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Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité

Fiche d'exercices : Calcul intégral

8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé

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Échauffement

Exercice 1 : Intégrales par lecture d'aires⭐ Sans primitive, par un dessin :
  1. \int_1^4 3\,dx
  2. \int_0^6 \dfrac{x}{2}\,dx
  3. \int_{-3}^{3} x\,dx
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Rectangle 3 × 3 : 9 u.a.
2. Triangle de base 6 et de hauteur 3 : \dfrac{6 \times 3}{2} = 9 u.a.
3. 0 : les deux triangles (négatif puis positif) se compensent exactement.
Surface coloriée
Rectangle
Calcul d'aire
3 × 3
Intégrale
9 u.a.
Un carreau du quadrillage = 1 u.a. Les trois surfaces sont des figures d'aires connues : on lit l'intégrale sans aucune primitive.
Exercice 2 : F(b) − F(a)⭐ Calcule :
  1. \int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx
  2. \int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx
  3. \int_0^1 e^{2x}\,dx
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. \begin{aligned}\Big[x^3 + x\Big]_0^2 &= 10 - 0 \\ &= 10\end{aligned}
2. \begin{aligned}\Big[\ln x\Big]_1^e &= 1 - 0 \\ &= 1\end{aligned}
3. \left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \dfrac{e^2 - 1}{2}.

Le cœur du chapitre

Exercice 3 : Jouer avec les propriétés⭐⭐ On sait que \int_0^4 f = 6, \int_4^7 f = -2 et \int_0^7 g = 5. Calcule :
  1. \int_0^7 f
  2. \int_7^0 f
  3. \int_0^7 (3f - 2g)
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Chasles : 6 + (-2) = 4.
2. Bornes inversées : -4.
3. Linéarité : 3 \times 4 - 2 \times 5 = 2.
Exercice 4 : Fonction qui change de signe⭐⭐ Soit f(x) = x - 2 sur [0\,;\,5].
  1. Calcule \int_0^5 f(x)\,dx.
  2. Calcule l'aire totale entre la courbe et l'axe des abscisses sur [0\,;\,5]. Pourquoi les deux réponses diffèrent-elles ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \begin{aligned}\left[\dfrac{x^2}{2} - 2x\right]_0^5 &= \dfrac{25}{2} - 10 \\ &= \dfrac{5}{2}\end{aligned}
2. f est négative sur [0 ; 2] et positive sur [2 ; 5]. Aire = \begin{aligned}-\int_0^2 f + \int_2^5 f &= 2 + \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{13}{2}\end{aligned} u.a.
L'intégrale compense les zones sous l'axe, l'aire les additionne : pour une aire, il faut découper au changement de signe.
Aire en dessous A−
0
Aire au-dessus A+
0
Intégrale = A+ − A−
0
Aire totale = A+ + A−
0
La droite y = x - 2 coupe l'axe en x = 2 : c'est là qu'il faut découper. Le triangle rouge vaut 2 u.a. et le triangle vert vaut \dfrac{9}{2} u.a.
Exercice 5 : Valeur moyenne⭐⭐ La vitesse d'un mobile est v(t) = 3t^2 (en m/s) pour t \in [0\,;\,4].
  1. Calcule \int_0^4 v(t)\,dt. Que représente ce nombre ?
  2. Calcule la vitesse moyenne sur [0\,;\,4].
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. \Big[t^3\Big]_0^4 = 64 : la distance parcourue (64 m), aire sous la courbe des vitesses.
2. \begin{aligned}\mu &= \dfrac{1}{4 - 0} \times 64 \\ &= 16\end{aligned} m/s (bien entre v(0) = 0 et v(4) = 48).
Instant
t = 0 s
Aire verte = distance
0 m
Vitesse moyenne
0 m/s
Un carreau vaut ici 1\text{ s} \times 8\text{ m/s} = 8 mètres : l'aire sous la courbe des vitesses se lit donc en mètres. Les 64 m parcourus font exactement 8 carreaux.
Exercice 6 : Aire entre deux courbes⭐⭐ Soient f(x) = x + 2 et g(x) = x^2 sur [-1\,;\,2].
  1. Vérifie que f(x) \geq g(x) sur cet intervalle (racines de f − g !).
  2. Calcule l'aire comprise entre les deux courbes.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}f(x) - g(x) &= -x^2 + x + 2 \\ &= -(x - 2)(x + 1)\end{aligned} : positif entre les racines −1 et 2 ✔.
2. \begin{aligned}\int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2)\,dx &= \left[-\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + 2x\right]_{-1}^{2} \\ &= \dfrac{10}{3} - \left(-\dfrac{7}{6}\right) \\ &= \dfrac{9}{2}\end{aligned} u.a.
Position
x = 0,5
Hauteur f(x) - g(x)
0
Aire coloriée
4,5 u.a.
Attrape la poignée x et promène-la : le segment jaune, c'est f(x) - g(x). L'aire cherchée, c'est la somme de tous ces segments, autrement dit \int_{-1}^{2} \big(f(x) - g(x)\big)\,dx.

Pour aller plus loin

Exercice 7 : Intégration par parties⭐⭐⭐ Calcule à l'aide d'une IPP :
  1. \int_0^1 x\,e^{-x}\,dx
  2. \int_1^e \ln(x)\,dx (pose u′ = 1 et v = ln x)
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. u′ = e⁻ˣ (u = −e⁻ˣ), v = x : \begin{aligned}\Big[-x\,e^{-x}\Big]_0^1 + \int_0^1 e^{-x}\,dx &= -e^{-1} + \Big[-e^{-x}\Big]_0^1 \\ &= -e^{-1} - e^{-1} + 1 \\ &= 1 - \dfrac{2}{e}\end{aligned}
2. u′ = 1 (u = x), v = ln x (v′ = 1/x) : \begin{aligned}\Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e x \times \dfrac{1}{x}\,dx &= e - \Big[x\Big]_1^e \\ &= e - (e - 1) \\ &= 1\end{aligned} La primitive de ln s'obtient donc par IPP : x ln x − x.
Exercice 8 : Synthèse type bac⭐⭐⭐ Soit f(x) = (2 - x)\,e^x sur [0\,;\,2].
  1. Justifie que f \geq 0 sur [0\,;\,2].
  2. Montre par IPP que {\int_0^2 (2 - x)\,e^x\,dx = e^2 - 3}.
  3. Donne la valeur moyenne de f sur [0\,;\,2] (valeur exacte puis arrondie au centième, avec e^2 \approx 7{,}389).
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Sur [0 ; 2], 2 - x \geq 0 et e^x > 0 : produit positif.
2. u′ = eˣ (u = eˣ), v = 2 − x (v′ = −1) ✔ : \begin{aligned}\Big[(2 - x)\,e^x\Big]_0^2 + \int_0^2 e^x\,dx &= (0 - 2) + (e^2 - 1) \\ &= e^2 - 3\end{aligned}
3. \begin{aligned}\mu &= \dfrac{e^2 - 3}{2} \\ &\approx \dfrac{4{,}389}{2} \\ &\approx 2{,}19\end{aligned}
Borne
x = 0
Aire accumulée
0
Valeur moyenne \mu
0
Sur [0\,;\,2] la courbe reste au-dessus de l'axe : l'intégrale est bien une aire, celle de la zone verte. Le rectangle jaune, de même aire, a pour hauteur la valeur moyenne \mu.
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