Fiche d'exercices Logimaths | L1 Éco
Fiche d'exercices : Polynômes et fonctions usuelles
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Degré, coefficients, identification⭐
- Pour chacun des polynômes suivants, donne le degré, le coefficient dominant et le terme constant : P(x) = 7x^4 - 2x + 3 ; Q(x) = (2x - 1)(x^2 + 3) ; R(x) = 5.
- Détermine les réels a et b tels que, pour tout x : {(x + a)^2 + b = x^2 - 6x + 13}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. P : degré 4, coefficient dominant 7, terme constant 3.
Q : le terme dominant vient de {2x \times x^2 = 2x^3} : degré 3, coefficient dominant 2 ; terme constant (-1) \times 3 = -3.
R : polynôme constant : degré 0, coefficient dominant 5, terme constant 5.
2. On développe : {(x + a)^2 + b = x^2 + 2ax + a^2 + b}. Par identification des coefficients : 2a = -6 donne a = −3, puis a^2 + b = 13 donne b = 13 - 9, soit b = 4.
Q : le terme dominant vient de {2x \times x^2 = 2x^3} : degré 3, coefficient dominant 2 ; terme constant (-1) \times 3 = -3.
R : polynôme constant : degré 0, coefficient dominant 5, terme constant 5.
2. On développe : {(x + a)^2 + b = x^2 + 2ax + a^2 + b}. Par identification des coefficients : 2a = -6 donne a = −3, puis a^2 + b = 13 donne b = 13 - 9, soit b = 4.
Exercice 2 : Puissances et racines n-ièmes⭐
Calcule sans calculatrice, puis simplifie :
- 2^{-3} ; 16^{1/2} ; 125^{1/3} ; 9^{3/2}.
- x^5 \times x^{-2} ; \dfrac{(x^3)^4}{x^{10}} ; (2x)^3 (pour x > 0).
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. \begin{aligned}2^{-3} &= \dfrac{1}{2^3} \\ &= \dfrac{1}{8} \\ &= 0{,}125\end{aligned} \begin{aligned}16^{1/2} &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned} 125^{1/3} = 5 (car 5^3 = 125) ; \begin{aligned}9^{3/2} &= \left(9^{1/2}\right)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27\end{aligned}
2. \begin{aligned}x^5 \times x^{-2} &= x^{5-2} \\ &= x^3\end{aligned} \begin{aligned}\dfrac{(x^3)^4}{x^{10}} &= \dfrac{x^{12}}{x^{10}} \\ &= x^2\end{aligned} \begin{aligned}(2x)^3 &= 2^3 x^3 \\ &= 8x^3\end{aligned}
2. \begin{aligned}x^5 \times x^{-2} &= x^{5-2} \\ &= x^3\end{aligned} \begin{aligned}\dfrac{(x^3)^4}{x^{10}} &= \dfrac{x^{12}}{x^{10}} \\ &= x^2\end{aligned} \begin{aligned}(2x)^3 &= 2^3 x^3 \\ &= 8x^3\end{aligned}
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Trinômes : trois discriminants⭐⭐
Pour chaque trinôme, calcule le discriminant, donne les racines éventuelles et factorise quand c'est possible :
- A(x) = 2x^2 - 3x - 2
- B(x) = x^2 - 8x + 16
- C(x) = x^2 + 2x + 5
- D(x) = 9x^2 - 4 (sans discriminant !)
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. \begin{aligned}\Delta &= 9 + 16 \\ &= 25\end{aligned} : racines \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{3 - 5}{4} \\ &= -\dfrac{1}{2}\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{3 + 5}{4} \\ &= 2\end{aligned} \begin{aligned}A(x) &= 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 2) \\ &= (2x + 1)(x - 2)\end{aligned}
2. \begin{aligned}\Delta &= 64 - 64 \\ &= 0\end{aligned} : racine double x_0 = 4 et B(x) = (x - 4)^2.
3. \begin{aligned}\Delta &= 4 - 20 \\ &= -16 < 0\end{aligned} Aucune racine, C est déjà sous forme factorisée.
4. Identité remarquable : \begin{aligned}D(x) &= (3x)^2 - 2^2 \\ &= (3x - 2)(3x + 2)\end{aligned} : racines -\dfrac{2}{3} et \dfrac{2}{3}.
2. \begin{aligned}\Delta &= 64 - 64 \\ &= 0\end{aligned} : racine double x_0 = 4 et B(x) = (x - 4)^2.
3. \begin{aligned}\Delta &= 4 - 20 \\ &= -16 < 0\end{aligned} Aucune racine, C est déjà sous forme factorisée.
4. Identité remarquable : \begin{aligned}D(x) &= (3x)^2 - 2^2 \\ &= (3x - 2)(3x + 2)\end{aligned} : racines -\dfrac{2}{3} et \dfrac{2}{3}.
Exercice 4 : Racine évidente et degré 3⭐⭐
On considère P(x) = x^3 - 7x + 6.
- Vérifie que 1 est racine de P.
- Détermine les réels a, b, c tels que P(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c).
- Factorise complètement P et donne toutes ses racines.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \begin{aligned}P(1) &= 1 - 7 + 6 \\ &= 0\end{aligned} 1 est bien racine.
2. On développe : (x - 1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c.
Identification avec x^3 + 0x^2 - 7x + 6 : a = 1 ; b - a = 0 donne b = 1 ; -c = 6 donne c = −6 (et on vérifie : c - b = -7 ✔).
3. Pour x^2 + x - 6 : \begin{aligned}\Delta &= 1 + 24 \\ &= 25\end{aligned} racines \dfrac{-1 - 5}{2} = -3 et \dfrac{-1 + 5}{2} = 2.
Bilan : P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3), racines 1, 2 et −3.
2. On développe : (x - 1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c.
Identification avec x^3 + 0x^2 - 7x + 6 : a = 1 ; b - a = 0 donne b = 1 ; -c = 6 donne c = −6 (et on vérifie : c - b = -7 ✔).
3. Pour x^2 + x - 6 : \begin{aligned}\Delta &= 1 + 24 \\ &= 25\end{aligned} racines \dfrac{-1 - 5}{2} = -3 et \dfrac{-1 + 5}{2} = 2.
Bilan : P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3), racines 1, 2 et −3.
Exercice 5 : Équations avec exp et ln⭐⭐
Résous chaque équation (pense au domaine !) :
- e^x = 7
- e^{2x} = 5
- \ln(x) = 3
- \ln(3x - 6) = 0
- e^x = -1
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. x = \ln 7 (ln est la réciproque de exp).
2. 2x = \ln 5 donc x = \dfrac{\ln 5}{2}.
3. x = e^3.
4. Domaine : 3x - 6 > 0, soit x > 2. Puis \ln(3x - 6) = \ln 1 donne 3x - 6 = 1, soit x = \dfrac{7}{3} ✔ (bien supérieur à 2).
5. Aucune solution : e^x > 0 pour tout x.
2. 2x = \ln 5 donc x = \dfrac{\ln 5}{2}.
3. x = e^3.
4. Domaine : 3x - 6 > 0, soit x > 2. Puis \ln(3x - 6) = \ln 1 donne 3x - 6 = 1, soit x = \dfrac{7}{3} ✔ (bien supérieur à 2).
5. Aucune solution : e^x > 0 pour tout x.
Exercice 6 : Jongler avec les propriétés de ln⭐⭐
- Exprime en fonction de \ln 2 et \ln 3 : \ln 24 ; \ln\!\left(\dfrac{8}{9}\right) ; \ln \sqrt{12} ; \ln\!\left(\dfrac{1}{6}\right).
- Simplifie D = e^{\ln 3 + \ln 4}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}\ln 24 &= \ln(2^3 \times 3) \\ &= 3\ln 2 + \ln 3\end{aligned}
\begin{aligned}\ln\!\left(\dfrac{8}{9}\right) &= \ln(2^3) - \ln(3^2) \\ &= 3\ln 2 - 2\ln 3\end{aligned}
\begin{aligned}\ln \sqrt{12} &= \dfrac{1}{2}\ln 12 \\ &= \dfrac{1}{2}(2\ln 2 + \ln 3) \\ &= \ln 2 + \dfrac{1}{2}\ln 3\end{aligned}
\begin{aligned}\ln\!\left(\dfrac{1}{6}\right) &= -\ln 6 \\ &= -\ln 2 - \ln 3\end{aligned}
2. \ln 3 + \ln 4 = \ln 12 donc \begin{aligned}D &= e^{\ln 12} \\ &= 12\end{aligned}
\begin{aligned}\ln\!\left(\dfrac{8}{9}\right) &= \ln(2^3) - \ln(3^2) \\ &= 3\ln 2 - 2\ln 3\end{aligned}
\begin{aligned}\ln \sqrt{12} &= \dfrac{1}{2}\ln 12 \\ &= \dfrac{1}{2}(2\ln 2 + \ln 3) \\ &= \ln 2 + \dfrac{1}{2}\ln 3\end{aligned}
\begin{aligned}\ln\!\left(\dfrac{1}{6}\right) &= -\ln 6 \\ &= -\ln 2 - \ln 3\end{aligned}
2. \ln 3 + \ln 4 = \ln 12 donc \begin{aligned}D &= e^{\ln 12} \\ &= 12\end{aligned}
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Seuil de rentabilité d'une entreprise⭐⭐⭐
Une entreprise vend q unités d'un produit (0 ≤ q ≤ 30). Son profit, en milliers d'euros, est modélisé par \Pi(q) = -q^2 + 30q - 125.
- Calcule \Pi(5) et \Pi(10). Interprète.
- Détermine les racines de Π et factorise \Pi(q).
- Pour quelles quantités l'entreprise est-elle rentable (profit strictement positif) ?
- Quelle quantité maximise le profit, et que vaut ce profit maximal ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \begin{aligned}\Pi(5) &= -25 + 150 - 125 \\ &= 0\end{aligned} À 5 unités, l'entreprise ne gagne ni ne perd rien. \begin{aligned}\Pi(10) &= -100 + 300 - 125 \\ &= 75\end{aligned} D'où 75 000 € de profit.
2. \begin{aligned}\Delta &= 30^2 - 4 \times (-1) \times (-125) \\ &= 900 - 500 \\ &= 400\end{aligned} \sqrt{\Delta} = 20 : racines \begin{aligned}q_1 &= \dfrac{-30 + 20}{-2} \\ &= 5\end{aligned} et \begin{aligned}q_2 &= \dfrac{-30 - 20}{-2} \\ &= 25\end{aligned}
Factorisation : \Pi(q) = -(q - 5)(q - 25).
3. Le coefficient dominant est négatif : le trinôme est positif ENTRE ses racines. L'entreprise est rentable pour 5 < q < 25 : les racines 5 et 25 sont les seuils de rentabilité.
4. Par symétrie de la parabole, le maximum est au milieu des racines : \begin{aligned}q &= \dfrac{5 + 25}{2} \\ &= 15\end{aligned} et \begin{aligned}\Pi(15) &= -225 + 450 - 125 \\ &= 100\end{aligned} : profit maximal de 100 000 € pour 15 unités.
2. \begin{aligned}\Delta &= 30^2 - 4 \times (-1) \times (-125) \\ &= 900 - 500 \\ &= 400\end{aligned} \sqrt{\Delta} = 20 : racines \begin{aligned}q_1 &= \dfrac{-30 + 20}{-2} \\ &= 5\end{aligned} et \begin{aligned}q_2 &= \dfrac{-30 - 20}{-2} \\ &= 25\end{aligned}
Factorisation : \Pi(q) = -(q - 5)(q - 25).
3. Le coefficient dominant est négatif : le trinôme est positif ENTRE ses racines. L'entreprise est rentable pour 5 < q < 25 : les racines 5 et 25 sont les seuils de rentabilité.
4. Par symétrie de la parabole, le maximum est au milieu des racines : \begin{aligned}q &= \dfrac{5 + 25}{2} \\ &= 15\end{aligned} et \begin{aligned}\Pi(15) &= -225 + 450 - 125 \\ &= 100\end{aligned} : profit maximal de 100 000 € pour 15 unités.
Exercice 8 : Croissance d'un capital : puissances, exp et ln réunis⭐⭐⭐
Un capital de 2 000 € est placé à 5 % par an (intérêts composés) : après n années, il vaut C_n = 2\,000 \times 1{,}05^n euros.
On donne : \ln(1{,}05) \approx 0{,}0488 ; {\ln(1{,}5) \approx 0{,}405} ; \ln 2 \approx 0{,}693 ; \ln(1{,}1) \approx 0{,}0953.
On donne : \ln(1{,}05) \approx 0{,}0488 ; {\ln(1{,}5) \approx 0{,}405} ; \ln 2 \approx 0{,}693 ; \ln(1{,}1) \approx 0{,}0953.
- Écris 1{,}05^n sous la forme e^{kn}.
- Au bout de combien d'années entières le capital dépasse-t-il 3 000 € ?
- Au bout de combien d'années entières a-t-il doublé ? Compare avec la « règle des 70 ».
- Même question à 10 % par an. Que constates-tu ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Écriture exponentielle : \begin{aligned}1{,}05^n &= e^{n \ln(1{,}05)} \\ &\approx e^{0{,}0488\,n}\end{aligned} D'où k = ln(1,05).
2. 2\,000 \times 1{,}05^n > 3\,000 \iff 1{,}05^n > 1{,}5. On applique ln (croissante) : {n \ln(1{,}05) > \ln(1{,}5)}, d'où n > \dfrac{0{,}405}{0{,}0488} \approx 8{,}3 : au bout de 9 ans.
3. \begin{aligned} 1{,}05^n > 2 &\iff n > \dfrac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}0488} \\ &\approx 14{,}2\end{aligned} Le capital a doublé au bout de 15 ans. La règle des 70 annonçait 70/5 = 14 ans : bonne approximation.
4. À 10 % : n > \dfrac{0{,}693}{0{,}0953} \approx 7{,}3 : 8 ans. Doubler le taux divise (presque) par deux le temps de doublement : c'est la force des intérêts composés.
2. 2\,000 \times 1{,}05^n > 3\,000 \iff 1{,}05^n > 1{,}5. On applique ln (croissante) : {n \ln(1{,}05) > \ln(1{,}5)}, d'où n > \dfrac{0{,}405}{0{,}0488} \approx 8{,}3 : au bout de 9 ans.
3. \begin{aligned} 1{,}05^n > 2 &\iff n > \dfrac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}0488} \\ &\approx 14{,}2\end{aligned} Le capital a doublé au bout de 15 ans. La règle des 70 annonçait 70/5 = 14 ans : bonne approximation.
4. À 10 % : n > \dfrac{0{,}693}{0{,}0953} \approx 7{,}3 : 8 ans. Doubler le taux divise (presque) par deux le temps de doublement : c'est la force des intérêts composés.