Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité
Fiche de cours : Calcul intégral
L'aire sous une courbe, calculée par une primitive : le théorème fondamental
I. L'intégrale, c'est une aire
Unité d'aire et définition
Dans un repère (O, I, J), l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés OI et OJ.
Pour f continue et positive sur [a\,;\,b], l'intégrale \int_a^b f(x)\,dx est l'aire (en u.a.) de la surface entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
Le symbole ∫ est un S allongé (somme d'aires infinitésimales, notation de Leibniz) ; x est une variable muette : \int_a^b f(t)\,dt désigne la même intégrale.
Pour f continue et positive sur [a\,;\,b], l'intégrale \int_a^b f(x)\,dx est l'aire (en u.a.) de la surface entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
Le symbole ∫ est un S allongé (somme d'aires infinitésimales, notation de Leibniz) ; x est une variable muette : \int_a^b f(t)\,dt désigne la même intégrale.
Bornes
a = 1 ; b = 6
Aire coloriée
0
Valeur moyenne
0
Fonctions négatives et signe de l'intégrale
Si f est négative sur [a\,;\,b], l'aire de la surface vaut -\int_a^b f(x)\,dx : l'intégrale compte négativement ce qui est sous l'axe.
Une intégrale nulle ne signifie donc pas une fonction nulle : \int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0 car les aires de part et d'autre se compensent.
Une intégrale nulle ne signifie donc pas une fonction nulle : \int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0 car les aires de part et d'autre se compensent.
Aire au-dessus A+
0
Aire en dessous A−
0
Intégrale = A+ − A−
0
Aire géométrique = A+ + A−
0
Méthode : encadrer par des rectangles
Avant de savoir calculer, on peut encadrer : on découpe [a\,;\,b] en n tranches et on coince l'aire entre les rectangles « inférieurs » et « supérieurs » (c'est l'algorithme des rectangles, à savoir programmer en Python). Plus n grandit, plus l'étau se resserre.
4
Escalier du dessous Sinf
0
Aire cherchée \int_0^4 f
7,33
Escalier du dessus Ssup
0
Écart S_{sup} - S_{inf}
0
Ce que la figure démontre
Sur [0\,;4] avec f(x) = 0{,}25x^2 + 0{,}5 (croissante), les deux escaliers encadrent l'aire :
{S_{inf} \leq \int_0^4 f(x)\,dx \leq S_{sup}}, et leur écart vaut
{\big(f(4) - f(0)\big) \times \dfrac{4}{n} = \dfrac{16}{n}} : en « glissant » les rectangles roses à gauche, ils se recouvrent tous sauf un.
Comme \dfrac{16}{n} \to 0, les deux escaliers ont la même limite : cette limite commune, c'est la définition de l'intégrale. On la note \int_0^4 f(x)\,dx, et le programme met cette écriture en regard de la somme \sum_{i} f(x_i)\,\Delta x_i dont elle vient : le \textstyle\int est un S de « somme », le dx est la largeur \Delta x_i devenue infiniment fine.
Cet encadrement est aussi l'algorithme des rectangles, à savoir programmer en Python.
Comme \dfrac{16}{n} \to 0, les deux escaliers ont la même limite : cette limite commune, c'est la définition de l'intégrale. On la note \int_0^4 f(x)\,dx, et le programme met cette écriture en regard de la somme \sum_{i} f(x_i)\,\Delta x_i dont elle vient : le \textstyle\int est un S de « somme », le dx est la largeur \Delta x_i devenue infiniment fine.
Cet encadrement est aussi l'algorithme des rectangles, à savoir programmer en Python.
🎮 Entraîne-toi : intégrales par lecture d'aire
Rectangle ou triangle : calcule l'aire, c'est la valeur de l'intégrale.
II. Le théorème fondamental : aire = primitive
Le lien magique entre aire et primitive
Soit f continue sur [a\,;\,b] :
- la fonction F(x) = \int_a^x f(t)\,dt (l'aire accumulée depuis a) est LA primitive de f qui s'annule en a ;
- conséquence : pour toute primitive F de f, \begin{aligned}\int_a^b f(x)\,dx &= \Big[F(x)\Big]_a^b \\ &= F(b) - F(a)\end{aligned}
Position
x = 0
Hauteur f(x)
0
Aire accumulée F(x)
0
⚠️ Ce que la figure interdit de confondre
F(x) = 0 ne veut pas dire f(x) = 0. Sur la figure, en
x = 3 on a F(3) = 0 (le rouge a exactement compensé le vert) alors que
f(3) = 0 aussi ; mais regarde plutôt x = 1 :
f(1) = 0 et pourtant \begin{aligned}F(1) &= \tfrac{4}{3} \\ &\neq 0\end{aligned}
La bonne lecture est toujours la même : le signe de f donne le SENS DE VARIATION de F (et non sa valeur), exactement comme le signe de f' donne le sens de variation de f. Ici f s'annule en 1 en changeant de signe : F y présente un maximum local.
La bonne lecture est toujours la même : le signe de f donne le SENS DE VARIATION de F (et non sa valeur), exactement comme le signe de f' donne le sens de variation de f. Ici f s'annule en 1 en changeant de signe : F y présente un maximum local.
🎮 Entraîne-toi : le signe de f commande les variations de F
On pose F(x) = \int_a^x f(t)\,dt. Que fait F ?
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : F(x) = \int_a^x f(t)\,dt est dérivable et F′ = f (cas f croissante)
Pour h > 0 : F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt (aire de la fine bande entre x et x + h).
f étant croissante, cette bande est coincée entre deux rectangles de largeur h : h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h).
En divisant par h : {f(x) \leq \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h)}.
Par continuité, f(x+h) \to f(x) quand h \to 0 : le théorème des gendarmes donne F'(x) = f(x) (cas h < 0 analogue). Et \begin{aligned}F(a) &= \int_a^a f(t)\,dt \\ &= 0\end{aligned} ∎
Conséquence historique : toute fonction continue admet des primitives.
f étant croissante, cette bande est coincée entre deux rectangles de largeur h : h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h).
En divisant par h : {f(x) \leq \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h)}.
Par continuité, f(x+h) \to f(x) quand h \to 0 : le théorème des gendarmes donne F'(x) = f(x) (cas h < 0 analogue). Et \begin{aligned}F(a) &= \int_a^a f(t)\,dt \\ &= 0\end{aligned} ∎
Conséquence historique : toute fonction continue admet des primitives.
Exemple rédigé : calculer \int_1^2 x^2\,dx
Une primitive de x^2 est \dfrac{x^3}{3} :
\begin{aligned}\int_1^2 x^2\,dx &= \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2 \\ &= \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} \\ &= \dfrac{7}{3} \\ &\approx 2{,}33\end{aligned} u.a.
Cohérent avec l'encadrement 2,31 < ∫ < 2,35 obtenu par la méthode des rectangles avec n = 100.
\begin{aligned}\int_1^2 x^2\,dx &= \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2 \\ &= \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} \\ &= \dfrac{7}{3} \\ &\approx 2{,}33\end{aligned} u.a.
Cohérent avec l'encadrement 2,31 < ∫ < 2,35 obtenu par la méthode des rectangles avec n = 100.
🎮 Entraîne-toi : F(b) − F(a)
Prends la primitive, évalue aux deux bornes, soustrais.
III. Les propriétés de l'intégrale
La boîte à outils
- \int_a^a f = 0 et \int_b^a f = -\int_a^b f (bornes échangées : signe changé) ;
- Chasles : \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f (on recolle les aires) ;
- linéarité : \int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g et \int_a^b kf = k\int_a^b f ;
- positivité et croissance (pour a ≤ b) : si f ≥ 0 alors \int_a^b f \geq 0 ; si f ≤ g alors \int_a^b f \leq \int_a^b g.
⚠️ Pas de formule pour ∫ f × g
L'intégrale d'un produit n'est PAS le produit des intégrales ! Pour les produits, l'outil dédié est l'intégration par parties (partie IV). Même piège que pour la dérivée d'un produit : la linéarité ne concerne que sommes et constantes.
👆 ▶ À toi : sachant \int_0^3 f = 7 et {\int_0^3 g = 2}, calcule \int_0^3 (2f - 3g). Vérifie
Par linéarité : \begin{aligned}2\int_0^3 f - 3\int_0^3 g &= 14 - 6 \\ &= 8\end{aligned}
🎮 Entraîne-toi : Chasles et les bornes
Recolle les morceaux d'aires, et change le signe si les bornes sont inversées.
IV. Valeur moyenne, aires entre courbes, intégration par parties
Valeur moyenne
La valeur moyenne de f sur [a\,;\,b] est : \mu = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx.
Interprétation : la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a exactement la même aire que la surface sous la courbe (température moyenne d'une journée, débit moyen…).
Interprétation : la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a exactement la même aire que la surface sous la courbe (température moyenne d'une journée, débit moyen…).
Aire entre deux courbes
Si f \geq g sur [a\,;\,b], l'aire comprise entre les deux courbes vaut : {\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx} : l'aire « du dessus moins le dessous », valable même si les courbes passent sous l'axe.
0
Hauteur en x
0
Aire entre les courbes
4,5
Intégration par parties (IPP)
Pour u et v dérivables à dérivées continues sur [a\,;\,b] : \int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx.
C'est la formule du produit {(uv)' = u'v + uv'} intégrée puis réarrangée : on choisit u (qu'on dérive, pour obtenir u') et v' (qu'on intègre, pour obtenir v).
C'est la formule du produit {(uv)' = u'v + uv'} intégrée puis réarrangée : on choisit u (qu'on dérive, pour obtenir u') et v' (qu'on intègre, pour obtenir v).
Exemple rédigé : \int_0^1 x\,e^x\,dx par IPP
On pose u(x) = x (donc u'(x) = 1) et v'(x) = e^x (donc v(x) = e^x) :
\begin{aligned}\int_0^1 x\,e^x\,dx &= \Big[x\,e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 1 \times e^x\,dx \\ &= e - \Big[e^x\Big]_0^1 \\ &= e - (e - 1) \\ &= 1\end{aligned}
Stratégie : choisir u = le facteur qui se simplifie en dérivant (ici x → 1), et v' = l'autre facteur, dont on connaît une primitive immédiate (ici eˣ).
\begin{aligned}\int_0^1 x\,e^x\,dx &= \Big[x\,e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 1 \times e^x\,dx \\ &= e - \Big[e^x\Big]_0^1 \\ &= e - (e - 1) \\ &= 1\end{aligned}
Stratégie : choisir u = le facteur qui se simplifie en dérivant (ici x → 1), et v' = l'autre facteur, dont on connaît une primitive immédiate (ici eˣ).
La méthode ALPES pour repérer u et v'
Face à un produit de deux fonctions de familles différentes, ALPES donne l'ordre de priorité pour choisir u (celui qu'on dérive) : la famille qui apparaît en premier dans ALPES l'emporte, l'autre facteur devient v' (celui qu'on intègre).
| Lettre | Famille |
|---|---|
| A | Arcsinus, arccosinus, arctangente |
| L | Logarithme (ln) |
| P | Polynôme |
| E | Exponentielle |
| S | Sinus, cosinus |
⚠️ Un mauvais choix bloque le calcul
Avec \int x\,\ln(x)\,dx, si on choisit v' = \ln(x), il faudrait connaître une primitive de ln(x) : on ne la connaît pas encore à ce stade. En choisissant u = \ln(x) (L avant P dans ALPES), on dérive ln(x) en \dfrac{1}{x}, ce qui simplifie le calcul.
🎮 Entraîne-toi : repérer u et v' avec ALPES
Clique sur le facteur que tu choisirais comme u (celui qu'on dérive).
🎮 Entraîne-toi : la valeur moyenne
Divise l'intégrale par la longueur de l'intervalle.