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Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité

Fiche d'exercices : Fonction logarithme népérien

8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé

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Échauffement

Exercice 1 : Allers-retours⭐ Sans calculatrice, donne :
  1. \ln(e^7), e^{\ln 3} et \ln\!\left(\dfrac{1}{e^2}\right)
  2. Pourquoi \ln(-2) et \ln(0) n'existent-ils pas ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. \ln(e^7) = 7 ; e^{\ln 3} = 3 ; \begin{aligned}\ln\!\left(\dfrac{1}{e^2}\right) &= \ln(e^{-2}) \\ &= -2\end{aligned}
2. ln(a) est la solution de e^x = a ; or {e^x > 0} toujours : aucune puissance de e ne donne un nombre négatif ou nul.
Exercice 2 : Simplifier⭐ Écris chaque expression sous la forme d'un seul logarithme (ou d'un entier) :
  1. A = \ln 6 - \ln 2
  2. B = 2\ln 3 + \ln 4
  3. C = \ln(e^3) + \ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. \begin{aligned}A &= \ln\!\left(\dfrac{6}{2}\right) \\ &= \ln 3\end{aligned}
2. \begin{aligned}B &= \ln(3^2) + \ln 4 \\ &= \ln(9 \times 4) \\ &= \ln 36\end{aligned}
3. \begin{aligned}C &= 3 + (-1) \\ &= 2\end{aligned}

Le cœur du chapitre

Exercice 3 : Équations⭐⭐ Résous :
  1. e^{x+2} = 10
  2. \ln(x) = -1
  3. \ln(2x - 6) = \ln(x + 1)
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. x + 2 = \ln 10 donc x = \ln 10 - 2.
2. \begin{aligned}x &= e^{-1} \\ &= \dfrac{1}{e}\end{aligned} (bien dans ]0\,;\,+\infty[).
3. Domaine : 2x - 6 > 0 ET x + 1 > 0, soit x > 3. Alors 2x - 6 = x + 1 donne x = 7 ✔ (dans le domaine).
Exercice 4 : Équation avec domaine piégeux⭐⭐ On considère \ln(x) + \ln(x - 2) = \ln(3).
  1. Détermine le domaine de résolution.
  2. Montre que l'équation se ramène à x^2 - 2x - 3 = 0.
  3. Résous et conclus.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. x > 0 ET x - 2 > 0 : domaine ]2\,;\,+\infty[.
2. \ln\big(x(x-2)\big) = \ln 3 donne x(x - 2) = 3, soit x^2 - 2x - 3 = 0.
3. \begin{aligned}\Delta &= 4 + 12 \\ &= 16\end{aligned} Racines \begin{aligned}x &= \dfrac{2 - 4}{2} \\ &= -1\end{aligned} et \begin{aligned}x &= \dfrac{2 + 4}{2} \\ &= 3\end{aligned} Seul x = 3 est dans le domaine : −1 est à rejeter.
Exercice 5 : Inéquations et seuils⭐⭐
  1. Résous \ln(3x - 1) \leq 0 sur son domaine.
  2. Un capital placé à 3 % est multiplié par 1{,}03^n en n années. À partir de quel n dépasse-t-il le double du capital initial ? (On donne {\ln 2 \approx 0{,}693} et \ln(1{,}03) \approx 0{,}0296.)
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Domaine : x > \dfrac{1}{3}. Puis \ln(3x - 1) \leq \ln 1 donne 3x - 1 \leq 1, soit x \leq \dfrac{2}{3}. Solution : \left]\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\right].
2. 1{,}03^n > 2 ⟺ n\ln(1{,}03) > \ln 2 ⟺ {n > \dfrac{0{,}693}{0{,}0296} \approx 23{,}4} : à partir de n = 24 ans (la fameuse « règle des 70 » des économistes).
Exercice 6 : Dériver avec ln⭐⭐ Dérive chaque fonction sur ]0\,;\,+\infty[ :
  1. f(x) = x\ln x
  2. g(x) = \dfrac{\ln x}{x}
  3. h(x) = \ln(x^2 + 1) (sur ℝ)
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. Produit : \begin{aligned}f'(x) &= 1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x} \\ &= \ln x + 1\end{aligned}
2. Quotient : \begin{aligned}g'(x) &= \dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln x}{x^2} \\ &= \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\end{aligned}
3. Forme \ln(u) avec u' = 2x : {h'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}}.

Pour aller plus loin

Exercice 7 : Étude complète⭐⭐⭐ Soit f(x) = x\ln x sur ]0\,;\,+\infty[.
  1. Rappelle \lim_{x \to 0^+} x\ln x et calcule \lim_{x \to +\infty} f(x).
  2. Résous f'(x) = 0 (avec {f'(x) = \ln x + 1}) et dresse le tableau de variations.
  3. Donne la valeur exacte du minimum.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Croissances comparées : \lim_{0^+} x\ln x = 0 ; en +∞, produit de deux facteurs tendant vers +∞ : +\infty.
2. \ln x + 1 = 0 ⟺ \ln x = -1 ⟺ \begin{aligned}x &= e^{-1} \\ &= \dfrac{1}{e}\end{aligned} f décroît sur \left]0\,;\,\dfrac{1}{e}\right] puis croît.
3. \begin{aligned}f\!\left(\dfrac{1}{e}\right) &= \dfrac{1}{e}\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right) \\ &= -\dfrac{1}{e}\end{aligned}
Exercice 8 : Synthèse type bac : décroissance radioactive⭐⭐⭐ La masse restante d'un isotope suit m(t) = m_0\,e^{-0{,}1t} (t en années, m_0 = 80 g).
  1. Au bout de combien d'années reste-t-il exactement 40 g ? (Réponds avec un ln, puis avec \ln 2 \approx 0{,}69.)
  2. Montre que ce temps de demi-vie ne dépend pas de m_0.
  3. Au bout de combien d'années reste-t-il moins de 10 g ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. 80\,e^{-0{,}1t} = 40 ⟺ e^{-0{,}1t} = \dfrac{1}{2} ⟺ \begin{aligned}-0{,}1t &= \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) \\ &= -\ln 2\end{aligned} ⟺ \begin{aligned}t &= 10\ln 2 \\ &\approx 6{,}9\end{aligned} ans.
2. L'équation m_0\,e^{-0{,}1t} = \dfrac{m_0}{2} se simplifie par m_0 : le résultat t = 10\ln 2 est le même pour toute masse initiale.
3. \begin{aligned}e^{-0{,}1t} < \dfrac{10}{80} &= \dfrac{1}{8} \\ &= 2^{-3}\end{aligned} ⟺ -0{,}1t < -3\ln 2 ⟺ t > 30\ln 2 \approx 20{,}8 : au bout d'environ 21 ans (trois demi-vies, logique : 80 → 40 → 20 → 10).
📘 La fiche de cours du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre