - 27 - 27 + 4 \\ &= -23\end{aligned} 4.f''(x) = 6x - 6, négatif avant 1, positif après : f ' est décroissante sur ]-\infty\,;\,1] puis croissante sur [1\,;\,+\infty[. Elle atteint son minimum en x = 1, avec f'(1) = -12.
Le tableau de la question 2. Les extremums de la question 3 se lisent au bout des flèches, sans recalculer quoi que ce soit.Exactement le même objet, décalé d'un rang : le signe de f'' commande les variations de f', comme le signe de f' commande celles de f. C'est la méthode à sortir quand le signe de f' ne se factorise pas.
