Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité
Fiche de cours : Orthogonalité dans l'espace
Le produit scalaire passe en 3D : angles droits, vecteurs normaux et projections
I. Le produit scalaire de l'espace
Définition et formules (héritées du plan)
Deux vecteurs de l'espace ont toujours des représentants \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} dans un même plan : leur produit scalaire est celui calculé dans ce plan. Toutes les formules de Première restent valables :
- \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) ;
- avec le projeté orthogonal H de C sur (AB) : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} ;
- symétrie, bilinéarité, identités remarquables et formules de polarisation.
Le critère d'orthogonalité
{\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u}} et \vec{v} sont orthogonaux.
Exemple culte : dans un tétraèdre régulier, \begin{aligned}\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} &= -\dfrac{l^2}{2} + \dfrac{l^2}{2} \\ &= 0\end{aligned} Deux arêtes opposées sont toujours orthogonales.
Exemple culte : dans un tétraèdre régulier, \begin{aligned}\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} &= -\dfrac{l^2}{2} + \dfrac{l^2}{2} \\ &= 0\end{aligned} Deux arêtes opposées sont toujours orthogonales.
En repère orthonormé : les trois formules d'or
Dans un repère orthonormé (axes deux à deux orthogonaux, vecteurs unitaires) :
- \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' ;
- \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ;
- AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.
🎮 Entraîne-toi : le produit scalaire en coordonnées
Multiplie coordonnée par coordonnée, puis additionne les trois produits.
🎮 Entraîne-toi : normes et distances
Racine de la somme des carrés des trois coordonnées.
II. Droites orthogonales, droite orthogonale à un plan
Deux droites orthogonales
Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires, autrement dit si leurs vecteurs directeurs vérifient \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.
⚠️ Perpendiculaires = orthogonales ET sécantes. Dans le cube, (BC) et (EF) sont orthogonales sans jamais se rencontrer : orthogonales, pas perpendiculaires.
⚠️ Perpendiculaires = orthogonales ET sécantes. Dans le cube, (BC) et (EF) sont orthogonales sans jamais se rencontrer : orthogonales, pas perpendiculaires.
Droite orthogonale à un plan : le critère des DEUX sécantes
Une droite est orthogonale à un plan ⟺ elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Et alors elle est automatiquement orthogonale à TOUTES les droites du plan, démonstration : tout vecteur du plan se décompose \vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}, et \begin{aligned}\vec{n} \cdot \vec{w} &= x\,\vec{n} \cdot \vec{u} + y\,\vec{n} \cdot \vec{v} \\ &= 0\end{aligned}
Deux vérifications suffisent donc pour en obtenir une infinité : c'est LE théorème rentable du chapitre.
Et alors elle est automatiquement orthogonale à TOUTES les droites du plan, démonstration : tout vecteur du plan se décompose \vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}, et \begin{aligned}\vec{n} \cdot \vec{w} &= x\,\vec{n} \cdot \vec{u} + y\,\vec{n} \cdot \vec{v} \\ &= 0\end{aligned}
Deux vérifications suffisent donc pour en obtenir une infinité : c'est LE théorème rentable du chapitre.
🎮 Entraîne-toi : orthogonaux ou pas ?
Calcule le produit scalaire : zéro = angle droit.
🧊 À manipuler : la figure en 3D
Attrape la figure et fais-la pivoter dans tous les sens : c'est en tournant autour qu'on voit vraiment l'espace. Change d'exemple avec les pastilles.
III. Le vecteur normal à un plan
Vecteur normal
Un vecteur non nul \vec{n} est normal à un plan P s'il dirige une droite orthogonale à P : il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
Le plan passant par A de vecteur normal \vec{n} est l'ensemble des points M tels que \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 : c'est la clé des équations cartésiennes du chapitre suivant.
Le plan passant par A de vecteur normal \vec{n} est l'ensemble des points M tels que \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 : c'est la clé des équations cartésiennes du chapitre suivant.
Exemple rédigé : trouver un vecteur normal
Plan dirigé par \overrightarrow{AB}(-2\,;\,1\,;\,3) et \overrightarrow{AC}(1\,;\,-2\,;\,0). On cherche \vec{n}(a\,;\,b\,;\,c) tel que \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 ET \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 :
-2a + b + 3c = 0 et a - 2b = 0. En choisissant b = 1 : a = 2 puis c = 1 : \vec{n}(2\,;\,1\,;\,1) convient (et tout vecteur colinéaire aussi : le choix n'est pas unique).
-2a + b + 3c = 0 et a - 2b = 0. En choisissant b = 1 : a = 2 puis c = 1 : \vec{n}(2\,;\,1\,;\,1) convient (et tout vecteur colinéaire aussi : le choix n'est pas unique).
🎮 Entraîne-toi : normal au plan ?
Teste n contre les DEUX vecteurs directeurs : il faut deux produits scalaires nuls.
IV. Les projections orthogonales
Projeté orthogonal sur une droite, sur un plan
- Le projeté orthogonal de A sur une droite d est le point H de d tel que (AH) ⊥ d ;
- le projeté orthogonal de A sur un plan P est le point H de P tel que (AH) soit orthogonale à P.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : le projeté orthogonal est le point du plan le plus proche
Soit H le projeté orthogonal de M sur P, et K un autre point de P.
Le triangle MHK est rectangle en H (car (MH) est orthogonale à P, donc à la droite (HK) du plan). Par Pythagore : \begin{aligned}MK^2 &= MH^2 + HK^2 \\ &\geq MH^2\end{aligned} avec égalité seulement si K = H.
Donc MK \geq MH : H est bien le point de P le plus proche de M. ∎
La longueur MH est la distance du point M au plan P.
Le triangle MHK est rectangle en H (car (MH) est orthogonale à P, donc à la droite (HK) du plan). Par Pythagore : \begin{aligned}MK^2 &= MH^2 + HK^2 \\ &\geq MH^2\end{aligned} avec égalité seulement si K = H.
Donc MK \geq MH : H est bien le point de P le plus proche de M. ∎
La longueur MH est la distance du point M au plan P.
👆 ▶ À toi : u(3 ; −2 ; 1) et v(2 ; 4 ; 2). Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ? Vérifie
\begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{v} &= 6 - 8 + 2 \\ &= 0\end{aligned} : oui, orthogonaux.