Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité
Fiche d'exercices : Représentations paramétriques et équations cartésiennes
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Écrire et lire une représentation paramétrique⭐
- Écris une représentation paramétrique de la droite passant par A(2 ; −1 ; 0), de vecteur directeur \vec{u}(3\,;\,1\,;\,-2).
- Pour la droite x = 5 - t,\quad y = 2t,\quad z = 1 + 4t, donne un point et un vecteur directeur.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. x = 2 + 3t,\quad y = -1 + t,\quad z = -2t (t réel).
2. Point (5 ; 0 ; 1) (en t = 0) et \vec{u}(-1\,;\,2\,;\,4) (coefficients de t).
2. Point (5 ; 0 ; 1) (en t = 0) et \vec{u}(-1\,;\,2\,;\,4) (coefficients de t).
Exercice 2 : Appartenance⭐
Soit d la droite {x = 1 + 2t,\quad y = -3 + t,\quad z = 4 - t}.
- Le point B(5 ; −1 ; 2) est-il sur d ?
- Et le point C(3 ; −2 ; 5) ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. x = 5 donne t = 2 ; alors y = −3 + 2 = −1 ✔ et z = 4 − 2 = 2 ✔ : oui.
2. x = 3 donne t = 1 ; alors y = −2 ✔ mais z = 3 ≠ 5 : non.
2. x = 3 donne t = 1 ; alors y = −2 ✔ mais z = 3 ≠ 5 : non.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Équation cartésienne de plan⭐⭐
- Donne une équation du plan passant par A(1 ; −2 ; 3), de vecteur normal \vec{n}(2\,;\,1\,;\,-1).
- Le point B(0 ; 4 ; 1) appartient-il à ce plan ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Forme 2x + y - z + d = 0 ; avec A : {2 - 2 - 3 + d = 0} donc d = 3 : {2x + y - z + 3 = 0}.
2. \begin{aligned}0 + 4 - 1 + 3 &= 6 \\ &\neq 0\end{aligned} : non.
2. \begin{aligned}0 + 4 - 1 + 3 &= 6 \\ &\neq 0\end{aligned} : non.
Exercice 4 : Positions relatives⭐⭐
Soit P le plan 3x - y + 2z - 6 = 0.
- La droite de vecteur directeur \vec{u}(1\,;\,1\,;\,-1) est-elle parallèle à P ?
- La droite de vecteur directeur \vec{v}(6\,;\,-2\,;\,4) est-elle perpendiculaire à P ?
- Le plan x + y - z + 8 = 0 est-il perpendiculaire à P ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
Vecteur normal de P : \vec{n}(3\,;\,-1\,;\,2).
1. \begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{n} &= 3 - 1 - 2 \\ &= 0\end{aligned} : oui, parallèle (ou incluse).
2. \vec{v} = 2\vec{n} : colinéaires, donc oui, perpendiculaire.
3. \vec{n'}(1\,;\,1\,;\,-1) et \begin{aligned}\vec{n} \cdot \vec{n'} &= 3 - 1 - 2 \\ &= 0\end{aligned} : oui, plans perpendiculaires.
1. \begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{n} &= 3 - 1 - 2 \\ &= 0\end{aligned} : oui, parallèle (ou incluse).
2. \vec{v} = 2\vec{n} : colinéaires, donc oui, perpendiculaire.
3. \vec{n'}(1\,;\,1\,;\,-1) et \begin{aligned}\vec{n} \cdot \vec{n'} &= 3 - 1 - 2 \\ &= 0\end{aligned} : oui, plans perpendiculaires.
Exercice 5 : Intersection droite-plan⭐⭐
Soit d la droite {x = 1 + t,\quad y = 2 - t,\quad z = 3 + 2t} et P le plan {x + 2y - z + 1 = 0}.
- Vérifie que d et P sont sécants.
- Détermine leur point d'intersection.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. \vec{u}(1\,;\,-1\,;\,2), \vec{n}(1\,;\,2\,;\,-1) : \begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{n} &= 1 - 2 - 2 \\ &= -3 \\ &\neq 0\end{aligned} : sécants.
2. Substitution : {(1 + t) + 2(2 - t) - (3 + 2t) + 1 = 0} donne -3t + 3 = 0, soit t = 1 : point (2 ; 1 ; 5).
2. Substitution : {(1 + t) + 2(2 - t) - (3 + 2t) + 1 = 0} donne -3t + 3 = 0, soit t = 1 : point (2 ; 1 ; 5).
Exercice 6 : Projeté orthogonal sur une droite⭐⭐
Soit d la droite {x = t,\quad y = 1 + t,\quad z = 2} et le point C(3 ; 0 ; 2).
- Écris les coordonnées d'un point H(t) de d et du vecteur \overrightarrow{CH}.
- Détermine t pour que \overrightarrow{CH} \cdot \vec{u} = 0, puis H.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. H(t ; 1 + t ; 2) et \overrightarrow{CH}(t - 3\,;\,1 + t\,;\,0).
2. \vec{u}(1\,;\,1\,;\,0) : (t - 3) + (1 + t) = 0 donne t = 1 : H(1 ; 2 ; 2), le point de d le plus proche de C.
2. \vec{u}(1\,;\,1\,;\,0) : (t - 3) + (1 + t) = 0 donne t = 1 : H(1 ; 2 ; 2), le point de d le plus proche de C.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : D'un plan à sa paramétrique de droite d'intersection⭐⭐⭐
Soient les plans P : x + y + z - 3 = 0 et P' : x - y + 2z - 2 = 0.
- Justifie que P et P′ sont sécants.
- En posant z = t, détermine une représentation paramétrique de leur droite d'intersection.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. Normaux (1\,;\,1\,;\,1) et (1\,;\,-1\,;\,2) non colinéaires : plans sécants suivant une droite.
2. Avec z = t : x + y = 3 - t et {x - y = 2 - 2t}. Somme : 2x = 5 - 3t, différence : 2y = 1 + t :
x = \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2}t,\quad y = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}t,\quad z = t.
2. Avec z = t : x + y = 3 - t et {x - y = 2 - 2t}. Somme : 2x = 5 - 3t, différence : 2y = 1 + t :
x = \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2}t,\quad y = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}t,\quad z = t.
Exercice 8 : Synthèse type bac : distance d'un point à un plan⭐⭐⭐
Soit P le plan 2x - y + 2z - 4 = 0 et le point M(3 ; 1 ; 5).
- Écris la représentation paramétrique de la droite Δ passant par M et orthogonale à P.
- Calcule le point d'intersection H de Δ et P.
- Déduis-en la distance de M au plan P.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Δ a pour vecteur directeur le normal \vec{n}(2\,;\,-1\,;\,2) : x = 3 + 2t,\quad y = 1 - t,\quad z = 5 + 2t.
2. 2(3 + 2t) - (1 - t) + 2(5 + 2t) - 4 = 0 donne 9t + 11 = 0, soit t = -\dfrac{11}{9} et H\left(\dfrac{5}{9}\,;\,\dfrac{20}{9}\,;\,\dfrac{23}{9}\right).
3. \begin{aligned}MH &= |t| \times \|\vec{n}\| \\ &= \dfrac{11}{9} \times 3 \\ &= \dfrac{11}{3}\end{aligned} (car \begin{aligned}\|\vec{n}\| &= \sqrt{4 + 1 + 4} \\ &= 3\end{aligned}) : distance \dfrac{11}{3}. H est le projeté orthogonal de M : le point de P le plus proche.
2. 2(3 + 2t) - (1 - t) + 2(5 + 2t) - 4 = 0 donne 9t + 11 = 0, soit t = -\dfrac{11}{9} et H\left(\dfrac{5}{9}\,;\,\dfrac{20}{9}\,;\,\dfrac{23}{9}\right).
3. \begin{aligned}MH &= |t| \times \|\vec{n}\| \\ &= \dfrac{11}{9} \times 3 \\ &= \dfrac{11}{3}\end{aligned} (car \begin{aligned}\|\vec{n}\| &= \sqrt{4 + 1 + 4} \\ &= 3\end{aligned}) : distance \dfrac{11}{3}. H est le projeté orthogonal de M : le point de P le plus proche.