Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité
Fiche de cours : Fonction logarithme népérien
La réciproque de l'exponentielle : celle qui transforme les produits en sommes
I. La définition : réciproque de l'exponentielle
Logarithme népérien
L'exponentielle est continue et strictement croissante de ℝ vers ]0\,;\,+\infty[ : pour tout réel a > 0, l'équation e^x = a admet une unique solution (corollaire du TVI). Cette solution est le logarithme népérien de a, noté \ln a.
La fonction ln est donc définie sur ]0\,;\,+\infty[ (le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas !).
La fonction ln est donc définie sur ]0\,;\,+\infty[ (le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas !).
Les allers-retours exp ⇄ ln
- \ln(1) = 0, \ln(e) = 1, \ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right) = -1 ;
- \ln(e^x) = x pour tout réel x ;
- e^{\ln x} = x pour tout x > 0 ;
- pour x > 0 : \begin{aligned}y = \ln x &\iff x = e^y\end{aligned}
🎛️ À toi de jouer : ln est le miroir de exp
Fais glisser le point M le long de la courbe de \ln.
Son symétrique M′ par rapport à la droite {y = x} est toujours sur la courbe de \exp : c'est ça, être réciproques.
Les coordonnées de M′ sont celles de M, simplement échangées.
la courbe de ln
la courbe de exp
l'asymptote x = 0
Pousse M vers 0 : \ln x plonge vers -\infty sans jamais toucher l'axe vertical. À droite, la montée est de plus en plus lente, mais elle ne s'arrête jamais.
🎮 Entraîne-toi : les allers-retours
exp et ln s'annulent mutuellement : réponds sans poser de calcul.
II. Les propriétés algébriques
La relation fonctionnelle et ses corollaires
Pour tous réels x, y > 0 et tout entier relatif n :
- \ln(x \times y) = \ln x + \ln y (le produit devient une somme : la raison d'être historique des logarithmes) ;
- \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln x et {\ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y} ;
- \ln(\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2}\ln x ;
- \ln(x^n) = n\ln x.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : ln(x × y) = ln x + ln y
On compare deux écritures exponentielles du même nombre :
e^{\ln(xy)} = xy d'une part, et \begin{aligned}e^{\ln x + \ln y} &= e^{\ln x} \times e^{\ln y} \\ &= xy\end{aligned} d'autre part.
Comme \begin{aligned}e^a = e^b &\iff a = b\end{aligned} on conclut \ln(xy) = \ln x + \ln y. ∎
Les corollaires s'en déduisent : par exemple \begin{aligned}\ln\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + \ln x &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}
e^{\ln(xy)} = xy d'une part, et \begin{aligned}e^{\ln x + \ln y} &= e^{\ln x} \times e^{\ln y} \\ &= xy\end{aligned} d'autre part.
Comme \begin{aligned}e^a = e^b &\iff a = b\end{aligned} on conclut \ln(xy) = \ln x + \ln y. ∎
Les corollaires s'en déduisent : par exemple \begin{aligned}\ln\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + \ln x &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}
🎛️ À toi de jouer : le produit devient une somme
Règle a et b, puis regarde les trois hauteurs.
Celle de a \times b est exactement les deux autres mises bout à bout : c'est \ln(ab)=\ln a+\ln b.
C'est cette propriété qui a fait la fortune des logarithmes avant les calculatrices : elle remplace une multiplication par une addition.
Descends a sous 1 : sa hauteur passe sous l'axe (\ln a < 0), et la somme diminue. Multiplier par un nombre plus petit que 1, c'est bien retirer du logarithme.
Exemple rédigé : simplifier 3 ln(2) + ln(5) − ln(10)
\begin{aligned}3\ln 2 + \ln 5 - \ln 10 &= \ln(2^3) + \ln 5 - \ln 10 \\ &= \ln\!\left(\dfrac{8 \times 5}{10}\right) \\ &= \ln 4 \\ &= 2\ln 2\end{aligned}
⚠️ ln(x + y) ne se simplifie PAS
\ln(x + y) \neq \ln x + \ln y ! La formule transforme les produits en sommes, pas les sommes en quoi que ce soit. Vérification : \begin{aligned}\ln(1 + 1) &= \ln 2 \\ &\approx 0{,}69\end{aligned} alors que \ln 1 + \ln 1 = 0.
🎮 Entraîne-toi : tout exprimer avec ln(2)
Écris le nombre comme une puissance de 2, puis sors l'exposant.
III. Équations et inéquations
Les équivalences clés
Pour x, y > 0 :
- \begin{aligned}\ln x = \ln y &\iff x = y\end{aligned} et \ln x < \ln y \iff x < y (ln est strictement croissante) ;
- \begin{aligned}e^x = a &\iff x = \ln a\end{aligned} (pour a > 0) ;
- \begin{aligned}\ln x = a &\iff x = e^a\end{aligned}
Méthode : TOUJOURS commencer par le domaine
Pour résoudre \ln(x - 3) + \ln(9 - x) = 0 :
- Domaine : il faut x - 3 > 0 ET {9 - x > 0}, donc x \in\, ]3\,;\,9[ ;
- Transformer : {\ln\big((x-3)(9-x)\big) = \ln 1} donc (x-3)(9-x) = 1 ;
- Résoudre le trinôme, puis garder les solutions qui sont dans le domaine.
Exemple rédigé : le seuil d'une suite géométrique
À partir de quel entier n a-t-on {0{,}8^n < 0{,}01} ?
On applique ln (strictement croissante) : n\ln(0{,}8) < \ln(0{,}01).
⚠️ \ln(0{,}8) < 0 : en divisant, l'inégalité change de sens : n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)} \approx 20{,}6.
Donc à partir de n = 21. C'est l'outil qui remplace le balayage des algorithmes de seuil.
On applique ln (strictement croissante) : n\ln(0{,}8) < \ln(0{,}01).
⚠️ \ln(0{,}8) < 0 : en divisant, l'inégalité change de sens : n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)} \approx 20{,}6.
Donc à partir de n = 21. C'est l'outil qui remplace le balayage des algorithmes de seuil.
🎮 Entraîne-toi : résoudre avec exp et ln
Fais passer le nombre de l'autre côté avec la fonction réciproque.
IV. L'étude de la fonction ln
Dérivée et variations
La fonction ln est dérivable sur ]0\,;\,+\infty[ et : {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}.
Comme \dfrac{1}{x} > 0, ln est strictement croissante ; sa dérivée seconde {-\dfrac{1}{x^2} < 0} la rend concave (courbe sous ses tangentes).
Composée : \big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u} pour u strictement positive.
Comme \dfrac{1}{x} > 0, ln est strictement croissante ; sa dérivée seconde {-\dfrac{1}{x^2} < 0} la rend concave (courbe sous ses tangentes).
Composée : \big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u} pour u strictement positive.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : la dérivée de ln (dérivabilité admise)
Posons g(x) = e^{\ln x}. D'une part g(x) = x, donc g'(x) = 1.
D'autre part, par dérivation d'une composée : \begin{aligned}g'(x) &= (\ln x)' \times e^{\ln x} \\ &= (\ln x)' \times x\end{aligned}
En égalant : (\ln x)' \times x = 1, d'où {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}. ∎
D'autre part, par dérivation d'une composée : \begin{aligned}g'(x) &= (\ln x)' \times e^{\ln x} \\ &= (\ln x)' \times x\end{aligned}
En égalant : (\ln x)' \times x = 1, d'où {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}. ∎
Limites et croissances comparées
- \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty (asymptote verticale x = 0) et \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty ;
- croissances comparées : \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 et \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0 : face à une puissance, ln perd toujours (encore plus faible que les puissances face à eˣ).
⚠️ ln monte jusqu'à l'infini, mais très lentement
\ln(1000) \approx 6{,}9 et \ln(1\,000\,000) \approx 13{,}8 : la courbe s'aplatit sans jamais plafonner. Ne pas conclure à une asymptote horizontale : la limite en +∞ est bien +∞.
Culture scientifique : le logarithme décimal \log(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 10} sert aux échelles de pH, de décibels et de magnitude des séismes.
Culture scientifique : le logarithme décimal \log(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 10} sert aux échelles de pH, de décibels et de magnitude des séismes.
👆 ▶ À toi : f(x) = x − ln(x) sur ]0 ; +∞[. Calcule f′(x) et le minimum de f. Vérifie
1. La dérivée. On dérive terme à terme, en se rappelant que {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}.\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \dfrac{1}{x} \\ &= \dfrac{x}{x} - \dfrac{1}{x} && \quad \text{car } \text{on met au même dénominateur} \\ &= \dfrac{x - 1}{x}\end{aligned}2. Le signe. Sur ]0\,;\,+\infty[, le dénominateur x est strictement positif : le signe de f'(x) est donc celui de x - 1 seul.
- si 0 < x < 1 alors f'(x) < 0 : f est décroissante ;
- si x > 1 alors f'(x) > 0 : f est croissante.
Ce minimum vaut 1, donc f(x) \geqslant 1 > 0 sur tout l'intervalle. En développant, on retrouve l'inégalité \ln x \leqslant x - 1, vraie pour tout x > 0 : une inégalité classique, obtenue ici sans effort supplémentaire.
🎮 Entraîne-toi : dériver avec ln
La dérivée de ln(x) est 1/x : dérive puis évalue en 1 (là où 1/x = 1).