Fiche d'exercices Logimaths | L1 Éco
Fiche d'exercices : Limites
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Limites de référence⭐
Donne chaque limite (aucun calcul, juste le cours) :
- \lim_{x \to -\infty} x^5
- \lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x^2}
- \lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x^3}
- \lim_{x \to -\infty} e^x
- \lim_{x \to 0^+} \ln x
- \lim_{x \to -\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^x
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. -\infty (exposant impair).
2. +\infty (le carré rend le dénominateur positif des deux côtés).
3. -\infty (exposant impair : à gauche de 0, x^3 < 0).
4. 0 (l'exponentielle s'éteint en −∞).
5. -\infty.
6. \left(\tfrac{1}{2}\right)^x = e^{x \ln(1/2)} avec \ln \tfrac{1}{2} < 0 : quand x → −∞, l'exposant tend vers +∞, donc la limite est +\infty.
2. +\infty (le carré rend le dénominateur positif des deux côtés).
3. -\infty (exposant impair : à gauche de 0, x^3 < 0).
4. 0 (l'exponentielle s'éteint en −∞).
5. -\infty.
6. \left(\tfrac{1}{2}\right)^x = e^{x \ln(1/2)} avec \ln \tfrac{1}{2} < 0 : quand x → −∞, l'exposant tend vers +∞, donc la limite est +\infty.
Exercice 2 : Revenir à la définition (ε et A)⭐
Soit f(x) = 5 + \dfrac{1}{x^2} définie sur \mathbb{R}^*.
- Que vaut, intuitivement, \lim_{x \to +\infty} f(x) ?
- Pour ε > 0 donné, détermine un seuil A tel que : si x > A, alors {|f(x) - 5| < \varepsilon}.
- Application numérique : quel A convient pour ε = 10⁻⁴ ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. \tfrac{1}{x^2} \to 0 donc f(x) \to 5.
2. Pour x > 0 : \begin{aligned}|f(x) - 5| = \tfrac{1}{x^2} < \varepsilon &\iff x^2 > \tfrac{1}{\varepsilon} \\ &\iff x > \tfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\end{aligned} Le seuil A = \tfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}} convient.
3. \begin{aligned}A &= \tfrac{1}{\sqrt{10^{-4}}} \\ &= 100\end{aligned} Dès que x > 100, f(x) est à moins de 10⁻⁴ de 5.
2. Pour x > 0 : \begin{aligned}|f(x) - 5| = \tfrac{1}{x^2} < \varepsilon &\iff x^2 > \tfrac{1}{\varepsilon} \\ &\iff x > \tfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\end{aligned} Le seuil A = \tfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}} convient.
3. \begin{aligned}A &= \tfrac{1}{\sqrt{10^{-4}}} \\ &= 100\end{aligned} Dès que x > 100, f(x) est à moins de 10⁻⁴ de 5.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Quotients de polynômes : les trois scénarios⭐⭐
Détermine :
- \lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x^3 + x}{2x^3 - 7}
- \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^4 - 5}{3x^2 + 1}
- \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 9}{x^3 + 4}
- \lim_{x \to -\infty} \dfrac{5x^2 + x}{x - 1}
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
On compare les termes dominants (FI ∞/∞ dans chaque cas).
1. Mêmes degrés : \tfrac{6}{2} = 3.
2. Le numérateur domine (degré 4 contre 2) : \tfrac{x^4}{3x^2} = \tfrac{x^2}{3} \to +\infty.
3. Le dénominateur domine : limite 0.
4. \tfrac{5x^2}{x} = 5x \to -\infty quand x → −∞.
1. Mêmes degrés : \tfrac{6}{2} = 3.
2. Le numérateur domine (degré 4 contre 2) : \tfrac{x^4}{3x^2} = \tfrac{x^2}{3} \to +\infty.
3. Le dénominateur domine : limite 0.
4. \tfrac{5x^2}{x} = 5x \to -\infty quand x → −∞.
Exercice 4 : Limite à gauche, limite à droite⭐⭐
Soit f définie par f(x) = 4x - 1 si x < 3, et f(x) = x^2 - 2 si x ≥ 3.
- Détermine \lim_{x \to 3^-} f(x) et \lim_{x \to 3^+} f(x).
- f admet-elle une limite en 3 ?
- Soit g(x) = \dfrac{2}{x - 3}. Détermine les limites de g à gauche et à droite de 3. Quelle asymptote en déduit-on ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. À gauche : \lim_{x \to 3^-} (4x - 1) = 11. À droite : \lim_{x \to 3^+} (x^2 - 2) = 7.
2. 11 ≠ 7 : f n'admet pas de limite en 3 (seulement une limite de chaque côté).
3. Le numérateur vaut 2 > 0. À gauche de 3, x - 3 < 0 : \lim_{3^-} g = -\infty ; à droite, {x - 3 > 0} : \lim_{3^+} g = +\infty. Asymptote verticale x = 3.
2. 11 ≠ 7 : f n'admet pas de limite en 3 (seulement une limite de chaque côté).
3. Le numérateur vaut 2 > 0. À gauche de 3, x - 3 < 0 : \lim_{3^-} g = -\infty ; à droite, {x - 3 > 0} : \lim_{3^+} g = +\infty. Asymptote verticale x = 3.
Exercice 5 : Coût moyen et asymptotes⭐⭐
Une PME fabrique q objets par jour pour un coût total (en €) de {C(q) = 3q + 120} (120 € de frais fixes, 3 € par objet).
- Exprime le coût moyen {C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}} sous la forme a + \dfrac{b}{q}.
- Détermine \lim_{q \to 0^+} C_M(q) et interprète économiquement.
- Détermine \lim_{q \to +\infty} C_M(q), donne l'asymptote correspondante et interprète.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. \begin{aligned}C_M(q) &= \dfrac{3q + 120}{q} \\ &= 3 + \dfrac{120}{q}\end{aligned}
2. \lim_{q \to 0^+} C_M(q) = +\infty (asymptote verticale q = 0) : quand la production est minuscule, les 120 € de frais fixes pèsent sur une poignée d'objets, le coût moyen explose.
3. \tfrac{120}{q} \to 0 donc \lim_{q \to +\infty} C_M(q) = 3 : asymptote horizontale y = 3. À grande échelle, les frais fixes se diluent et le coût moyen se rapproche du coût unitaire de production (3 €), sans jamais l'atteindre.
2. \lim_{q \to 0^+} C_M(q) = +\infty (asymptote verticale q = 0) : quand la production est minuscule, les 120 € de frais fixes pèsent sur une poignée d'objets, le coût moyen explose.
3. \tfrac{120}{q} \to 0 donc \lim_{q \to +\infty} C_M(q) = 3 : asymptote horizontale y = 3. À grande échelle, les frais fixes se diluent et le coût moyen se rapproche du coût unitaire de production (3 €), sans jamais l'atteindre.
Exercice 6 : Composition : fonctions et suites⭐⭐
Détermine chaque limite en citant le schéma de composition (poser y = u(x)) :
- \lim_{x \to +\infty} \ln\left(3 + \tfrac{1}{x}\right)
- \lim_{x \to 0^+} \ln(x^2 + x)
- la limite de la suite de terme général v_n = e^{1 - n^2}
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. y = 3 + \tfrac{1}{x} \to 3 puis \ln y \to \ln 3 : la limite vaut \ln 3.
2. y = x^2 + x \to 0^+ (somme de deux termes qui tendent vers 0, positifs pour x > 0) puis \ln y \to -\infty : la limite vaut -\infty.
3. u_n = 1 - n^2 \to -\infty et e^y \xrightarrow[y \to -\infty]{} 0 : v_n \to 0 (composition d'une suite et d'une fonction).
2. y = x^2 + x \to 0^+ (somme de deux termes qui tendent vers 0, positifs pour x > 0) puis \ln y \to -\infty : la limite vaut -\infty.
3. u_n = 1 - n^2 \to -\infty et e^y \xrightarrow[y \to -\infty]{} 0 : v_n \to 0 (composition d'une suite et d'une fonction).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Comparaison et encadrement⭐⭐⭐
- Une fonction f vérifie f(x) ≥ x² − 10 pour tout réel x. Que vaut \lim_{x \to +\infty} f(x) ?
- Une fonction u vérifie 1 ≤ u(x) ≤ 4 pour tout x > 0. Montre que \lim_{x \to +\infty} \dfrac{u(x)}{x} = 0.
- Avec les mêmes hypothèses, peut-on en déduire que u admet une limite en +∞ ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. x^2 - 10 \to +\infty et f est au-dessus : par comparaison, f(x) \to +\infty (un seul « gendarme » suffit pour une limite infinie).
2. Pour x > 0 : {\tfrac{1}{x} \leq \tfrac{u(x)}{x} \leq \tfrac{4}{x}} et les deux bornes tendent vers 0 : par encadrement, \tfrac{u(x)}{x} \to 0.
3. Non ! Être bornée ne suffit pas à avoir une limite (une fonction peut osciller indéfiniment entre 1 et 4). L'encadrement conclut sur u(x)/x, pas sur u.
2. Pour x > 0 : {\tfrac{1}{x} \leq \tfrac{u(x)}{x} \leq \tfrac{4}{x}} et les deux bornes tendent vers 0 : par encadrement, \tfrac{u(x)}{x} \to 0.
3. Non ! Être bornée ne suffit pas à avoir une limite (une fonction peut osciller indéfiniment entre 1 et 4). L'encadrement conclut sur u(x)/x, pas sur u.
Exercice 8 : Croissances comparées et formes indéterminées⭐⭐⭐
Détermine :
- \lim_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^3}{x}
- \lim_{x \to -\infty} x^3 e^x
- \lim_{x \to +\infty} \left(2^x - x^7\right) (factorise !)
- \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \ln x
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Croissances comparées (β = 3, α = 1) : limite 0.
2. FI 0 × ∞ levée par croissances comparées (version −∞) : l'exponentielle s'éteint plus vite que x^3 n'explose, limite 0.
3. FI ∞ − ∞ : on factorise par le plus fort, 2^x - x^7 = 2^x\left(1 - \tfrac{x^7}{2^x}\right). Or \tfrac{x^7}{2^x} \to 0 (base 2 > 1) : la parenthèse tend vers 1 et la limite est +\infty.
4. C'est x^\alpha \ln x avec \alpha = \tfrac{1}{2} > 0 : par le corollaire des croissances comparées en 0^+, limite 0.
2. FI 0 × ∞ levée par croissances comparées (version −∞) : l'exponentielle s'éteint plus vite que x^3 n'explose, limite 0.
3. FI ∞ − ∞ : on factorise par le plus fort, 2^x - x^7 = 2^x\left(1 - \tfrac{x^7}{2^x}\right). Or \tfrac{x^7}{2^x} \to 0 (base 2 > 1) : la parenthèse tend vers 1 et la limite est +\infty.
4. C'est x^\alpha \ln x avec \alpha = \tfrac{1}{2} > 0 : par le corollaire des croissances comparées en 0^+, limite 0.