Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité
Fiche d'exercices : Orthogonalité dans l'espace
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Produits scalaires en coordonnées⭐
Dans un repère orthonormé, calcule chaque produit scalaire et conclus sur l'orthogonalité :
- \vec{u}(2\,;\,-1\,;\,3) et \vec{v}(1\,;\,5\,;\,1)
- \vec{u}(4\,;\,-2\,;\,0) et \vec{v}(1\,;\,2\,;\,7)
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. 2 - 5 + 3 = 0 : orthogonaux.
2. 4 - 4 + 0 = 0 : orthogonaux aussi (la coordonnée 7 ne sert à rien face au 0 de u).
2. 4 - 4 + 0 = 0 : orthogonaux aussi (la coordonnée 7 ne sert à rien face au 0 de u).
Exercice 2 : Normes et distances⭐
Dans un repère orthonormé :
- Calcule la norme de \vec{u}(2\,;\,-3\,;\,6).
- Calcule la distance entre A(1 ; 0 ; 2) et B(3 ; 4 ; 6).
- Le triangle de sommets O(0;0;0), P(1 ; 2 ; 2) et Q(−2 ; 2 ; −1) est-il isocèle en O ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. \begin{aligned}\sqrt{4 + 9 + 36} &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}
2. \begin{aligned}AB &= \sqrt{4 + 16 + 16} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned}
3. \begin{aligned}OP &= \sqrt{1 + 4 + 4} \\ &= 3\end{aligned} et \begin{aligned}OQ &= \sqrt{4 + 4 + 1} \\ &= 3\end{aligned} : oui, isocèle en O.
2. \begin{aligned}AB &= \sqrt{4 + 16 + 16} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned}
3. \begin{aligned}OP &= \sqrt{1 + 4 + 4} \\ &= 3\end{aligned} et \begin{aligned}OQ &= \sqrt{4 + 4 + 1} \\ &= 3\end{aligned} : oui, isocèle en O.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Produits scalaires dans le cube⭐⭐
ABCDEFGH est un cube d'arête a (E au-dessus de A). Calcule :
- \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC}
- \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{EH}
- \overrightarrow{AD} . \overrightarrow{GF}
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Le projeté orthogonal de C sur (AB) est B : \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AB} = a^2.
2. \overrightarrow{EH} a la direction de \overrightarrow{AD}, orthogonale à \overrightarrow{AB} : 0.
3. \overrightarrow{GF} = −\overrightarrow{AD} (mêmes directions, sens opposés) : -a^2.
2. \overrightarrow{EH} a la direction de \overrightarrow{AD}, orthogonale à \overrightarrow{AB} : 0.
3. \overrightarrow{GF} = −\overrightarrow{AD} (mêmes directions, sens opposés) : -a^2.
Exercice 4 : Le tétraèdre régulier⭐⭐
ABCD est un tétraèdre régulier d'arête l (tous les triangles sont équilatéraux).
- Justifie que \overrightarrow{AD} . \overrightarrow{AB} = \dfrac{l^2}{2}.
- En écrivant \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}, démontre que les arêtes opposées [AD] et [BC] sont orthogonales.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Dans le triangle équilatéral ABD, l'angle en A vaut 60° : {l \times l \times \cos(60°) = \dfrac{l^2}{2}}.
2. \overrightarrow{AD} . \overrightarrow{BC} = −\overrightarrow{AD} . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} . \overrightarrow{AC} = -\dfrac{l^2}{2} + \dfrac{l^2}{2} = 0 : orthogonales ∎.
2. \overrightarrow{AD} . \overrightarrow{BC} = −\overrightarrow{AD} . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} . \overrightarrow{AC} = -\dfrac{l^2}{2} + \dfrac{l^2}{2} = 0 : orthogonales ∎.
Exercice 5 : Droite orthogonale à un plan⭐⭐
Dans le cube ABCDEFGH :
- Justifie que (AE) est orthogonale aux droites (AB) et (AD).
- Déduis-en que (AE) est orthogonale au plan (ABD), puis à la diagonale (AC).
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Les arêtes d'un cube issues d'un même sommet sont deux à deux perpendiculaires.
2. (AB) et (AD) sont deux droites sécantes du plan (ABD) : par le critère, (AE) est orthogonale au plan entier, donc à TOUTES ses droites, dont (AC). Deux vérifications, une infinité de conclusions.
2. (AB) et (AD) sont deux droites sécantes du plan (ABD) : par le critère, (AE) est orthogonale au plan entier, donc à TOUTES ses droites, dont (AC). Deux vérifications, une infinité de conclusions.
Exercice 6 : Trouver un vecteur normal⭐⭐
Un plan P est dirigé par \vec{u}(1\,;\,2\,;\,-1) et \vec{v}(0\,;\,1\,;\,3).
- Le vecteur \vec{n}(7\,;\,-3\,;\,1) est-il normal à P ?
- Retrouve ce vecteur en résolvant le système \vec{n} \cdot \vec{u} = 0,\ \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 avec c = 1.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. \begin{aligned}\vec{n} \cdot \vec{u} &= 7 - 6 - 1 \\ &= 0\end{aligned} ✔ et \begin{aligned}\vec{n} \cdot \vec{v} &= 0 - 3 + 3 \\ &= 0\end{aligned} ✔ : oui.
2. a + 2b - c = 0 et b + 3c = 0. Avec c = 1 : b = −3 puis a = 1 + 6 = 7 : \vec{n}(7\,;\,-3\,;\,1) ✔ (tout multiple convient aussi).
2. a + 2b - c = 0 et b + 3c = 0. Avec c = 1 : b = −3 puis a = 1 + 6 = 7 : \vec{n}(7\,;\,-3\,;\,1) ✔ (tout multiple convient aussi).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Projeté orthogonal et distance⭐⭐⭐
Dans un repère orthonormé, P est le plan z = 0 (le « sol ») et M(3 ; −2 ; 5).
- Donne le projeté orthogonal H de M sur P et la distance de M à P.
- Pour K(6 ; 2 ; 0), vérifie que MK > MH (et explique pourquoi c'était certain sans calcul).
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. On « écrase » la cote : H(3 ; −2 ; 0) et MH = 5.
2. \begin{aligned}MK &= \sqrt{9 + 16 + 25} \\ &= \sqrt{50} \\ &\approx 7{,}1 > 5\end{aligned} ✔. C'était certain : le projeté orthogonal est le point du plan le plus proche de M (démonstration au programme, via Pythagore dans le triangle MHK rectangle en H).
2. \begin{aligned}MK &= \sqrt{9 + 16 + 25} \\ &= \sqrt{50} \\ &\approx 7{,}1 > 5\end{aligned} ✔. C'était certain : le projeté orthogonal est le point du plan le plus proche de M (démonstration au programme, via Pythagore dans le triangle MHK rectangle en H).
Exercice 8 : Synthèse type bac : la grande diagonale⭐⭐⭐
Dans le cube ABCDEFGH d'arête 1, muni du repère orthonormé (A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}).
- Donne les coordonnées de \overrightarrow{AG}, \overrightarrow{BD} et \overrightarrow{BE}.
- Montre que \overrightarrow{AG} est orthogonal à \overrightarrow{BD} ET à \overrightarrow{BE}.
- Que peut-on en conclure pour la grande diagonale (AG) et le plan (BDE) ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. \overrightarrow{AG}(1\,;\,1\,;\,1), \overrightarrow{BD}(-1\,;\,1\,;\,0), \overrightarrow{BE}(-1\,;\,0\,;\,1).
2. \begin{aligned}\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD} &= -1 + 1 + 0 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BE} &= -1 + 0 + 1 \\ &= 0\end{aligned} ✔
3. \overrightarrow{AG} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BDE) : c'est un vecteur normal, la grande diagonale (AG) est orthogonale au plan (BDE). Un classique absolu du bac.
2. \begin{aligned}\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD} &= -1 + 1 + 0 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BE} &= -1 + 0 + 1 \\ &= 0\end{aligned} ✔
3. \overrightarrow{AG} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BDE) : c'est un vecteur normal, la grande diagonale (AG) est orthogonale au plan (BDE). Un classique absolu du bac.