Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité
Fiche d'exercices : Convexité
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Dérivées secondes⭐
Calcule f''(x) pour chaque fonction :
- f(x) = x^3 - 4x^2 + x
- f(x) = 5x^4 + 2x
- f(x) = x\,e^x
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. f'(x) = 3x^2 - 8x + 1 puis {f''(x) = 6x - 8}.
2. f'(x) = 20x^3 + 2 puis f''(x) = 60x^2.
3. f'(x) = (1 + x)\,e^x puis \begin{aligned}f''(x) &= e^x + (1 + x)\,e^x \\ &= (2 + x)\,e^x\end{aligned}
2. f'(x) = 20x^3 + 2 puis f''(x) = 60x^2.
3. f'(x) = (1 + x)\,e^x puis \begin{aligned}f''(x) &= e^x + (1 + x)\,e^x \\ &= (2 + x)\,e^x\end{aligned}
Exercice 2 : Vocabulaire et références⭐
- Parmi x^2, \sqrt{x}, e^x et \dfrac{1}{x} (sur ]0\,;\,+\infty[), lesquelles sont convexes sur leur intervalle ?
- Une fonction convexe est-elle au-dessus ou en dessous de ses tangentes ? Et de ses cordes ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. x^2, e^x et \dfrac{1}{x} (sur ]0\,;\,+\infty[) sont convexes ; \sqrt{x} est concave.
2. Au-dessus de ses tangentes, en dessous de ses cordes (et c'est l'inverse pour une fonction concave).
2. Au-dessus de ses tangentes, en dessous de ses cordes (et c'est l'inverse pour une fonction concave).
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Étudier une convexité⭐⭐
Soit f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 sur \mathbb{R}.
- Calcule f'(x) puis f''(x).
- Étudie le signe de f″ et dresse le tableau de convexité de f.
- La courbe admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, donne ses coordonnées.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 puis {f''(x) = 6x - 12}.
2. f″ s'annule en x = 2 : f est concave sur ]-\infty\,;\,2] puis convexe sur [2\,;\,+\infty[.
3. f″ change de signe en 2 : point d'inflexion en (2\,;\,f(2)) = (2\,;\,3) car \begin{aligned}f(2) &= 8 - 24 + 18 + 1 \\ &= 3\end{aligned}
2. f″ s'annule en x = 2 : f est concave sur ]-\infty\,;\,2] puis convexe sur [2\,;\,+\infty[.
3. f″ change de signe en 2 : point d'inflexion en (2\,;\,f(2)) = (2\,;\,3) car \begin{aligned}f(2) &= 8 - 24 + 18 + 1 \\ &= 3\end{aligned}
Exercice 4 : f, f′ ou f″ : qui dit quoi ?⭐⭐
Soit f deux fois dérivable sur [0\,;\,10]. Traduis chaque information :
- f'(x) \geq 0 sur [0\,;\,10]
- f''(x) \geq 0 sur [0\,;\,10]
- f'(x) \geq 0 et f''(x) \leq 0 sur [0\,;\,10]
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. f est croissante (mais on ne sait rien de sa courbure).
2. f est convexe (mais elle peut monter ou descendre).
3. f monte de moins en moins vite : croissante ET concave (typique d'un phénomène qui sature).
2. f est convexe (mais elle peut monter ou descendre).
3. f monte de moins en moins vite : croissante ET concave (typique d'un phénomène qui sature).
Exercice 5 : Convexité avec une exponentielle⭐⭐
Soit f(x) = (x - 1)\,e^x sur \mathbb{R}.
- Montre que f'(x) = x\,e^x puis que f''(x) = (x + 1)\,e^x.
- Étudie la convexité de f et précise le point d'inflexion.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. \begin{aligned}f'(x) &= 1 \times e^x + (x - 1)\,e^x \\ &= x\,e^x\end{aligned} puis \begin{aligned}f''(x) &= e^x + x\,e^x \\ &= (x + 1)\,e^x\end{aligned}
2. e^x > 0 : f″ est du signe de x + 1. f est concave sur ]-\infty\,;\,-1], convexe sur [-1\,;\,+\infty[, avec un point d'inflexion en \left(-1\,;\,-\dfrac{2}{e}\right) car f(-1) = -2e^{-1}.
2. e^x > 0 : f″ est du signe de x + 1. f est concave sur ]-\infty\,;\,-1], convexe sur [-1\,;\,+\infty[, avec un point d'inflexion en \left(-1\,;\,-\dfrac{2}{e}\right) car f(-1) = -2e^{-1}.
Exercice 6 : Le piège de x⁴⭐⭐
Soit f(x) = x^4.
- Calcule f''(x) et vérifie que {f''(0) = 0}.
- La courbe admet-elle pour autant un point d'inflexion en 0 ? Justifie.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. f'(x) = 4x^3 puis f''(x) = 12x^2, et {f''(0) = 0}.
2. Non : 12x^2 \geq 0 partout, f″ s'annule sans changer de signe. La fonction reste convexe sur ℝ : l'annulation de f″ ne suffit pas, il faut le changement de signe.
2. Non : 12x^2 \geq 0 partout, f″ s'annule sans changer de signe. La fonction reste convexe sur ℝ : l'annulation de f″ ne suffit pas, il faut le changement de signe.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Coût de production (type bac)⭐⭐⭐
Le coût de fabrication, en milliers d'euros, de x centaines d'objets est C(x) = x^3 - 9x^2 + 30x + 8 pour {x \in [0\,;\,8]}.
- Calcule C''(x) et étudie son signe.
- Donne le point d'inflexion de la courbe.
- Interprète-le concrètement.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. C'(x) = 3x^2 - 18x + 30 puis {C''(x) = 6x - 18} : négatif avant 3, positif après.
2. \begin{aligned}C(3) &= 27 - 81 + 90 + 8 \\ &= 44\end{aligned} : point d'inflexion (3\,;\,44).
3. Jusqu'à 300 objets, C est concave : la croissance du coût ralentit (économies d'échelle). Au-delà, C est convexe : chaque centaine supplémentaire coûte de plus en plus cher.
2. \begin{aligned}C(3) &= 27 - 81 + 90 + 8 \\ &= 44\end{aligned} : point d'inflexion (3\,;\,44).
3. Jusqu'à 300 objets, C est concave : la croissance du coût ralentit (économies d'échelle). Au-delà, C est convexe : chaque centaine supplémentaire coûte de plus en plus cher.
Exercice 8 : Prouver une inégalité par convexité⭐⭐⭐
Soit f(x) = e^x.
- Donne l'équation de la tangente à la courbe en 0.
- En utilisant la convexité de l'exponentielle, déduis-en que pour tout réel x : e^x \geq 1 + x.
- Application : justifie que e^{0{,}1} \geq 1{,}1 sans calculatrice.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. \begin{aligned}f'(0) &= e^0 \\ &= 1\end{aligned} et f(0) = 1 : tangente y = x + 1.
2. e^x est convexe sur ℝ (sa dérivée seconde e^x est positive) : sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier celle en 0 : e^x \geq x + 1 pour tout x. ∎
3. En prenant x = 0,1 : \begin{aligned}e^{0{,}1} &\geq 1 + 0{,}1 \\ &= 1{,}1\end{aligned} C'est LA méthode « inégalité par tangente » du bac.
2. e^x est convexe sur ℝ (sa dérivée seconde e^x est positive) : sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier celle en 0 : e^x \geq x + 1 pour tout x. ∎
3. En prenant x = 0,1 : \begin{aligned}e^{0{,}1} &\geq 1 + 0{,}1 \\ &= 1{,}1\end{aligned} C'est LA méthode « inégalité par tangente » du bac.