Fiche d'exercices Logimaths | L1 Éco
Fiche d'exercices : Fonctions, généralités et rappels
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Intervalles et valeur absolue⭐
- Écris sous forme d'intervalle l'ensemble des réels x tels que : a) −3 < x ≤ 4 ; b) x ≥ 2 ; c) |x| < 5.
- Résous |x - 5| \leqslant 2 (pense « distance »).
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. a) ]−3 ; 4] ; b) [2 ; +∞[ ; c) {|x| < 5 \iff -5 < x < 5} : ]−5 ; 5[.
2. |x - 5| \leqslant 2 signifie que la distance entre x et 5 est d'au plus 2 : x ∈ [3 ; 7]. Contrôle par la double inégalité : {-2 \leqslant x - 5 \leqslant 2 \iff 3 \leqslant x \leqslant 7}.
2. |x - 5| \leqslant 2 signifie que la distance entre x et 5 est d'au plus 2 : x ∈ [3 ; 7]. Contrôle par la double inégalité : {-2 \leqslant x - 5 \leqslant 2 \iff 3 \leqslant x \leqslant 7}.
Exercice 2 : Quatre domaines de définition⭐
Détermine le domaine de définition de chaque fonction :
- f(x) = 4x^3 - x + 2
- g(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 - 9}
- h(x) = \sqrt{6 - 2x}
- k(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 4}}
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. Un polynôme se calcule partout : D_f = \mathbb{R}.
2. x^2 - 9 \neq 0 \iff x \neq -3 \text{ et } x \neq 3 : D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3\,;\,3\}.
3. \begin{aligned}6 - 2x \geqslant 0 &\iff x \leqslant 3 \end{aligned} D_h = ]-\infty\,;\,3] (la borne 3 est permise : racine de 0).
4. Racine ET dénominateur : il faut {x + 4 > 0} strictement : D_k = ]-4\,;\,+\infty[.
2. x^2 - 9 \neq 0 \iff x \neq -3 \text{ et } x \neq 3 : D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3\,;\,3\}.
3. \begin{aligned}6 - 2x \geqslant 0 &\iff x \leqslant 3 \end{aligned} D_h = ]-\infty\,;\,3] (la borne 3 est permise : racine de 0).
4. Racine ET dénominateur : il faut {x + 4 > 0} strictement : D_k = ]-4\,;\,+\infty[.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Images, antécédents et graphe⭐⭐
Soit f(x) = x^2 - 6x + 5.
- Calcule f(0), f(2) et f(3).
- Trouve TOUS les antécédents de 5.
- Les points A(1 ; 0) et B(4 ; −2) appartiennent-ils au graphe de f ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. f(0) = 5 ; f(2) = 4 − 12 + 5 = −3 ; f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.
2. \begin{aligned}x^2 - 6x + 5 = 5 &\iff x^2 - 6x = 0 \\ &\iff x(x - 6) = 0 \end{aligned} : 0 et 6 (deux antécédents : l'équation, jamais le calcul direct).
3. f(1) = 1 − 6 + 5 = 0 : A oui ; f(4) = 16 − 24 + 5 = −3 ≠ −2 : B non.
2. \begin{aligned}x^2 - 6x + 5 = 5 &\iff x^2 - 6x = 0 \\ &\iff x(x - 6) = 0 \end{aligned} : 0 et 6 (deux antécédents : l'équation, jamais le calcul direct).
3. f(1) = 1 − 6 + 5 = 0 : A oui ; f(4) = 16 − 24 + 5 = −3 ≠ −2 : B non.
Exercice 4 : Parité⭐⭐
Étudie la parité de chaque fonction :
- f(x) = x^4 - 2x^2 + 1
- g(x) = 2x^3 - 5x
- h(x) = x^2 + x - 1
- Pourquoi k(x) = \sqrt{x} ne peut-elle être ni paire ni impaire, sans le moindre calcul ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 \\ &= x^4 - 2x^2 + 1 \\ &= f(x)\end{aligned} Donc f est paire.
2. \begin{aligned}g(-x) &= -2x^3 + 5x \\ &= -(2x^3 - 5x) \\ &= -g(x)\end{aligned} Donc g est impaire.
3. h(1) = 1 et h(−1) = −1 : h(−1) ≠ h(1) donc pas paire ; −h(1) = −1 = h(−1) mais h(2) = 5 et h(−2) = 1 ≠ −5 : pas impaire non plus : ni paire ni impaire (un seul contre-exemple par propriété suffit).
4. Son domaine [0\,;\,+\infty[ n'est pas symétrique par rapport à 0 : k(−4) n'existe pas, la question de comparer k(−x) et k(x) ne se pose même pas.
2. \begin{aligned}g(-x) &= -2x^3 + 5x \\ &= -(2x^3 - 5x) \\ &= -g(x)\end{aligned} Donc g est impaire.
3. h(1) = 1 et h(−1) = −1 : h(−1) ≠ h(1) donc pas paire ; −h(1) = −1 = h(−1) mais h(2) = 5 et h(−2) = 1 ≠ −5 : pas impaire non plus : ni paire ni impaire (un seul contre-exemple par propriété suffit).
4. Son domaine [0\,;\,+\infty[ n'est pas symétrique par rapport à 0 : k(−4) n'existe pas, la question de comparer k(−x) et k(x) ne se pose même pas.
Exercice 5 : Monotonie et bornes, par la définition⭐⭐
- Montre, en revenant à la définition, que f(x) = 5 − 3x est strictement décroissante sur ℝ.
- La fonction g(x) = x^2 + 4 est-elle minorée ? majorée ? Justifie.
- Montre que h(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} est bornée sur ℝ.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Soit a < b. En multipliant par −3 (négatif, l'ordre se renverse) : −3a > −3b, puis en ajoutant 5 : f(a) > f(b). Pour tous a < b on a f(a) > f(b) : strictement décroissante.
2. x^2 \geqslant 0 donc g(x) ≥ 4 : minorée par 4 (atteint en 0 : c'est même un minimum). Pas majorée : g(n) = n² + 4 dépasse n'importe quel plafond M dès que n est assez grand.
3. x^2 + 1 \geqslant 1 > 0 : en passant à l'inverse entre nombres strictement positifs, {0 < h(x) \leqslant 1} : minorée par 0 et majorée par 1 : bornée.
2. x^2 \geqslant 0 donc g(x) ≥ 4 : minorée par 4 (atteint en 0 : c'est même un minimum). Pas majorée : g(n) = n² + 4 dépasse n'importe quel plafond M dès que n est assez grand.
3. x^2 + 1 \geqslant 1 > 0 : en passant à l'inverse entre nombres strictement positifs, {0 < h(x) \leqslant 1} : minorée par 0 et majorée par 1 : bornée.
Exercice 6 : Composer, dans les deux sens⭐⭐
Soit f(x) = \sqrt{x} et g(x) = 3x − 12.
- Exprime (f \circ g)(x) et (g \circ f)(x).
- Donne le domaine de définition de chacune des deux composées.
- Calcule (f \circ g)(7) et (g \circ f)(9).
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}(f \circ g)(x) &= f(3x - 12) \\ &= \sqrt{3x - 12}\end{aligned} \begin{aligned}(g \circ f)(x) &= g(\sqrt{x}) \\ &= 3\sqrt{x} - 12\end{aligned}
2. Pour f \circ g : il faut 3x - 12 \geqslant 0 : {D_{f \circ g} = [4\,;\,+\infty[}. Pour g \circ f : il faut seulement x ≥ 0 (g accepte tout) : D_{g \circ f} = [0\,;\,+\infty[ : les deux domaines sont différents, comme les deux fonctions.
3. \begin{aligned}(f \circ g)(7) &= \sqrt{21 - 12} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned} \begin{aligned}(g \circ f)(9) &= 3\sqrt{9} - 12 \\ &= 9 - 12 \\ &= -3\end{aligned}
2. Pour f \circ g : il faut 3x - 12 \geqslant 0 : {D_{f \circ g} = [4\,;\,+\infty[}. Pour g \circ f : il faut seulement x ≥ 0 (g accepte tout) : D_{g \circ f} = [0\,;\,+\infty[ : les deux domaines sont différents, comme les deux fonctions.
3. \begin{aligned}(f \circ g)(7) &= \sqrt{21 - 12} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned} \begin{aligned}(g \circ f)(9) &= 3\sqrt{9} - 12 \\ &= 9 - 12 \\ &= -3\end{aligned}
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Fonctions réciproques⭐⭐⭐
- Montre que f(x) = 4x − 10, définie sur ℝ, admet une réciproque et exprime f^{-1}.
- Soit g(x) = x^2 + 3 définie sur [0 ; +∞[. Détermine g^{-1} en précisant son domaine.
- Pourquoi g, définie cette fois sur ℝ tout entier, n'admet-elle pas de réciproque ? Donne un contre-exemple chiffré.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Pour tout y ∈ ℝ : \begin{aligned}y = 4x - 10 &\iff x = \dfrac{y + 10}{4} \end{aligned} Une unique solution pour chaque y, donc f admet une réciproque et f^{-1}(y) = \dfrac{y + 10}{4}, définie sur ℝ.
2. Pour y ≥ 3 : \begin{aligned}y = x^2 + 3 &\iff x^2 = y - 3 \\ &\iff x = \sqrt{y - 3} \end{aligned} (unique car x ≥ 0) : g^{-1}(y) = \sqrt{y - 3} définie sur [3\,;\,+\infty[ (l'ensemble image de g).
3. Sur ℝ, l'unicité tombe : g(2) = g(−2) = 7, le nombre 7 a DEUX antécédents : aucune fonction réciproque possible. Restreindre le domaine à [0 ; +∞[ est exactement ce qui répare ce défaut.
2. Pour y ≥ 3 : \begin{aligned}y = x^2 + 3 &\iff x^2 = y - 3 \\ &\iff x = \sqrt{y - 3} \end{aligned} (unique car x ≥ 0) : g^{-1}(y) = \sqrt{y - 3} définie sur [3\,;\,+\infty[ (l'ensemble image de g).
3. Sur ℝ, l'unicité tombe : g(2) = g(−2) = 7, le nombre 7 a DEUX antécédents : aucune fonction réciproque possible. Restreindre le domaine à [0 ; +∞[ est exactement ce qui répare ce défaut.
Exercice 8 : La chaîne de production (contexte économique)⭐⭐⭐
Dans une PME, la quantité produite dépend du temps machine : q(h) = 8h pièces pour h ∈ [0 ; 10] (en heures). Le coût total de production, en €, dépend de la quantité : C(q) = q^2 + 40q + 400 pour q ∈ [0 ; 80].
- Justifie que la composée C \circ q est bien définie sur [0 ; 10], puis exprime (C \circ q)(h).
- Justifie que C est strictement croissante sur [0 ; 80], sans aucune dérivée.
- Le coût moyen est C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}. Quel est son domaine de définition (économiquement pertinent) ?
- Calcule (C \circ q)(5) puis C_M(40).
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Pour h ∈ [0 ; 10], q(h) = 8h parcourt [0 ; 80], qui est bien inclus dans le domaine de C : la composée est définie sur [0 ; 10] et \begin{aligned}(C \circ q)(h) &= (8h)^2 + 40 \times 8h + 400 \\ &= 64h^2 + 320h + 400\end{aligned}
2. Sur [0 ; 80], q \mapsto q^2 est strictement croissante (carrés de nombres positifs), q \mapsto 40q aussi, et la constante 400 ne change rien : une somme de fonctions croissantes dont une strictement l'est strictement : C est strictement croissante (produire plus coûte plus).
3. Division par q : q ≠ 0, et on reste dans le cadre de l'énoncé : D_{C_M} = ]0\,;\,80] (un coût moyen n'a pas de sens sans production).
4. \begin{aligned}(C \circ q)(5) &= 64 \times 25 + 320 \times 5 + 400 \\ &= 3600\end{aligned} 5 heures de production coûtent 3600 €. \begin{aligned}C_M(40) &= \dfrac{1600 + 1600 + 400}{40} \\ &= \dfrac{3600}{40} \\ &= 90\end{aligned} D'où 90 € par pièce.
2. Sur [0 ; 80], q \mapsto q^2 est strictement croissante (carrés de nombres positifs), q \mapsto 40q aussi, et la constante 400 ne change rien : une somme de fonctions croissantes dont une strictement l'est strictement : C est strictement croissante (produire plus coûte plus).
3. Division par q : q ≠ 0, et on reste dans le cadre de l'énoncé : D_{C_M} = ]0\,;\,80] (un coût moyen n'a pas de sens sans production).
4. \begin{aligned}(C \circ q)(5) &= 64 \times 25 + 320 \times 5 + 400 \\ &= 3600\end{aligned} 5 heures de production coûtent 3600 €. \begin{aligned}C_M(40) &= \dfrac{1600 + 1600 + 400}{40} \\ &= \dfrac{3600}{40} \\ &= 90\end{aligned} D'où 90 € par pièce.