Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité
Fiche de cours : Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Mettre les droites et les plans en équations pour tout calculer
I. La représentation paramétrique d'une droite
Le système paramétrique
La droite passant par A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A) de vecteur directeur \vec{u}(a\,;\,b\,;\,c) est l'ensemble des points M tels que : x = x_A + at,\quad y = y_A + bt,\quad z = z_A + ct avec t \in \mathbb{R}.
Preuve en une ligne : M ∈ d ⟺ \overrightarrow{AM} = t\vec{u}, qu'on lit coordonnée par coordonnée. Chaque valeur de t donne UN point de la droite : t joue le rôle du temps le long d'une trajectoire rectiligne.
Preuve en une ligne : M ∈ d ⟺ \overrightarrow{AM} = t\vec{u}, qu'on lit coordonnée par coordonnée. Chaque valeur de t donne UN point de la droite : t joue le rôle du temps le long d'une trajectoire rectiligne.
Lecture et rédaction
Sur x = 1 + 4t,\quad y = -2 + 5t,\quad z = 3 - 3t on lit d'un coup d'œil : le point A(1 ; −2 ; 3) (les constantes) et le vecteur directeur \vec{u}(4\,;\,5\,;\,-3) (les coefficients de t).
⚠️ La représentation n'est pas unique : un autre point de départ ou un vecteur directeur colinéaire donnent un autre système, pour la même droite.
⚠️ La représentation n'est pas unique : un autre point de départ ou un vecteur directeur colinéaire donnent un autre système, pour la même droite.
🎮 Entraîne-toi : lire une représentation paramétrique
Les coefficients de t forment le vecteur directeur ; les constantes, un point.
🎮 Entraîne-toi : le point est-il sur la droite ?
Trouve t avec la première équation, puis vérifie qu'il marche pour les trois.
🧊 À manipuler : la figure en 3D
Attrape la figure et fais-la pivoter dans tous les sens : c'est en tournant autour qu'on voit vraiment l'espace. Change d'exemple avec les pastilles.
II. L'équation cartésienne d'un plan
ax + by + cz + d = 0
Dans un repère orthonormé, le plan de vecteur normal \vec{n}(a\,;\,b\,;\,c) admet une équation ax + by + cz + d = 0, et réciproquement toute équation de ce type (a, b, c non tous nuls) décrit un plan.
Lecture immédiate : les coefficients de x, y, z donnent le vecteur normal. Exemple : x - y + 5z + 1 = 0 a pour vecteur normal \vec{n}(1\,;\,-1\,;\,5).
Lecture immédiate : les coefficients de x, y, z donnent le vecteur normal. Exemple : x - y + 5z + 1 = 0 a pour vecteur normal \vec{n}(1\,;\,-1\,;\,5).
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : tout plan a une équation ax + by + cz + d = 0
Sens direct : M ∈ P ⟺ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 ⟺ a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 ⟺ ax + by + cz + d = 0 en posant {d = -ax_A - by_A - cz_A}.
Réciproque (a ≠ 0 par exemple) : le point A\left(-\dfrac{d}{a}\,;\,0\,;\,0\right) vérifie l'équation, et pour tout M de l'ensemble : \begin{aligned}\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} &= ax + by + cz + d \\ &= 0\end{aligned} C'est exactement le plan passant par A de vecteur normal \vec{n}. ∎
Réciproque (a ≠ 0 par exemple) : le point A\left(-\dfrac{d}{a}\,;\,0\,;\,0\right) vérifie l'équation, et pour tout M de l'ensemble : \begin{aligned}\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} &= ax + by + cz + d \\ &= 0\end{aligned} C'est exactement le plan passant par A de vecteur normal \vec{n}. ∎
Méthode : trouver l'équation d'un plan donné
Plan passant par A(−1 ; 2 ; 1), de vecteur normal \vec{n}(3\,;\,-3\,;\,1) :
- forme : 3x - 3y + z + d = 0 ;
- A est dans le plan : {-3 - 6 + 1 + d = 0}, donc d = 8 ;
- réponse : 3x - 3y + z + 8 = 0.
🎮 Entraîne-toi : lire le vecteur normal
Les coefficients de x, y et z, dans cet ordre : le d n'en fait pas partie.
🎮 Entraîne-toi : trouver le d
Remplace x, y, z par les coordonnées du point du plan et isole d.
III. Les intersections en pratique
Méthode : intersection d'une droite et d'un plan
- Test préalable : si \vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0, la droite et le plan sont sécants (sinon parallèles) ;
- substitution : on injecte x(t), y(t), z(t) de la représentation paramétrique dans l'équation du plan : une équation du premier degré en t ;
- retour : la valeur de t trouvée, remise dans le système, donne les coordonnées du point d'intersection.
Exemple rédigé
Droite {x = 1 - 2t,\quad y = 2,\quad z = -3 + 3t} et plan 2x - y + 3z - 2 = 0 :
2(1 - 2t) - 2 + 3(-3 + 3t) - 2 = 0 donne 5t - 11 = 0, soit t = \dfrac{11}{5}, d'où le point M\left(-\dfrac{17}{5}\,;\,2\,;\,\dfrac{18}{5}\right).
2(1 - 2t) - 2 + 3(-3 + 3t) - 2 = 0 donne 5t - 11 = 0, soit t = \dfrac{11}{5}, d'où le point M\left(-\dfrac{17}{5}\,;\,2\,;\,\dfrac{18}{5}\right).
IV. Le tableau des positions relatives
Tout se lit sur u et n
d droite de vecteur directeur \vec{u}, P plan de vecteur normal \vec{n} :
- d ∥ P ⟺ \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 ;
- d et P sécants ⟺ \vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0 ;
- d ⊥ P ⟺ \vec{u} et \vec{n} colinéaires.
- parallèles ⟺ normaux colinéaires ;
- perpendiculaires ⟺ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0.
⚠️ Directeur et normal jouent des rôles OPPOSÉS
Pour une droite parallèle à un plan, le produit scalaire \vec{u} \cdot \vec{n} est nul ; pour une droite perpendiculaire, u et n sont colinéaires. Beaucoup d'erreurs de bac viennent de cette inversion : dessine toujours la normale qui « sort » du plan avant de conclure.
👆 ▶ À toi : la droite de vecteur directeur u(2 ; 1 ; −1) est-elle parallèle au plan x + y + 3z − 7 = 0 ? Vérifie
\vec{n}(1\,;\,1\,;\,3) et \begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{n} &= 2 + 1 - 3 \\ &= 0\end{aligned} Oui, la droite est parallèle au plan (ou incluse dedans : il faudrait tester un point pour trancher).