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Fiche de cours : Suites réelles

Définir, encadrer, faire converger : le langage des évolutions année après année

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I. Une suite réelle, c'est quoi ?

Suite réelle Une suite réelle est une fonction de \mathbb{N} dans \mathbb{R} : à chaque entier naturel n elle associe un réel, noté u_n plutôt que u(n), appelé terme d'indice n.
Notations : (u_n)_{n \in \mathbb{N}} ou (u_n)_{n \geq 0} ; si la numérotation démarre à 1, on écrit (u_n)_{n \geq 1}.
En économie, une suite suit une grandeur période après période : un capital chaque année, un prix chaque mois, une production chaque trimestre…

Définir une suite : formule ou récurrence

Par une formule explicite u_n = f(n) : chaque terme se calcule directement. Pour u_n = 2n^2 - 1, on obtient u_5 = 49 sans passer par les termes précédents ;
par récurrence : on donne un premier terme et une relation u_{n+1} = f(u_n). Pour u_0 = 4 et u_{n+1} = 3u_n - 2 : u_1 = 10, puis u_2 = 28 : chaque terme se déduit du précédent.

⚠️ Deux définitions différentes peuvent produire la MÊME suite : {w_0 = 2,\ w_{n+1} = w_n + 5} et w_n = 5n + 2 décrivent exactement les mêmes nombres 2, 7, 12, 17…

👆 ▶ À toi : t(n) = (−1)ⁿ × (n + 1). Écris les quatre premiers termes. Vérifie

t_0 = 1, t_1 = -2, t_2 = 3, t_3 = -4 : les signes alternent et les valeurs grossissent. Cette suite n'est ni croissante ni décroissante, on la retrouvera plus bas.

🎮 Entraîne-toi : formule explicite

Remplace n par la valeur demandée, puis calcule.

🎮 Entraîne-toi : récurrence

Avance terme par terme : chaque calcul repart du résultat précédent.

II. La démonstration par récurrence

Principe de récurrence Soit P(n) une propriété qui dépend d'un entier n, et n_0 un entier. Si :

Initialisation : P(n_0) est vraie ;
hérédité : pour tout n \geq n_0, si P(n) est vraie (hypothèse de récurrence) alors P(n + 1) est vraie ;

alors P(n) est vraie pour TOUT n \geq n_0.
Image des dominos : on renverse le premier (initialisation) et chaque domino renverse le suivant (hérédité) : toute la rangée tombe.

Exemple rédigé : 5ⁿ ≥ 4n + 1 pour tout n ≥ 0

Initialisation : 5^0 = 1 et 4 \times 0 + 1 = 1 : P(0) est vraie ;
hérédité : fixons n \geq 0 et supposons {5^n \geq 4n + 1}. En multipliant par 5 : 5^{n+1} \geq 20n + 5 \geq 4n + 5 = 4(n+1) + 1 : P(n + 1) est vraie ;
conclusion : pour tout n \geq 0, {5^n \geq 4n + 1}.

🎮 Entraîne-toi : initialisation ou hérédité ?

À quelle étape de la démonstration appartient chaque geste ?

III. Suites bornées, suites monotones

Majorée, minorée, bornée

(u_n) est majorée par M si {u_n \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N}} ;
minorée par m si u_n \geq m \quad \forall n \in \mathbb{N} ;
bornée si elle est majorée ET minorée.

Un prix plancher est un minorant, un plafond de production est un majorant.

Croissante, décroissante, monotone (u_n) est croissante si n \leq p implique u_n \leq u_p, décroissante si n \leq p implique u_n \geq u_p, monotone si elle est l'un ou l'autre.
⚠️ Certaines suites ne sont ni croissantes ni décroissantes : {u_n = (-1)^n} fait du yo-yo entre 1 et −1.

En pratique : le signe de u(n+1) − u(n)

Si u_{n+1} - u_n \geq 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}, la suite est croissante ;
si u_{n+1} - u_n \leq 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}, elle est décroissante ;
si le signe change avec n, elle n'est ni l'une ni l'autre.

Autre technique : comparer le quotient \dfrac{u_{n+1}}{u_n} avec 1.

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \iff u_{n+1} > u_n : la suite est croissante.
\begin{aligned}\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1 &\iff u_{n+1} = u_n \end{aligned} La suite est constante.
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1 \iff u_{n+1} < u_n : la suite est décroissante.

⚠️ ATTENTION : cette technique ne peut être utilisée que si TOUS les termes sont strictement positifs.

👆 ▶ À toi : u(n) = 5 − 2/(n + 1). Montre que la suite est croissante et bornée. Vérifie

\begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= \dfrac{2}{n+1} - \dfrac{2}{n+2} \\ &= \dfrac{2}{(n+1)(n+2)} > 0\end{aligned} : croissante.
Par ailleurs 0 < \dfrac{2}{n+1} \leq 2, donc {3 \leq u_n < 5} : minorée par 3, majorée par 5, bornée.

🎮 Entraîne-toi : le sens de variation

Différence, quotient ou bon sens : tranche pour chaque suite.

IV. Arithmétiques, géométriques et sommes partielles

Suite arithmétique (raison r) u_{n+1} = u_n + r \quad \forall n \in \mathbb{N} : on AJOUTE toujours le même nombre r (positif ou négatif).
Forme explicite : u_n = u_0 + rn.
Modèle éco : une épargne alimentée d'un versement fixe chaque mois.

Suite géométrique (raison q) u_{n+1} = q\,u_n \quad \forall n \in \mathbb{N} : on MULTIPLIE toujours par le même nombre.
Forme explicite : u_n = u_0\,q^n.
Modèle éco : la raison q n'est rien d'autre que le coefficient multiplicateur vu au lycée, noté CM.
Une hausse de t % par période donne q = \text{CM} = 1 + \dfrac{t}{100}, une baisse de t % donne q = \text{CM} = 1 - \dfrac{t}{100}.
C'est-à-dire : une augmentation de capital de 3 % par an, c'est {\text{CM} = 1 + \dfrac{3}{100} = 1{,}03}, donc la suite C_{n+1} = 1{,}03\,C_n.
Et une baisse de 3 % par an, c'est \text{CM} = 0{,}97, donc C_{n+1} = 0{,}97\,C_n.

Intérêts simples, intérêts composés Un capital C_0 est placé au taux i par période :

à intérêts simples, l'intérêt est calculé chaque période sur le capital initial : C_n = C_0(1 + ni)
suite arithmétique de raison i\,C_0.
à intérêts composés, l'intérêt s'ajoute au capital et produit à son tour : C_{n+1} = (1+i)\,C_n, donc {C_n = C_0(1+i)^n}
suite géométrique de raison 1 + i.

À long terme, les intérêts composés l'emportent toujours : voir l'exercice 7 de la fiche d'exercices.

🐨 Coach Luna : « 1 000 € sur ton Livret A, tu deviens riche ? »

Tu poses 1 000 € sur un Livret A à 1,70 %. Tu n'y touches plus pendant 5 ans. Franchement : à ton avis, tu récupères combien d'intérêts ? Réponds d'abord, on vérifiera ensuite.

Et toi, tu veux tester avec l'argent que tu as vraiment ? Change le capital de départ, la simulation se refait toute seule. Tu peux monter jusqu'à 10 000 000 €, au cas où : tu verras que la conclusion ne change pas.

capital :  € taux : durée :

Modèle : les intérêts sont versés une fois par an, en fin d'année (le vrai Livret A calcule par quinzaines, ce qui change les centimes, pas la conclusion). Sans versement, c'est une suite géométrique ; avec versement, une suite arithmético-géométrique.

Sommes partielles On additionne les premiers termes : S = u_0 + u_1 + \dots + u_n.

Somme d'une suite arithmétique

S = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}

Somme d'une suite géométrique ({q \neq 1})

S = \text{premier terme} \times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}

À connaître par cœur :

0 + 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}.
0^2 + 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

⚠️ Avant d'appliquer une formule, COMPTE les termes : de u_0 à u_n il y en a n + 1.

👆 ▶ À toi : calcule 3 + 7 + 11 + … + 43. Vérifie

Suite arithmétique de raison 4 : {43 = 3 + 4 \times 10}, donc 11 termes.
\begin{aligned}S &= \dfrac{(3 + 43) \times 11}{2} \\ &= 23 \times 11 \\ &= 253\end{aligned}

📊 Atelier : le nuage se construit, terme après terme

Une suite ne se dessine jamais comme une courbe : c'est un nuage de points (n\,;\,u_n), un point par entier. Règle les trois curseurs de u_{n+1} = q\,u_n + r : avec q = 1 la suite est arithmétique, avec r = 0 elle est géométrique, et entre les deux c'est le cas arithmético-géométrique qui sert partout en éco.

u₀ : q : r :

La droite verte est le point fixe \ell = \dfrac{r}{1-q} : la seule valeur qui, une fois atteinte, ne bougerait plus. Toute la question du chapitre est de savoir si le nuage y va (|q| < 1) ou s'en échappe (|q| > 1).

V. Limite d'une suite

La valeur absolue mesure une distance Définition. Pour tout réel x :

|x| ={x si x \geq 0-x si x < 0

|x| est donc toujours positif ou nul.

Une distance. |x - a| est la distance entre x et a sur la droite réelle. Exemple : \begin{aligned}|2 - 9| &= |-7| \\ &= 7\end{aligned}

Principe (vu en 2nde, chapitre Nombres réels) :

r = \text{rayon}, c = \text{centre}
|x - \text{centre}| \leqslant \text{rayon}
|x - c| \leqslant r

L'ensemble des x tels que |x - c| \leqslant r forme un intervalle centré en c, de rayon r : x \in [c - r\,; c + r].

Exemple : \begin{aligned}|x - 3| \leqslant 2 &\iff x \in [1\,; 5]\end{aligned}

Traduction des inégalités. Schéma explicatif : clique sur un cas pour voir la zone s'allumer.

|x - a| < r ⟺ a - r < x < a + r : x est à l'intérieur

|x - a| = r ⟺ {x = a - r \ \text{ou} \ x = a + r} : x est sur un bord

|x - a| > r ⟺ {x < a - r \ \text{ou} \ x > a + r} : x est à l'extérieur

🖐️ Teste avec ton doigt : la distance en direct

Touche l'axe (ou fais glisser) : le point x te suit et sa distance au centre s'affiche.

🎮 Entraîne-toi : la valeur absolue dans tous les sens

Distance, équations, encadrements : tout tourne autour du centre et du rayon.

👉 Besoin d'aide ? Ouvre le graphique et déplace x !

Déplace le point x sur l'axe.

Convergence vers un réel ℓ La suite (u_n) tend vers ℓ (converge vers ℓ) si :
\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ |u_n - \ell| < \varepsilon
En clair : toute bande ]\ell - \varepsilon\,;\, \ell + \varepsilon[, aussi fine soit-elle, contient TOUS les termes à partir d'un certain rang N. On note u_n \to \ell. Une suite qui converge vers un réel est convergente, sinon elle est divergente.

Chaque point a pour coordonnées (n ; u_n). Quel que soit le rayon ε > 0 choisi, la bande ]ℓ − ε ; ℓ + ε[ finit par capturer la suite : à partir du rang N, plus aucun terme n'en sort (points roses).

🎯 Le défi du rang N

La définition dit : {\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \geq N,\ |u_n - \ell| < \varepsilon}. À toi de fournir le N. Fais glisser le trait vertical jusqu'au plus petit rang à partir duquel plus aucun terme ne sort de la bande rose, puis valide. Six manches, et la bande se resserre à chaque fois.

manche

score

série

N :

Le réflexe qui fait gagner : chercher le dernier terme qui sort de la bande, et prendre le rang juste après. Et remarquer que N dépend de ε : plus la bande est fine, plus il faut aller loin. C'est tout le sens du « ∀ε, ∃N ».

Limites infinies u_n \to +\infty si pour tout M > 0, on a {u_n > M} à partir d'un certain rang : la suite finit par dépasser n'importe quel seuil. Définition analogue pour -\infty.
⚠️ Diverger ne veut pas dire « tendre vers l'infini » : (-1)^n diverge sans limite du tout.

Limites usuelles

Une puissance n^{p} avec p > 0 s'envole vers +\infty.
\begin{aligned}\lim n &= \lim n^2 \\ &= \lim n^3 \\ &= \lim \sqrt{n} \\ &= +\infty\end{aligned}
La racine n'est pas un intrus : {\sqrt{n} = n^{1/2}}.
Son inverse \dfrac{1}{n^{p}} s'écrase vers 0.
\begin{aligned}\lim \dfrac{1}{n} &= \lim \dfrac{1}{n^2} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}} \\ &= 0\end{aligned}
La racine n'est toujours pas un intrus : \dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{n^{1/2}}.

Raison q	Limite de qⁿ
q > 1	+\infty
q = 1	1 (suite constante)
-1 < q < 1	0
q \leq -1	pas de limite (oscillation)

Application éco : l'actualisation La valeur actuelle d'une somme C_n disponible dans n périodes, au taux i, est VA = \dfrac{C_n}{(1+i)^n} : c'est ce que cette somme future « vaut » aujourd'hui.
Exemple : 5000 € disponibles dans 3 ans, actualisés à 5 % : \begin{aligned}VA &= \dfrac{5000}{1{,}05^3} \\ &\approx 4319\end{aligned} €.
Et quand n \to +\infty ? {VA = C \times \left(\dfrac{1}{1+i}\right)^{\!n} \to 0} car 0 < \dfrac{1}{1+i} < 1 : un flux très lointain a une valeur actuelle négligeable.

Opérations sur les limites La limite d'une somme (d'un produit, d'un quotient) est la somme (le produit, le quotient) des limites… quand l'opération a un sens : L + L', {+\infty + (+\infty) = +\infty}, \dfrac{L}{\pm\infty} = 0, etc.

⚠️ Les quatre formes indéterminées (FI)

\infty - \infty0 \times \infty\dfrac{\infty}{\infty}\dfrac{0}{0}

Réflexe pour lever l'indétermination : factoriser le terme dominant (le terme de plus haut degré).
Exemple : n^2 - 7n = n^2\left(1 - \dfrac{7}{n}\right)

👆 ▶ À toi : la limite de 2n³ − n² est-elle une forme indéterminée ? Conclus. Vérifie

Oui, c'est « \infty - \infty » au premier regard. On factorise : 2n^3 - n^2 = n^3\left(2 - \dfrac{1}{n}\right). Comme n^3 \to +\infty et 2 - \dfrac{1}{n} \to 2, le produit tend vers +\infty.

🎮 Entraîne-toi : limites à vue

Limites usuelles, raisons géométriques et oscillations : conclus.

VI. Les théorèmes de convergence

Convergente implique bornée Toute suite qui admet une limite réelle est bornée.
⚠️ La réciproque est fausse : (-1)^n est bornée (entre −1 et 1) mais ne converge pas.

Théorème de convergence monotone

Toute suite croissante et majorée admet une limite réelle ;
toute suite décroissante et minorée admet une limite réelle ;
toute suite croissante NON majorée tend vers +\infty.

Le théorème garantit que la limite existe… sans donner sa valeur : il faut d'autres outils pour la calculer.

Théorème d'encadrement Si à partir d'un certain rang {v_n \leq u_n \leq w_n} et si \begin{aligned}\lim v_n &= \lim w_n \\ &= \ell\end{aligned} (avec ℓ réel, +\infty ou -\infty), alors \lim u_n = \ell.
Client favori : les suites contenant (-1)^n, coincées entre deux bornes qui convergent vers la même limite.

👆 ▶ À toi : montre que u(n) = 3 + (−1)ⁿ/n tend vers 3 (pour n ≥ 1). Vérifie

Pour tout n \geq 1 : {3 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 3 + \dfrac{1}{n}} Les deux bornes tendent vers 3, donc par encadrement u_n \to 3.

🪜 Atelier : l'escalier d'une suite récurrente

Le dessin que l'on attend de toi en partiel. On trace y = f(x) et la première bissectrice y = x ; puis, depuis u_0 : verticale jusqu'à la droite (on lit u_{n+1}), horizontale jusqu'à y = x (on reporte cette valeur en abscisse), et on recommence. Attrape u₀ sur l'axe et regarde où l'escalier mène.

q : r :

Le point vert est le point fixe : \ell = f(\ell). C'est le seul candidat possible pour la limite, et c'est pour cela qu'on le cherche avant de démontrer la convergence. La pente de la droite décide de tout : elle attire si |q| < 1, elle repousse sinon.

📐 Le geste, décomposé : reporter u₀, u₁, u₂, u₃ sur les deux axes

Le vrai problème de cette construction, c'est qu'un terme naît en ordonnée et doit repartir en abscisse. La bissectrice y = x est le tapis roulant qui fait passer un nombre d'un axe à l'autre. Voici les quatre gestes d'un rang, avec les traits de rappel que l'on oublie toujours en copie.

Les traits pleins orange sont la construction elle-même ; les traits pointillés bleus sont les rappels qui servent à lire les termes sur les axes. En partiel, les deux sont attendus : sans les rappels, le correcteur ne voit pas où tu lis u_1, u_2, u_3.

🖐️ À toi de tracer : la bille ne va qu'en horizontal ou en vertical

Plus de dessin tout fait : tu refais les quatre gestes de chaque rang, traits de rappel compris. La bille bleue part de u₀ sur l'axe des abscisses, ne se déplace qu'en horizontal ou en vertical, et s'aimante sur la droite rose, sur la bissectrice ou sur un axe. À toi de trouver, à chaque fois, laquelle viser : monter à la droite rose, filer à gauche lire la valeur sur l'axe des ordonnées, rebondir à droite sur y = x, redescendre la poser sur l'axe des abscisses. Chaque trait est vérifié au moment où tu lâches.

relation

traits posés

Douze traits : monte, gauche, droite, descends, trois fois de suite. Les traits pleins orange sont la construction, les pointillés bleus les rappels qui servent à lire les termes sur les axes. Change de construction : selon que u_0 est au-dessous ou au-dessus de \ell, l'escalier monte ou descend, mais les quatre gestes sont toujours les mêmes.

Le plan d'étude d'une suite récurrente (type partiel) Pour u_{n+1} = f(u_n) avec un premier terme donné :

1. Encadrer u_n par récurrence (souvent entre le premier terme et le point d'équilibre) ;
2. étudier le signe de u_{n+1} - u_n pour la monotonie ;
3. conclure à la convergence par le théorème de convergence monotone ;
4. introduire une suite auxiliaire géométrique (du type v_n = u_n - L) pour obtenir la forme explicite, la limite et les sommes.

L'exercice 8 de la fiche d'exercices déroule ce plan de A à Z.

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