Fiche de cours Logimaths | L1 Éco

Fiche de cours : Fonctions, généralités et rappels

Domaine, graphe, parité, monotonie, composition, réciproque : le socle de l'Analyse I

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I. Rappels : nombres, intervalles, valeur absolue

Les ensembles de nombres Chaque ensemble contient le précédent : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

\mathbb{N} : les entiers naturels 0, 1, 2, … (compter des unités produites) ;
\mathbb{Z} : les entiers relatifs (un solde peut être négatif) ;
\mathbb{Q} : les rationnels, quotients d'entiers comme \tfrac{2}{3} ;
\mathbb{R} : toute la droite réelle, y compris \sqrt{2} et \pi.

Notations dérivées : l'étoile enlève zéro (\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}), le signe garde un côté : \mathbb{R}_+ = [0\,;\,+\infty[ et \mathbb{R}_- = ]-\infty\,;\,0].

Notation	Inégalité	Vocabulaire
[a\,;\,b]	{a \leqslant x \leqslant b}	intervalle fermé (bornes comprises)
]a\,;\,b[	a < x < b	intervalle ouvert (bornes exclues)
[a\,;\,+\infty[	x \geqslant a	demi-droite fermée en a
]-\infty\,;\,a[	x < a	demi-droite ouverte en a

Valeur absolue |x| est la distance de x à 0 sur la droite réelle : |x| = x si x \geqslant 0, et |x| = -x si x < 0. Ainsi \begin{aligned}|7| &= |-7| \\ &= 7\end{aligned}
L'outil clé : |a - b| est la distance entre a et b. « L'écart entre le prix observé et le prix prévu est d'au plus 2 » se traduit par |p - p_0| \leqslant 2.

👆 ▶ À toi : traduis |x - 3| \leqslant 2 par un intervalle. Vérifie

Lecture « distance » : les x situés à une distance d'au plus 2 du nombre 3, donc x ∈ [1 ; 5].
Contrôle par le calcul : \begin{aligned}|x - 3| \leqslant 2 &\iff -2 \leqslant x - 3 \leqslant 2 \\ &\iff 1 \leqslant x \leqslant 5\end{aligned}

II. Fonction et domaine de définition

Une fonction, trois ingrédients Une fonction f est la donnée d'un ensemble de départ D, d'un ensemble d'arrivée A et, pour CHAQUE élément x de D, d'une valeur UNIQUE notée f(x) :

f : D \to A, \quad x \mapsto f(x)

Exemple non numérique : à chaque jour ouvré, on associe le cours de clôture d'une action : une valeur par jour, jamais deux. En Analyse I, on étudie les fonctions numériques de la variable réelle : D ⊂ ℝ et A = ℝ.

Domaine (ensemble) de définition Quand seule la formule est donnée, le domaine de définition D_f est le plus grand sous-ensemble de ℝ sur lequel f(x) a un sens. Deux interdits à traquer :

dénominateur nul : f(x) = \dfrac{1}{x - 7} est définie sur \mathbb{R} \setminus \{7\} ;
radicande négatif : g(x) = \sqrt{x - 7} est définie sur [7\,;\,+\infty[.

Si l'énoncé impose un ensemble de départ plus petit, on le respecte : un coût C(q) n'a de sens économique que pour q ≥ 0, même si la formule se calcule partout.

🎮 Entraîne-toi : trouver le domaine de définition

Traque les deux interdits : dénominateur nul, radicande négatif.

👆 ▶ À toi : détermine D_f pour {f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 5}}. Vérifie

Deux contraintes à la fois :
Racine x + 2 \geqslant 0, donc x ≥ −2 ;
Dénominateur x - 5 \neq 0, donc x ≠ 5.
Conclusion : D_f = [-2\,;\,5[\ \cup\ ]5\,;\,+\infty[.

III. Le graphe d'une fonction

Graphe Le graphe de f est l'ensemble des points du plan dont l'ordonnée est l'image de l'abscisse :

G_f = \{(x\,;\,f(x)) \mid x \in D_f\}

C'est la courbe représentative de f. Test d'appartenance : le point (a ; b) est sur la courbe si et seulement si f(a) = b.

Le domaine D_f = [-2\,;\,3] se lit sur l'axe horizontal (en bleu), l'ensemble image f(D_f) = [-1\,;\,3] sur l'axe vertical (en rose) : ce sont les deux « ombres » de la courbe sur les axes.

Image, antécédent, ensemble image

f(x) est l'image de x : elle est UNIQUE (calcul direct) ;
x est un antécédent de y lorsque f(x) = y : un nombre peut en avoir zéro, un ou plusieurs (on résout une équation) ;
l'ensemble image {f(D_f) = \{f(x),\ x \in D_f\}} regroupe toutes les valeurs atteintes : il se lit sur l'axe vertical.

Réflexe à ancrer : image = calcul, antécédent = équation.

🎮 Entraîne-toi : image et antécédent

Image = calcul direct ; antécédent = équation à résoudre.

IV. Parité et périodicité

Fonction paire, fonction impaire Prérequis : le domaine doit être symétrique par rapport à 0 (si x ∈ D_f alors −x ∈ D_f). Alors :

f est paire si \forall x \in D_f,\ f(-x) = f(x) : courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ;
f est impaire si {\forall x \in D_f,\ f(-x) = -f(x)} : courbe symétrique par rapport à l'origine O.

Repère express : une somme de puissances paires de x (constantes comprises : degré 0) est paire ; une somme de puissances impaires est impaire ; un mélange des deux n'est en général ni l'un ni l'autre.

Fonction paire : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, car f(-a) = f(a) pour tout a du domaine.

Fonction périodique f est périodique de période T > 0 si, pour tout x du domaine, x + T y est aussi et f(x + T) = f(x) : la courbe se répète tous les T.
Version économiste : des ventes parfaitement saisonnières vérifieraient f(t + 12) = f(t) avec t en mois : même profil chaque année.

🎮 Entraîne-toi : paire ou impaire ?

Regarde la parité des exposants (une constante est de degré 0, pair).

V. Majorée, minorée, bornée

Les trois définitions

f est majorée par M si {\forall x \in D_f,\ f(x) \leqslant M} ;
f est minorée par m si {\forall x \in D_f,\ f(x) \geqslant m} ;
f est bornée si elle est majorée ET minorée.

Un majorant n'est ni unique (si 1 majore, 100 majore aussi), ni forcément atteint. Exemple économique : un taux d'occupation est borné, toujours entre 0 et 100 %. La fonction x \mapsto x sur ℝ, elle, n'est ni majorée ni minorée.

👆 ▶ À toi : montre que f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} est bornée sur ℝ. Vérifie

Pour tout réel x : x^2 + 1 \geqslant 1 > 0, donc en passant à l'inverse (deux nombres strictement positifs, l'ordre se renverse) : 0 < f(x) \leqslant 1.
f est minorée par 0 (jamais atteint) et majorée par 1 (atteint en x = 0) : f est bornée.

📏 Atelier : majorée, minorée, bornée… et le piège du maximum

Fais glisser les deux droites M (rose) et m (bleue) le long de l'axe vertical. Tant qu'un point de la courbe passe au-dessus de M, M ne majore pas f : le coupable s'allume en rouge. Le cas à comprendre est le premier : la meilleure borne existe, mais elle n'est jamais atteinte.

« Majorée » est une propriété de l'ensemble des valeurs : il existe un M au-dessus de tout. « Admet un maximum » est bien plus fort : il faut qu'un x précis réalise cette valeur.

VI. Monotonie

Croissante, décroissante, monotone Sur un intervalle I inclus dans D_f :

f est croissante sur I si \forall x, y \in I,\ x \leqslant y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y) : f CONSERVE l'ordre ;
f est décroissante sur I si {x \leqslant y \Rightarrow f(x) \geqslant f(y)} : f RENVERSE l'ordre ;
strictement croissante ou décroissante : mêmes définitions avec des inégalités strictes ; monotone : l'un ou l'autre.

Le tableau de variations résume ces intervalles avec des flèches ; les valeurs aux changements de sens sont les extremums.

Propriété (sommes) La somme de deux fonctions croissantes sur I est croissante sur I ; la somme de deux fonctions décroissantes est décroissante.
Attention, aucune règle générale pour croissante + décroissante : tout peut arriver.

▶ 🎓 Démonstration type : f(x) = x² + 3x est strictement croissante sur [0 ; +∞[

Soit a et b tels que 0 ≤ a < b. On étudie le signe de f(b) − f(a) :
Étape 1 \begin{aligned}f(b) - f(a) &= b^2 - a^2 + 3(b - a) \\ &= (b - a)(b + a + 3)\end{aligned} (factorisation par b − a).
Étape 2 b − a > 0 (car a < b) et b + a + 3 > 0 (somme de positifs et de 3) : le produit est strictement positif.
Étape 3 f(b) > f(a) pour tous 0 ≤ a < b : f est strictement croissante sur [0 ; +∞[. ∎

👆 ▶ À toi : f est décroissante sur [2 ; 9]. Compare f(3) et f(7) sans aucun calcul. Vérifie

3 < 7 et f décroissante RENVERSE l'ordre : f(3) ≥ f(7) (et f(3) > f(7) si la décroissance est stricte).

VII. Composer des fonctions

La composée g \circ f Appliquer f, PUIS appliquer g au résultat :

(g \circ f)(x) = g(f(x))

Son domaine : {D_{g \circ f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}} : il faut pouvoir calculer f(x), ET que ce résultat entre dans g.
Chaîne économique typique : la production dépend de l'effectif, q(L) ; le coût dépend de la production, C(q) ; le coût en fonction de l'effectif est la composée C \circ q\,:\ L \mapsto C(q(L)).

⚠️ L'ordre compte, et se lit à l'envers g \circ f se lit de droite à gauche : c'est f qui agit d'abord. En général {g \circ f \neq f \circ g} : avec f(x) = x + 1 et g(x) = x², on trouve \begin{aligned}(g \circ f)(1) &= g(2) \\ &= 4\end{aligned} mais \begin{aligned}(f \circ g)(1) &= f(1) \\ &= 2\end{aligned}

🎮 Entraîne-toi : calculer une composée

Applique d'abord la fonction écrite à droite, puis l'autre.

👆 ▶ À toi : f(x) = x² et {g(x) = \dfrac{1}{x - 1}}. Exprime g \circ f et donne son domaine. Vérifie

\begin{aligned}(g \circ f)(x) &= g(x^2) \\ &= \dfrac{1}{x^2 - 1}\end{aligned}
f se calcule partout, mais il faut f(x) ∈ D_g, c'est-à-dire x^2 \neq 1 : D_{g \circ f} = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;\,1\}. La contrainte vient de g, pas de f.

⚙️ Atelier : la machine à deux étages

Composer, c'est enchainer deux machines. Le jeton entre à gauche, traverse la première fonction, et le résultat entre dans la seconde. Change x, change la paire, et surtout inverse l'ordre : le résultat n'est pas le même. C'est ça, « la composition n'est pas commutative ».

x :

Le piège d'écriture : dans g \circ f, c'est f qui agit en premier alors qu'on le lit en dernier. Le troisième couple montre l'autre conséquence : les domaines des deux composées ne sont pas les mêmes non plus.

VIII. La fonction réciproque

Définition g est LA réciproque de f, notée f^{-1}, lorsque les deux fonctions se défont l'une l'autre :

\forall x \in D_f,\ g(f(x)) = x ;
\forall x \in D_g,\ f(g(x)) = x ;
les ensembles s'échangent : {D_g = f(D_f)} et D_f = g(D_g).

Critère d'existence f admet une réciproque si et seulement si tout y de f(D_f) possède UN SEUL antécédent, c'est-à-dire si l'équation f(x) = y a une unique solution dans D_f. On a alors f^{-1}(y) = cet unique antécédent.

Trouver la réciproque en pratique Poser y = f(x) et résoudre d'inconnue x. Exemple avec f(x) = 2x + 8 sur ℝ :

y = 2x + 8 \iff x = \dfrac{y - 8}{2}, \quad \text{donc } f^{-1}(y) = \dfrac{y - 8}{2}

Graphiquement, les courbes de f et de f^{-1} sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. En microéconomie, la demande q = D(p) donne la quantité en fonction du prix ; la « demande inverse » p = D^{-1}(q) est exactement sa réciproque.

⚠️ f^{-1} n'est pas 1/f La notation f^{-1} désigne la réciproque, pas l'inverse : f^{-1}(x) \neq \dfrac{1}{f(x)} en général. Avec f(x) = 2x + 8 : \begin{aligned}f^{-1}(3) &= \dfrac{3 - 8}{2} \\ &= -2{,}5\end{aligned} alors que \dfrac{1}{f(3)} = \dfrac{1}{14}.

👆 ▶ À toi : f(x) = x², vue sur ℝ, admet-elle une réciproque ? Et vue sur [0 ; +∞[ ? Vérifie

Sur ℝ : non. Par exemple x^2 = 9 a deux solutions, 3 et −3 : pas d'unicité de l'antécédent.
Sur [0 ; +∞[ : oui. Tout y ≥ 0 a un unique antécédent positif \sqrt{y} : la réciproque est f^{-1}(y) = \sqrt{y}. Restreindre le domaine peut donc CRÉER une réciproque.

🪞 Atelier : plier le plan le long de y = x

Le graphe de f^{-1} est le symétrique de celui de f par rapport à la droite y = x : échanger x et y, c'est lire la machine à l'envers. Attrape le point rose sur la courbe, puis appuie sur Plier et regarde où il atterrit.

Compare les deux boutons du milieu : la même formule, mais un domaine différent. Sur ℝ le pliage produit une courbe qui n'est pas un graphe (deux valeurs au-dessus d'un même x) ; sur [0 ; +∞[ elle en redevient un. Restreindre le domaine, c'est ça qui crée la réciproque.

🎯 Le test de la droite horizontale

Une fonction admet une réciproque si et seulement si toute horizontale coupe sa courbe au plus une fois. Fais glisser la droite orange pour la tester, compte les intersections, puis réponds. Six manches.

manche

score

série

Le compteur d'antécédents en haut à droite te dit ce que cette horizontale voit. Mais attention : il suffit d'une seule horizontale à deux intersections pour tuer la réciproque, alors qu'il en faut toutes à une intersection pour la garantir.

IX. Les pièges du chapitre

⚠️ Parité : vérifie le domaine d'abord Avant de calculer f(−x), regarde si −x appartient au domaine. g(x) = \sqrt{x} ne peut être ni paire ni impaire : son domaine [0\,;\,+\infty[ n'est pas symétrique, g(−4) n'existe même pas.

⚠️ Majorée ne veut pas dire maximum atteint f(x) = \dfrac{x}{x + 1} sur [0 ; +∞[ vérifie f(x) < 1 pour tout x : elle est majorée par 1, mais AUCUN x ne donne f(x) = 1 : pas de maximum. Un majorant est un plafond ; un maximum est un plafond TOUCHÉ.

👆 ▶ À toi (synthèse) : f(x) = \sqrt{x - 1}. Domaine ? Sens de variation ? Réciproque ? Vérifie

Domaine x − 1 ≥ 0 : D_f = [1\,;\,+\infty[.
Monotonie si 1 ≤ a < b, alors a − 1 < b − 1, et la racine carrée conserve l'ordre strict : {\sqrt{a - 1} < \sqrt{b - 1}} : f est strictement croissante.
Réciproque y = \sqrt{x - 1} avec y ≥ 0 équivaut à {x = y^2 + 1} : f^{-1}(y) = y^2 + 1 définie sur [0 ; +∞[.

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