Fiche de cours Logimaths | L1 Éco
Fiche de cours : Polynômes et fonctions usuelles
Degré, racines, factorisation, puissances, exp et ln : la boîte à outils de l'économiste
I. Les fonctions polynômes
Polynôme, degré, coefficients
Une fonction polynôme (ou polynôme) est une fonction P définie sur ℝ par P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_d x^d avec a_d \neq 0.
- Le nombre d est le degré de P ;
- a_d est le coefficient dominant, a_0 le terme constant.
Identification : mêmes coefficients, même polynôme
Deux polynômes sont égaux si, et seulement si, ils ont le même degré et les mêmes coefficients terme à terme.
C'est ce théorème qui justifie la méthode « développer puis identifier les coefficients », utilisée plus bas pour factoriser un degré 3.
C'est ce théorème qui justifie la méthode « développer puis identifier les coefficients », utilisée plus bas pour factoriser un degré 3.
👆 ▶ À toi : quel est le degré de (3x² + 1)(2x³ − x) ? Vérifie
Inutile de tout développer : le terme de plus haut degré du produit vient de 3x^2 \times 2x^3 = 6x^5.
Le degré d'un produit est la somme des degrés : 2 + 3 = 5.
Le degré d'un produit est la somme des degrés : 2 + 3 = 5.
🎮 Entraîne-toi : le degré à l'œil
Le degré est le plus grand exposant présent, même caché au milieu de l'écriture.
II. Racines et factorisation
Racine (ou zéro) d'un polynôme
Un réel x_0 tel que P(x_0) = 0 s'appelle une racine de P.
Théorème : un polynôme de degré d admet au plus d racines réelles (il peut en avoir moins, voire aucune).
En économie, les racines sont souvent des seuils : quantités qui annulent le profit, prix d'équilibre...
Théorème : un polynôme de degré d admet au plus d racines réelles (il peut en avoir moins, voire aucune).
En économie, les racines sont souvent des seuils : quantités qui annulent le profit, prix d'équilibre...
Une racine = un facteur
Si x_0 est racine d'un polynôme P de degré d, alors il existe un polynôme Q de degré d − 1 tel que {P(x) = (x - x_0)\,Q(x)}.
En répétant l'opération, tout polynôme se factorise en un produit de facteurs de degré 1 et de facteurs de degré 2 sans racine.
En répétant l'opération, tout polynôme se factorise en un produit de facteurs de degré 1 et de facteurs de degré 2 sans racine.
Le trinôme ax² + bx + c : le discriminant décide
On calcule \Delta = b^2 - 4ac :
- Si \Delta > 0 : deux racines {x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}} et x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, et P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) ;
- si \Delta = 0 : une racine double {x_0 = -\dfrac{b}{2a}}, et P(x) = a(x - x_0)^2 ;
- si \Delta < 0 : aucune racine, et le trinôme est déjà sous forme factorisée.
Degré 3 : racine évidente puis identification
Exemple rédigé avec {P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6} :
- Chercher une racine évidente parmi −2, −1, 0, 1, 2 : ici \begin{aligned}P(-1) &= -1 - 4 - 1 + 6 \\ &= 0\end{aligned} donc −1 est racine ;
- poser la factorisation {P(x) = (x + 1)(ax^2 + bx + c)}, développer puis identifier les coefficients : a = 1, b = −5, c = 6 ;
- finir avec le trinôme : {x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)} (Δ = 1). Bilan : {P(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)}, racines −1, 2 et 3.
⚠️ Ne divise jamais par x : tu perds une racine
Pour résoudre x^2 = 5x, simplifier par x fait disparaître la racine 0. On factorise : \begin{aligned}x^2 - 5x &= x(x - 5) \\ &= 0\end{aligned} d'où DEUX racines : 0 et 5.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
👆 ▶ À toi : factorise P(x) = x² − 6x + 8 et donne ses racines. Vérifie
\begin{aligned}\Delta &= (-6)^2 - 4 \times 1 \times 8 \\ &= 4\end{aligned} donc deux racines : \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{6 - 2}{2} \\ &= 2\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{6 + 2}{2} \\ &= 4\end{aligned}
Factorisation : P(x) = (x - 2)(x - 4).
Factorisation : P(x) = (x - 2)(x - 4).
🎮 Entraîne-toi : la racine évidente
Teste −1, 0 et 1 dans P : un seul des trois annule le polynôme.
🎮 Entraîne-toi : combien de racines ?
Calcule le discriminant Δ = b² − 4ac et regarde son signe.
III. Puissances et racines n-ièmes
La fonction puissance
Pour un réel b quelconque, la fonction puissance f_b : x \mapsto x^b est définie sur ]0\,;\,+\infty[ et ne prend que des valeurs strictement positives.
- Si b > 0 : f_b est strictement croissante ;
- si b < 0 : f_b est strictement décroissante.
Trois cas particuliers à connaître
- Exposant entier n : {x^n = x \times x \times \dots \times x} (n facteurs) ; cette fonction se prolonge à ℝ tout entier ;
- exposant négatif : x^{-n} = \dfrac{1}{x^n} (pour x ≠ 0) ;
- exposant 1/n : x^{1/n} est la racine n-ième de x, réciproque de x \mapsto x^n : c'est le nombre positif dont la puissance n-ième vaut x. En particulier x^{1/2} = \sqrt{x}, x^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}, et la racine cubique x^{1/3} peut même être définie sur ℝ.
Les règles de calcul (exposants réels quelconques)
Pour x, y > 0 et a, b réels :
- x^a \times x^b = x^{a+b} et \dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b} ;
- (x^a)^b = x^{ab} ;
- (xy)^a = x^a y^a ;
- x^0 = 1 et x^1 = x.
👆 ▶ À toi : simplifie (x⁴)³ × x⁻¹⁰. Vérifie
(x^4)^3 = x^{12} (on multiplie les exposants), puis \begin{aligned}x^{12} \times x^{-10} &= x^{12-10} \\ &= x^2\end{aligned} (on les additionne).
🎮 Entraîne-toi : puissances et racines n-ièmes
Exposant entier, exposant négatif ou racine n-ième : applique les définitions.
IV. Exponentielles et logarithme
Les exponentielles de base a
Pour a > 0, la fonction g_a : x \mapsto a^x est définie sur ℝ tout entier.
- a^x > 0 pour tout x : jamais nulle, jamais négative ;
- si a > 1 : strictement croissante ; si 0 < a < 1 : strictement décroissante ;
- mêmes règles que les puissances : a^{x+y} = a^x a^y, a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}, (a^x)^y = a^{xy}, (ab)^x = a^x b^x.
LA fonction exponentielle (base e)
Parmi toutes les bases, une seule est « naturelle » : le nombre d'Euler {e \approx 2{,}718}. On note \exp(x) = e^x : définie sur ℝ, strictement croissante, et :
- \exp(0) = 1 et \exp(1) = e ;
- \exp(x + y) = \exp(x)\exp(y) ;
- \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)} et {\exp(x - y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}}.
Le logarithme, réciproque de exp
La fonction \ln (logarithme népérien, souvent noté log dans les cours de sciences éco) est la réciproque de exp : elle est définie sur ]0\,;\,+\infty[ et vérifie :
- \ln(e^x) = x pour tout réel x, et {e^{\ln x} = x} pour x > 0 ;
- pour x > 0 : \begin{aligned}y = \ln x &\iff x = e^y \end{aligned}
- \ln 1 = 0 et \ln e = 1.
Les propriétés algébriques de ln
Pour x, y > 0 et n entier relatif :
- \ln(x \times y) = \ln x + \ln y : ln transforme les produits en sommes ;
- \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln x et {\ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y} ;
- \ln(x^n) = n \ln x ;
- ln est strictement croissante sur ]0\,;\,+\infty[.
⚠️ Trois pièges qui coûtent des points
- \ln(x + y) \neq \ln x + \ln y : c'est le PRODUIT que ln transforme en somme, pas la somme ;
- le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas ;
- e^x = -3 n'a aucune solution : une exponentielle est toujours strictement positive.
👆 ▶ À toi : simplifie A = ln(20) − ln(5) + ln(e²). Vérifie
\begin{aligned}\ln 20 - \ln 5 &= \ln\!\left(\dfrac{20}{5}\right) \\ &= \ln 4\end{aligned} et \ln(e^2) = 2.
Donc \begin{aligned}A &= \ln 4 + 2 \\ &= 2\ln 2 + 2\end{aligned}
Donc \begin{aligned}A &= \ln 4 + 2 \\ &= 2\ln 2 + 2\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : simplifier avec exp et ln
Produit, quotient ou puissance : une seule des trois écritures est correcte.
V. L'écriture exponentielle de aˣ
Toute puissance se ramène à exp
Pour a > 0 et x réel : \begin{aligned}a^x &= \left(e^{\ln a}\right)^{x} \\ &= e^{x \ln a}\end{aligned}
Toute exponentielle de base a (et toute puissance) s'exprime donc avec LA fonction exp :
Toute exponentielle de base a (et toute puissance) s'exprime donc avec LA fonction exp :
- 5^x = e^{x \ln 5} ;
- \begin{aligned}8 &= 2^3 \\ &= e^{3 \ln 2}\end{aligned}
- \begin{aligned}\sqrt{3} &= 3^{1/2} \\ &= e^{\frac{\ln 3}{2}}\end{aligned}
Application : le temps de doublement d'un capital
À 4 % par an, au bout de combien d'années un capital a-t-il doublé ? On résout 1{,}04^n \geq 2.
On applique ln (strictement croissante) : n \ln(1{,}04) \geq \ln 2, d'où \begin{aligned}n &\geq \dfrac{\ln 2}{\ln(1{,}04)} \\ &\approx 17{,}7\end{aligned} Le capital double en 18 ans.
Les financiers retiennent la « règle des 70 » : temps de doublement ≈ 70 divisé par le taux en % (ici 70/4 = 17,5).
On applique ln (strictement croissante) : n \ln(1{,}04) \geq \ln 2, d'où \begin{aligned}n &\geq \dfrac{\ln 2}{\ln(1{,}04)} \\ &\approx 17{,}7\end{aligned} Le capital double en 18 ans.
Les financiers retiennent la « règle des 70 » : temps de doublement ≈ 70 divisé par le taux en % (ici 70/4 = 17,5).
👆 ▶ À toi : écris 7^x puis \sqrt{5} sous la forme e^{\dots}. Vérifie
7^x = e^{x \ln 7} (définition de l'écriture exponentielle).
\begin{aligned}\sqrt{5} &= 5^{1/2} \\ &= e^{\frac{\ln 5}{2}}\end{aligned}
\begin{aligned}\sqrt{5} &= 5^{1/2} \\ &= e^{\frac{\ln 5}{2}}\end{aligned}