Fiche d'exercices Logimaths | L1 Éco
Fiche d'exercices : Suites réelles
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Premiers termes⭐
- Soit u_n = 3n - n^2. Calcule u_0, u_1, u_2 et u_3.
- Soit v_0 = 8 et v_{n+1} = \dfrac{v_n}{2} + 1. Calcule v_1, v_2 et v_3.
- Pour chacune des deux suites, précise si elle est définie par une formule explicite ou par récurrence.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. u_0 = 0, u_1 = 2, u_2 = 2, u_3 = 0 (la suite monte puis redescend : elle n'est pas monotone).
2. v_1 = 5, v_2 = 3{,}5, v_3 = 2{,}75.
3. (u_n) est explicite (chaque terme se calcule directement depuis n) ; (v_n) est définie par récurrence (chaque terme exige le précédent).
2. v_1 = 5, v_2 = 3{,}5, v_3 = 2{,}75.
3. (u_n) est explicite (chaque terme se calcule directement depuis n) ; (v_n) est définie par récurrence (chaque terme exige le précédent).
Exercice 2 : Arithmétique ou géométrique ?⭐
- Une suite arithmétique vérifie {u_3 = 11} et u_7 = 23. Détermine sa raison r, son premier terme u_0 et sa forme explicite.
- Une suite géométrique à termes positifs vérifie g_1 = 6 et g_3 = 24. Détermine sa raison q, puis g_0 et g_n en fonction de n.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. De u_3 à u_7 il y a 4 pas de raison r : \begin{aligned}4r &= 23 - 11 \\ &= 12\end{aligned} donc r = 3. Puis \begin{aligned}u_0 &= u_3 - 3r \\ &= 11 - 9 \\ &= 2\end{aligned} et u_n = 2 + 3n.
2. g_3 = q^2\,g_1, donc \begin{aligned}q^2 &= \dfrac{24}{6} \\ &= 4\end{aligned} et q = 2 (raison positive car les termes le sont). Alors \begin{aligned}g_0 &= \dfrac{g_1}{q} \\ &= 3\end{aligned} et g_n = 3 \times 2^n.
2. g_3 = q^2\,g_1, donc \begin{aligned}q^2 &= \dfrac{24}{6} \\ &= 4\end{aligned} et q = 2 (raison positive car les termes le sont). Alors \begin{aligned}g_0 &= \dfrac{g_1}{q} \\ &= 3\end{aligned} et g_n = 3 \times 2^n.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Démonstration par récurrence⭐⭐
Montre par récurrence que pour tout entier n \geq 0 : 4^n \geq 3n + 1.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
Initialisation : 4^0 = 1 et 3 \times 0 + 1 = 1 : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : fixons n \geq 0 et supposons 4^n \geq 3n + 1 (hypothèse de récurrence). En multipliant par 4 (positif) : \begin{aligned}4^{n+1} &\geq 4(3n + 1) \\ &= 12n + 4\end{aligned} Or \begin{aligned}12n + 4 &= (3n + 4) + 9n \\ &\geq 3n + 4 \\ &= 3(n+1) + 1\end{aligned} La propriété est vraie au rang n + 1.
Conclusion : pour tout n \geq 0, 4^n \geq 3n + 1. ∎
Hérédité : fixons n \geq 0 et supposons 4^n \geq 3n + 1 (hypothèse de récurrence). En multipliant par 4 (positif) : \begin{aligned}4^{n+1} &\geq 4(3n + 1) \\ &= 12n + 4\end{aligned} Or \begin{aligned}12n + 4 &= (3n + 4) + 9n \\ &\geq 3n + 4 \\ &= 3(n+1) + 1\end{aligned} La propriété est vraie au rang n + 1.
Conclusion : pour tout n \geq 0, 4^n \geq 3n + 1. ∎
Exercice 4 : Monotonie et bornes⭐⭐
Soit u_n = 4 - \dfrac{3}{n+1} pour n \geq 0.
- Calcule u_0, u_1 et u_2.
- Montre que {1 \leq u_n < 4} pour tout n. Que peut-on en conclure sur la suite ?
- Étudie le signe de u_{n+1} - u_n et conclus sur la monotonie.
- La suite converge-t-elle ? Si oui, détermine sa limite.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. u_0 = 1, u_1 = 2{,}5, u_2 = 3.
2. Pour tout n : 0 < \dfrac{3}{n+1} \leq 3, donc {1 \leq u_n < 4} : la suite est minorée par 1 et majorée par 4, donc bornée.
3. \begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= \dfrac{3}{n+1} - \dfrac{3}{n+2} \\ &= \dfrac{3}{(n+1)(n+2)} > 0\end{aligned} La suite est strictement croissante.
4. Croissante et majorée : elle converge (théorème de convergence monotone). Par opérations, \dfrac{3}{n+1} \to 0 donc u_n \to 4.
2. Pour tout n : 0 < \dfrac{3}{n+1} \leq 3, donc {1 \leq u_n < 4} : la suite est minorée par 1 et majorée par 4, donc bornée.
3. \begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= \dfrac{3}{n+1} - \dfrac{3}{n+2} \\ &= \dfrac{3}{(n+1)(n+2)} > 0\end{aligned} La suite est strictement croissante.
4. Croissante et majorée : elle converge (théorème de convergence monotone). Par opérations, \dfrac{3}{n+1} \to 0 donc u_n \to 4.
Exercice 5 : Sommes partielles⭐⭐
- Calcule 5 + 8 + 11 + \dots + 62.
- Calcule 2 + 6 + 18 + \dots + 2 \times 3^9.
- Chaque mois, une étudiante verse sur un livret 10 € de plus que le mois précédent : 150 € le premier mois, 160 € le deuxième, etc. Quel montant total a-t-elle versé au bout de 12 mois ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Suite arithmétique de raison 3 : {62 = 5 + 3 \times 19}, donc 20 termes. \begin{aligned}S &= \dfrac{(5 + 62) \times 20}{2} \\ &= 670\end{aligned}
2. Suite géométrique de raison 3, du terme 2 \times 3^0 au terme 2 \times 3^9 (10 termes) : \begin{aligned}S &= 2 \times \dfrac{3^{10} - 1}{3 - 1} \\ &= 3^{10} - 1 \\ &= 59\,048\end{aligned}
3. Versements arithmétiques de raison 10, de 150 € à 150 + 10 \times 11 = 260 € : total \dfrac{(150 + 260) \times 12}{2} = 2\,460 €.
2. Suite géométrique de raison 3, du terme 2 \times 3^0 au terme 2 \times 3^9 (10 termes) : \begin{aligned}S &= 2 \times \dfrac{3^{10} - 1}{3 - 1} \\ &= 3^{10} - 1 \\ &= 59\,048\end{aligned}
3. Versements arithmétiques de raison 10, de 150 € à 150 + 10 \times 11 = 260 € : total \dfrac{(150 + 260) \times 12}{2} = 2\,460 €.
Exercice 6 : Calculs de limites⭐⭐
Détermine la limite de chaque suite (justifie : opérations, terme dominant ou encadrement) :
- u_n = \dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + 3}
- v_n = n^2 - 5n
- w_n = \dfrac{5^n}{6^n}
- t_n = \dfrac{2 + (-1)^n}{n} (pour n \geq 1)
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. On factorise par n^2 en haut et en bas : \begin{aligned}u_n &= \dfrac{2 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{3}{n^2}} \to \dfrac{2}{1} \\ &= 2\end{aligned}
2. Forme « \infty - \infty » : on factorise par le terme dominant : v_n = n^2\left(1 - \dfrac{5}{n}\right) \to +\infty.
3. w_n = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{\!n} : géométrique de raison entre −1 et 1, donc w_n \to 0 (alors que \dfrac{\infty}{\infty} ne permettait pas de conclure).
4. Encadrement : {\dfrac{1}{n} \leq t_n \leq \dfrac{3}{n}} et les deux bornes tendent vers 0, donc t_n \to 0.
2. Forme « \infty - \infty » : on factorise par le terme dominant : v_n = n^2\left(1 - \dfrac{5}{n}\right) \to +\infty.
3. w_n = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{\!n} : géométrique de raison entre −1 et 1, donc w_n \to 0 (alors que \dfrac{\infty}{\infty} ne permettait pas de conclure).
4. Encadrement : {\dfrac{1}{n} \leq t_n \leq \dfrac{3}{n}} et les deux bornes tendent vers 0, donc t_n \to 0.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Intérêts simples ou composés ?⭐⭐⭐
Un capital de 1000 € est placé au taux annuel de 4 %. On note S_n le capital après n années à intérêts simples (l'intérêt est calculé chaque année sur les 1000 € initiaux) et C_n le capital à intérêts composés (l'intérêt s'ajoute au capital).
- Justifie que S_n = 1000 + 40n. Quelle est la nature de la suite (S_n) ?
- Justifie que C_{n+1} = 1{,}04\,C_n, puis donne la forme explicite de C_n. Quelle est la nature de la suite ?
- Calcule S_5 et C_5 (arrondir au centime), puis S_{10} et C_{10}.
- Détermine les limites des deux suites. Pourquoi les intérêts composés finissent-ils toujours par l'emporter ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Chaque année ajoute 4\,\% \times 1000 = 40 € : S_n = 1000 + 40n, suite arithmétique de raison 40.
2. Passer d'une année à la suivante revient à multiplier par 1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04 : C_{n+1} = 1{,}04\,C_n, suite géométrique de raison 1,04, d'où C_n = 1000 \times 1{,}04^n.
3. S_5 = 1200 € et \begin{aligned}C_5 &= 1000 \times 1{,}04^5 \\ &\approx 1216{,}65\end{aligned} € ; S_{10} = 1400 € et C_{10} \approx 1480{,}24 €.
4. S_n \to +\infty (arithmétique de raison strictement positive) et C_n \to +\infty (géométrique de raison 1,04 > 1). Mais la croissance géométrique écrase la croissance linéaire : on admet que \dfrac{1{,}04^n}{n} \to +\infty (c'est le résultat de comparaison puissances/géométriques du cours), donc \dfrac{C_n}{S_n} \to +\infty : à long terme, les intérêts composés dominent sans appel.
2. Passer d'une année à la suivante revient à multiplier par 1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04 : C_{n+1} = 1{,}04\,C_n, suite géométrique de raison 1,04, d'où C_n = 1000 \times 1{,}04^n.
3. S_5 = 1200 € et \begin{aligned}C_5 &= 1000 \times 1{,}04^5 \\ &\approx 1216{,}65\end{aligned} € ; S_{10} = 1400 € et C_{10} \approx 1480{,}24 €.
4. S_n \to +\infty (arithmétique de raison strictement positive) et C_n \to +\infty (géométrique de raison 1,04 > 1). Mais la croissance géométrique écrase la croissance linéaire : on admet que \dfrac{1{,}04^n}{n} \to +\infty (c'est le résultat de comparaison puissances/géométriques du cours), donc \dfrac{C_n}{S_n} \to +\infty : à long terme, les intérêts composés dominent sans appel.
Exercice 8 : Étude complète type partiel⭐⭐⭐
Soit la suite définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = \dfrac{u_n + 6}{4} pour tout n \geq 0.
- Montre par récurrence que {0 \leq u_n < 2} pour tout n.
- Montre que la suite est strictement croissante.
- Justifie que la suite converge.
- On pose v_n = u_n - 2. Montre que (v_n) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.
- Exprime u_n en fonction de n, puis calcule la limite de la suite.
- Calcule T_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n en fonction de n.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Initialisation : u_0 = 0 \in [0\,;\,2[. Hérédité : si {0 \leq u_n < 2}, alors 6 \leq u_n + 6 < 8 et en divisant par 4 : 1{,}5 \leq u_{n+1} < 2, donc {0 \leq u_{n+1} < 2}. Conclusion : l'encadrement vaut pour tout n.
2. \begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= \dfrac{u_n + 6 - 4u_n}{4} \\ &= \dfrac{3(2 - u_n)}{4}\end{aligned} Or u_n < 2 d'après 1., donc u_{n+1} - u_n > 0 : la suite est strictement croissante.
3. Croissante (2.) et majorée par 2 (1.) : elle converge, par le théorème de convergence monotone.
4. \begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1} - 2 \\ &= \dfrac{u_n + 6}{4} - 2 \\ &= \dfrac{u_n - 2}{4} \\ &= \dfrac{v_n}{4}\end{aligned} (v_n) est géométrique de raison \dfrac{1}{4} et de premier terme v_0 = -2.
5. v_n = -2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!n}, donc u_n = 2 - 2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!n}. Comme -1 < \dfrac{1}{4} < 1, \left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!n} \to 0 et u_n \to 2.
6. \begin{aligned}T_n &= \sum_{k=0}^{n} \left(2 + v_k\right) \\ &= 2(n+1) + v_0\,\dfrac{1 - (1/4)^{n+1}}{1 - 1/4}\end{aligned} soit T_n = 2(n+1) - \dfrac{8}{3}\left(1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!n+1}\right).
Le même mécanisme régit le capital restant dû d'un emprunt à annuités constantes a : K_{n+1} = (1+i)K_n - a, suite arithmético-géométrique de point d'équilibre \dfrac{a}{i}.
2. \begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= \dfrac{u_n + 6 - 4u_n}{4} \\ &= \dfrac{3(2 - u_n)}{4}\end{aligned} Or u_n < 2 d'après 1., donc u_{n+1} - u_n > 0 : la suite est strictement croissante.
3. Croissante (2.) et majorée par 2 (1.) : elle converge, par le théorème de convergence monotone.
4. \begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1} - 2 \\ &= \dfrac{u_n + 6}{4} - 2 \\ &= \dfrac{u_n - 2}{4} \\ &= \dfrac{v_n}{4}\end{aligned} (v_n) est géométrique de raison \dfrac{1}{4} et de premier terme v_0 = -2.
5. v_n = -2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!n}, donc u_n = 2 - 2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!n}. Comme -1 < \dfrac{1}{4} < 1, \left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!n} \to 0 et u_n \to 2.
6. \begin{aligned}T_n &= \sum_{k=0}^{n} \left(2 + v_k\right) \\ &= 2(n+1) + v_0\,\dfrac{1 - (1/4)^{n+1}}{1 - 1/4}\end{aligned} soit T_n = 2(n+1) - \dfrac{8}{3}\left(1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^{\!n+1}\right).
Le même mécanisme régit le capital restant dû d'un emprunt à annuités constantes a : K_{n+1} = (1+i)K_n - a, suite arithmético-géométrique de point d'équilibre \dfrac{a}{i}.