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Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité

Fiche de cours : Convexité

Le sens de courbure d'une fonction, lu dans le signe de sa dérivée seconde

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I. La dérivée seconde

Dérivée seconde Si f est dérivable et que f′ est elle-même dérivable, la dérivée seconde de f est la dérivée de f′ : {f''(x) = (f'(x))'}.
On dérive deux fois de suite, tout simplement.
Exemple rédigé Pour f(x) = 2x^3 - 5x^2 + x - 7 :
f'(x) = 6x^2 - 10x + 1, puis {f''(x) = 12x - 10}.
Autre exemple avec un produit : pour g(x) = x\,e^x, g'(x) = (1 + x)\,e^x puis g''(x) = (2 + x)\,e^x.
🎮 Entraîne-toi : calculer f″
Dérive deux fois de suite, puis évalue au point demandé.

II. Convexe ou concave ?

Définitions (avec les cordes, puis les tangentes) Une corde est un segment qui relie deux points de la courbe. Sur un intervalle I :
  • f est convexe si sa courbe est en dessous de ses cordes (et, si f est dérivable, au-dessus de ses tangentes) : forme de « creux », comme x² ;
  • f est concave si sa courbe est au-dessus de ses cordes (et en dessous de ses tangentes) : forme de « bosse », comme √x.

Dans l'atelier, attrape les deux grosses pastilles et fais-les glisser sur la courbe. La corde relie les deux points, la tangente est tracée au point de gauche. Change de fonction avec les onglets.

La corde est le segment qui joint les deux points ; la zone colorée est l'écart entre la corde et la courbe. Regarde de quel côté la courbe se place, par rapport à la corde et par rapport à la tangente.
Les références à connaître
  • x^2 et e^x : convexes sur ℝ ;
  • \sqrt{x} : concave sur [0\,;\,+\infty[ ;
  • x^3 : concave sur ]-\infty\,;\,0], convexe sur [0\,;\,+\infty[ ;
  • \dfrac{1}{x} : concave sur ]-\infty\,;\,0[, convexe sur ]0\,;\,+\infty[.
⚠️ Convexité ≠ sens de variation Une fonction convexe peut très bien décroître (la moitié gauche de x² !). La convexité parle de la courbure (le volant tourné à gauche ou à droite), pas de la montée ou de la descente.

Les quatre cas existent tous, et ils sont indépendants : en ligne, la fonction monte ou descend ; en colonne, elle est convexe ou concave. En pointillés, la corde qui joint les deux extrémités : elle passe au-dessus quand c'est convexe, en dessous quand c'est concave.

croissante et convexe
elle monte de plus en plus vite
croissante et concave
elle monte de moins en moins vite
décroissante et convexe
elle descend de moins en moins vite
décroissante et concave
elle descend de plus en plus vite
Lire une convexité dans un contexte concret C'est la lecture attendue en maths complémentaires, plus souvent que le calcul lui-même :
  • une population qui augmente de plus en plus vite décrit une courbe croissante et convexe ;
  • une épidémie qui progresse encore, mais de moins en moins vite, décrit une courbe croissante et concave : c'est le signe que le pic de contaminations est passé ;
  • une quantité de médicament qui diminue de moins en moins vite décrit une courbe décroissante et convexe.
Le point d'inflexion est l'instant où l'on bascule d'une case à l'autre : la tendance ne change pas de sens, elle change de rythme.
🎮 Entraîne-toi : convexe ou concave ?
Références, cordes, tangentes, f′, f″ : tous les critères du chapitre défilent.

III. Le critère de la dérivée seconde

Le théorème central du chapitre Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I :
  • f convexe sur I ⟺ f′ croissante sur I ⟺ f''(x) \geq 0 sur I ;
  • f concave sur I ⟺ f′ décroissante sur I ⟺ f''(x) \leq 0 sur I.
En pratique : pour étudier la convexité, on étudie le signe de f″, exactement comme on étudie le signe de f′ pour les variations.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : si f′ est croissante, la courbe est au-dessus de ses tangentes
Fixons a dans I et posons {g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)} (l'écart entre la courbe et la tangente en a).
Alors g'(x) = f'(x) - f'(a). Comme f′ est croissante : g'(x) \leq 0 pour x \leq a et g'(x) \geq 0 pour x \geq a.
g décroît puis croît : son minimum est \begin{aligned}g(a) &= f(a) - 0 - f(a) \\ &= 0\end{aligned}
Donc g(x) \geq 0 partout, c'est-à-dire f(x) \geq f'(a)(x - a) + f(a) : la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, f est convexe. ∎
Exemple rédigé : étudier la convexité de f(x) = x³ − 6x² + 1 f'(x) = 3x^2 - 12x, puis f''(x) = 6x - 12, qui s'annule en x = 2.
Pour x \leq 2 : f'' \leq 0, f est concave ; pour x \geq 2 : f'' \geq 0, f est convexe.
🎮 Entraîne-toi : appliquer le critère
Étudie le signe de f″ sur l'intervalle donné et conclus.

IV. Le point d'inflexion

Point d'inflexion Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la fonction y change de convexité (concave ⇄ convexe).
Critère pratique : f″ s'annule en changeant de signe.
Exemple de référence : la courbe de x³ traverse sa tangente (l'axe des abscisses) à l'origine.
⚠️ f″(a) = 0 ne suffit pas Pour f(x) = x^4, on a f''(x) = 12x^2, nul en 0… mais qui ne change pas de signe : pas de point d'inflexion (la courbe reste convexe). Il faut l'annulation ET le changement de signe, comme pour les extremums avec f′.
Interpréter dans un problème Si C(x) est un coût de production : tant que C est concave, la croissance du coût ralentit ; dès que C devient convexe, elle s'accélère. Le point d'inflexion est l'instant où la tendance bascule, souvent la réponse attendue à la question « interpréter » du bac.
👆 ▶ À toi : f(x) = x³ − 9x² + 2x. En quelle abscisse la courbe a-t-elle son point d'inflexion ? Vérifie
f'(x) = 3x^2 - 18x + 2, puis {f''(x) = 6x - 18} : f″ s'annule en x = 3 en passant du négatif au positif (concave puis convexe) : point d'inflexion en x = 3.
🎮 Entraîne-toi : trouver le point d'inflexion
Résous f″(x) = 0 : l'abscisse trouvée est celle du point d'inflexion.
📄 La fiche d'exercices du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre