Fiche de cours Logimaths | L1 Éco
Fiche de cours : Limites
Définitions rigoureuses, formes indéterminées, croissances comparées et asymptotes
I. La limite, définie proprement
Limite finie en +∞
Dire que f admet la limite \ell \in \mathbb{R} en +∞, noté \lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell, c'est dire que f(x) s'approche de \ell d'aussi près que l'on veut, pourvu que x soit assez grand. En version quantifiée :
\forall \varepsilon > 0,\ \exists A \in \mathbb{R},\ \big(x \in D_f \text{ et } x > A\big) \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon.
Rappel utile : |f(x) - \ell| < \varepsilon \iff \ell - \varepsilon < f(x) < \ell + \varepsilon : f(x) est coincé dans un « tube » de largeur 2ε autour de \ell.
\forall \varepsilon > 0,\ \exists A \in \mathbb{R},\ \big(x \in D_f \text{ et } x > A\big) \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon.
Rappel utile : |f(x) - \ell| < \varepsilon \iff \ell - \varepsilon < f(x) < \ell + \varepsilon : f(x) est coincé dans un « tube » de largeur 2ε autour de \ell.
Limite infinie en +∞
\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty signifie que f(x) finit par dépasser n'importe quel seuil :
\forall M \in \mathbb{R},\ \exists A \in \mathbb{R},\ \big(x \in D_f \text{ et } x > A\big) \Rightarrow f(x) > M.
On définit de façon analogue la limite -\infty, ainsi que toutes les limites quand x \to -\infty (remplacer « x > A » par « x < A »).
\forall M \in \mathbb{R},\ \exists A \in \mathbb{R},\ \big(x \in D_f \text{ et } x > A\big) \Rightarrow f(x) > M.
On définit de façon analogue la limite -\infty, ainsi que toutes les limites quand x \to -\infty (remplacer « x > A » par « x < A »).
Limite en un point a
Limite finie : \lim_{x \to a} f(x) = \ell si
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \alpha > 0,\ \big(x \in D_f \text{ et } |x - a| < \alpha\big) \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon.
Limite infinie en a : même schéma, avec la conclusion f(x) > M (pour tout M).
f n'a pas besoin d'être définie en a : il suffit qu'elle le soit pour des x aussi proches de a que l'on veut. Exemple : g(x) = \tfrac{x^2 - 9}{x - 3} n'est pas définie en 3, mais pour x \neq 3 on a g(x) = x + 3, donc \lim_{x \to 3} g(x) = 6.
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \alpha > 0,\ \big(x \in D_f \text{ et } |x - a| < \alpha\big) \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon.
Limite infinie en a : même schéma, avec la conclusion f(x) > M (pour tout M).
f n'a pas besoin d'être définie en a : il suffit qu'elle le soit pour des x aussi proches de a que l'on veut. Exemple : g(x) = \tfrac{x^2 - 9}{x - 3} n'est pas définie en 3, mais pour x \neq 3 on a g(x) = x + 3, donc \lim_{x \to 3} g(x) = 6.
👆 ▶ À toi : avec la définition, montre que 3 + 1/x² tend vers 3 en +∞ (donne un seuil A qui convient). Vérifie
Pour ε > 0 et x > 0 : \begin{aligned}|f(x) - 3| = \tfrac{1}{x^2} < \varepsilon &\iff x^2 > \tfrac{1}{\varepsilon} \\ &\iff x > \tfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\end{aligned} Le seuil A = \tfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}} convient, la définition est vérifiée. Application : pour ε = 10⁻⁴, A = 100 suffit.
II. Limite à gauche, limite à droite
Notations x → a⁻ et x → a⁺
« x tend vers a à gauche » (x \to a^-) : x → a avec x < a. « À droite » (x \to a^+) : x → a avec x > a.
Exemple fondamental : \lim_{x \to 0^-} \tfrac{1}{x} = -\infty mais \lim_{x \to 0^+} \tfrac{1}{x} = +\infty : les deux côtés ne racontent pas la même histoire, donc 1/x n'a pas de limite en 0 (mais une limite de chaque côté).
Exemple fondamental : \lim_{x \to 0^-} \tfrac{1}{x} = -\infty mais \lim_{x \to 0^+} \tfrac{1}{x} = +\infty : les deux côtés ne racontent pas la même histoire, donc 1/x n'a pas de limite en 0 (mais une limite de chaque côté).
Fonction définie par morceaux : toujours séparer les deux côtés
Soit f définie par f(x) = x + 5 si x < 2, et f(x) = x^2 si x ≥ 2.
À gauche de 2 : \lim_{x \to 2^-} (x + 5) = 7. À droite : \lim_{x \to 2^+} x^2 = 4.
7 ≠ 4 : f n'a pas de limite en 2. La limite en a existe exactement quand les limites à gauche et à droite existent et sont égales.
À gauche de 2 : \lim_{x \to 2^-} (x + 5) = 7. À droite : \lim_{x \to 2^+} x^2 = 4.
7 ≠ 4 : f n'a pas de limite en 2. La limite en a existe exactement quand les limites à gauche et à droite existent et sont égales.
👆 ▶ À toi : limites à gauche et à droite de 1/(x − 4) quand x tend vers 4 ? Vérifie
Le numérateur vaut 1 > 0. À gauche de 4, x - 4 < 0 donc \lim_{x \to 4^-} \tfrac{1}{x - 4} = -\infty ; à droite, x - 4 > 0 donc \lim_{x \to 4^+} \tfrac{1}{x - 4} = +\infty. Pas de limite en 4.
III. Les limites des fonctions usuelles
| Fonction | en −∞ | en 0⁻ | en 0⁺ | en +∞ |
|---|---|---|---|---|
| x^n (n pair) | +\infty | 0 | 0 | +\infty |
| x^n (n impair) | -\infty | 0 | 0 | +\infty |
| \tfrac{1}{x^n} (n pair) | 0 | +\infty | +\infty | 0 |
| \tfrac{1}{x^n} (n impair) | 0 | -\infty | +\infty | 0 |
| \sqrt{x} | (non définie) | (non définie) | 0 | +\infty |
| e^x | 0 | 1 | 1 | +\infty |
| \ln x | (non définie) | (non définie) | -\infty | +\infty |
En un point du domaine : la limite, c'est la valeur
Si f est une fonction usuelle (polynôme, puissance, exponentielle, logarithme...) et si a \in D_f, alors \lim_{x \to a} f(x) = f(a).
Exemples : \lim_{x \to 2} x^3 = 8, \lim_{x \to 1} \ln x = 0, \lim_{x \to 0} e^x = 1.
Exemples : \lim_{x \to 2} x^3 = 8, \lim_{x \to 1} \ln x = 0, \lim_{x \to 0} e^x = 1.
Exponentielles de base a et puissances réelles
a^x = e^{x \ln a} (a > 0) : si a > 1, même comportement que e^x (+\infty en +∞, 0 en −∞) ; si 0 < a < 1, c'est l'inverse (0 en +∞, +\infty en −∞).
Pour x^a (x > 0, a réel) : si a > 0, {x^a \to +\infty} en +∞ et x^a \to 0 en 0^+ ; si a < 0, c'est l'inverse.
Note : dans certains cours de fac, le logarithme népérien est noté log ; ici, on écrit ln.
Pour x^a (x > 0, a réel) : si a > 0, {x^a \to +\infty} en +∞ et x^a \to 0 en 0^+ ; si a < 0, c'est l'inverse.
Note : dans certains cours de fac, le logarithme népérien est noté log ; ici, on écrit ln.
👆 ▶ À toi : limites de (0,8)ˣ en +∞ et de 3ˣ en −∞ ? Vérifie
0,8 < 1 donc (0{,}8)^x \to 0 en +∞ (perdre 20 % à chaque pas finit par tout écraser). 3 > 1 donc 3^x = e^{x \ln 3} \to 0 en −∞.
IV. Opérations et formes indéterminées
Opérations sur les limites
La limite d'une somme (d'un produit, d'un quotient) est la somme (le produit, le quotient) des limites, dès que l'opération a un sens.
Exemples : \tfrac{1}{x} + 7 \to 7 en +∞ ; si f → −2 et g → +∞ alors f(x) \times g(x) \to -\infty ; si f → +∞ alors \tfrac{1}{f(x)} \to 0.
Exemples : \tfrac{1}{x} + 7 \to 7 en +∞ ; si f → −2 et g → +∞ alors f(x) \times g(x) \to -\infty ; si f → +∞ alors \tfrac{1}{f(x)} \to 0.
⚠️ Les 4 formes indéterminées (FI)
+\infty - \infty, 0 \times \infty, \tfrac{0}{0}, \tfrac{\infty}{\infty}.
Face à une FI, les règles d'opérations ne concluent pas : il faut transformer l'expression (factoriser, simplifier, croissances comparées...).
Autre vigilance : dans les cas « ∞ » ou « ℓ/0 », il reste un signe à déterminer ; s'il change de part et d'autre, la limite n'existe pas (mais les limites à gauche et à droite, si).
Face à une FI, les règles d'opérations ne concluent pas : il faut transformer l'expression (factoriser, simplifier, croissances comparées...).
Autre vigilance : dans les cas « ∞ » ou « ℓ/0 », il reste un signe à déterminer ; s'il change de part et d'autre, la limite n'existe pas (mais les limites à gauche et à droite, si).
Le réflexe du terme dominant
À l'infini, un polynôme impose son terme de plus haut degré : \begin{aligned}\lim_{x \to -\infty} (4x^3 + x^2 - 8) &= \lim_{x \to -\infty} 4x^3 \\ &= -\infty\end{aligned} (preuve propre : factoriser {4x^3\big(1 + \tfrac{1}{4x} - \tfrac{2}{x^3}\big)}).
Un quotient de polynômes se comporte comme le quotient des termes dominants : \begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} \dfrac{10x^2 - 3}{4x^2 + x} &= \dfrac{10}{4} \\ &= \dfrac{5}{2}\end{aligned}
Un quotient de polynômes se comporte comme le quotient des termes dominants : \begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} \dfrac{10x^2 - 3}{4x^2 + x} &= \dfrac{10}{4} \\ &= \dfrac{5}{2}\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : FI ou pas FI ?
On connaît les limites de f et g : que dire de la combinaison demandée ?
🎮 Entraîne-toi : quotients de polynômes à l'infini
Compare les termes dominants et conclus.
👆 ▶ À toi : limite de x³ − 50x² en +∞ (c'est une FI ∞ − ∞) ? Vérifie
On factorise par le terme dominant : x^3 - 50x^2 = x^3\big(1 - \tfrac{50}{x}\big). Or \tfrac{50}{x} \to 0 : la parenthèse tend vers 1 et la limite est +\infty.
V. Comparaison et encadrement
Comparaison et encadrement (« gendarmes »)
Comparaison : si f(x) ≥ g(x) et {g(x) \to +\infty}, alors f(x) \to +\infty (et symétriquement : si f(x) ≤ g(x) et g(x) \to -\infty, alors f(x) \to -\infty).
Encadrement : si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) et si \begin{aligned}\lim h &= \lim g \\ &= \ell\end{aligned} alors \lim f = \ell.
Les inégalités doivent être vraies près de l'endroit où l'on prend la limite (pas forcément partout).
Encadrement : si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) et si \begin{aligned}\lim h &= \lim g \\ &= \ell\end{aligned} alors \lim f = \ell.
Les inégalités doivent être vraies près de l'endroit où l'on prend la limite (pas forcément partout).
👆 ▶ À toi : u est bornée (−1 ≤ u(x) ≤ 1 pour x > 0). Limite de u(x)/x en +∞ ? Vérifie
Pour x > 0 : -\tfrac{1}{x} \leq \tfrac{u(x)}{x} \leq \tfrac{1}{x} et les deux bornes tendent vers 0 : par encadrement, \tfrac{u(x)}{x} \to 0. Et cela sans rien savoir de la limite de u !
VI. Composition de limites
Limite d'une composée
Si u(x) \xrightarrow[x \to a]{} b et f(y) \xrightarrow[y \to b]{} \ell, alors f\big(u(x)\big) \xrightarrow[x \to a]{} \ell. On « enchaîne » les deux limites en posant y = u(x).
Exemple : \lim_{x \to +\infty} \ln\big(5 + \tfrac{1}{x}\big) : on pose {y = 5 + \tfrac{1}{x} \to 5}, puis \ln y \to \ln 5.
Version suites : si u_n \to b et f(y) \xrightarrow[y \to b]{} \ell, alors f(u_n) \to \ell.
Exemple : \lim_{x \to +\infty} \ln\big(5 + \tfrac{1}{x}\big) : on pose {y = 5 + \tfrac{1}{x} \to 5}, puis \ln y \to \ln 5.
Version suites : si u_n \to b et f(y) \xrightarrow[y \to b]{} \ell, alors f(u_n) \to \ell.
👆 ▶ À toi : limite de e^{-1/x^2} quand x tend vers 0 ? Vérifie
On pose y = -\tfrac{1}{x^2} \xrightarrow[x \to 0]{} -\infty (des deux côtés de 0), puis e^y \to 0 : la limite vaut 0.
VII. Croissances comparées
Le théorème des croissances comparées
Pour tous α > 0 et β > 0, en +∞ :
\dfrac{x^\alpha}{e^x} \to 0 \qquad \text{et} \qquad \dfrac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \to 0.
À l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance l'emporte sur le logarithme.
\dfrac{x^\alpha}{e^x} \to 0 \qquad \text{et} \qquad \dfrac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \to 0.
À l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance l'emporte sur le logarithme.
Trois corollaires à connaître
Pour a > 1 et α > 0 : \dfrac{x^\alpha}{a^x} \to 0 en +∞ (toute base > 1 écrase les puissances, car a^x = e^{x \ln a}).
\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0 (la puissance étouffe le logarithme, même en 0).
\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0 (l'exponentielle s'éteint plus vite que x n'explose).
\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0 (la puissance étouffe le logarithme, même en 0).
\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0 (l'exponentielle s'éteint plus vite que x n'explose).
🎮 Entraîne-toi : croissances comparées
Qui l'emporte ? Donne la limite.
👆 ▶ À toi : limite de x² × (1/3)ˣ en +∞ ? Vérifie
x^2 \left(\tfrac{1}{3}\right)^x = \dfrac{x^2}{3^x} et 3 > 1 : par croissances comparées, la limite vaut 0.
VIII. Asymptotes
Les trois asymptotes
La droite x = a est asymptote verticale si \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty ou \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty.
La droite y = \ell est asymptote horizontale en +∞ (ou en −∞) si \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell.
La droite y = ax + b est asymptote oblique en +∞ si \lim_{x \to +\infty} \big(f(x) - (ax + b)\big) = 0.
La droite y = \ell est asymptote horizontale en +∞ (ou en −∞) si \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell.
La droite y = ax + b est asymptote oblique en +∞ si \lim_{x \to +\infty} \big(f(x) - (ax + b)\big) = 0.
Courbe de f(x) = 2 + \tfrac{1}{x - 1} : asymptote verticale x = 1 et asymptote horizontale y = 2 (en pointillés).
💶 Lecture économique : le coût moyen
Coût total C(q) = 4q + 90 (90 € de frais fixes, 4 € par unité produite). Le coût moyen est \begin{aligned}C_M(q) &= \dfrac{4q + 90}{q} \\ &= 4 + \dfrac{90}{q}\end{aligned}
En 0^+ : C_M(q) \to +\infty (asymptote verticale q = 0) : produire trois fois rien coûte une fortune à l'unité.
En +∞ : C_M(q) \to 4 (asymptote horizontale y = 4) : les frais fixes se diluent et le coût moyen rejoint le coût unitaire de production.
En 0^+ : C_M(q) \to +\infty (asymptote verticale q = 0) : produire trois fois rien coûte une fortune à l'unité.
En +∞ : C_M(q) \to 4 (asymptote horizontale y = 4) : les frais fixes se diluent et le coût moyen rejoint le coût unitaire de production.
🎮 Entraîne-toi : trouve les asymptotes
Une homographique, deux asymptotes : réponds par des entiers.
verticale x =
et horizontale y =