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Fiche d'exercices Logimaths | Terminale spécialité

Fiche d'exercices : Primitives et équations différentielles

8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé

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Échauffement

Exercice 1 : Vérifier une primitive⭐ Dans chaque cas, dis si F est une primitive de f (en dérivant F) :
  1. F(x) = x\,e^x et f(x) = (x + 1)\,e^x
  2. F(x) = \ln(x) + x^2 et f(x) = \dfrac{1}{x} + x
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Oui ✔ : en dérivant, on retrouve exactement f :\begin{aligned}F'(x) &= e^x + x\,e^x \\ &= (1 + x)\,e^x \\ &= f(x)\end{aligned}2. Non : il aurait fallu \dfrac{x^2}{2} et non x^2, car en dérivant on obtient :\begin{aligned}F'(x) &= \dfrac{1}{x} + 2x \\ &\neq \dfrac{1}{x} + x\end{aligned}
Exercice 2 : Primitives usuelles⭐ Donne une primitive de chaque fonction :
  1. f(x) = x^3 - 4x + 5
  2. g(x) = \dfrac{3}{x^2}
  3. h(x) = 2\cos(x) - \sin(x)
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. F(x) = \dfrac{x^4}{4} - 2x^2 + 5x.
2. G(x) = -\dfrac{3}{x}.
3. H(x) = 2\sin(x) + \cos(x) (re-dérive pour vérifier les signes !).

Le cœur du chapitre

Exercice 3 : Formes composées⭐⭐ Donne une primitive de chaque fonction :
  1. f(x) = (2x + 1)(x^2 + x - 3)^4
  2. g(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}
  3. h(x) = x\,e^{x^2}
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. Forme u'u^4 avec u = x^2 + x - 3 : F(x) = \dfrac{(x^2 + x - 3)^5}{5}.
2. Forme \dfrac{u'}{u} (u > 0) : G(x) = \ln(x^2 + 1).
3. u' = 2x, il manque un facteur 2 : H(x) = \dfrac{1}{2}\,e^{x^2}.
Exercice 4 : La primitive imposée⭐⭐ Soit f(x) = 3x^2 - 4.
  1. Donne la forme générale des primitives de f.
  2. Détermine LA primitive F telle que F(2) = 5.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. F(x) = x^3 - 4x + C, C réel.
2. On part de la condition imposée et on isole C :\begin{aligned}F(2) = 5 &\iff 2^3 - 4 \times 2 + C = 5 \\ &\iff 8 - 8 + C = 5 \\ &\iff C = 5\end{aligned}Donc F(x) = x^3 - 4x + 5.
Exercice 5 : y′ = ay⭐⭐
  1. Résous l'équation différentielle y' = -3y.
  2. Détermine la solution vérifiant y(0) = 6.
  3. Que devient cette solution quand x \to +\infty ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. y(x) = C\,e^{-3x}, C réel.
2. On part de la condition et on isole C :\begin{aligned}y(0) = 6 &\iff C\,e^{0} = 6 \\ &\iff C \times 1 = 6 \\ &\iff C = 6\end{aligned}Donc y(x) = 6e^{-3x}.
3. Quand x \to +\infty, e^{-3x} \to 0, donc la solution s'éteint vers 0 (a < 0 : régime amorti).
Exercice 6 : y′ = ay + b⭐⭐ On considère 2y' - y = 3.
  1. Mets l'équation sous la forme y' = ay + b.
  2. Donne la solution particulière constante puis la solution générale.
  3. Détermine la solution telle que y(0) = 0.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. On divise par 2 : y' = \dfrac{1}{2}y + \dfrac{3}{2}, donc a = \dfrac{1}{2} et b = \dfrac{3}{2}.
2. Solution constante : -\dfrac{b}{a} = -3. Solutions générales : y(x) = C\,e^{x/2} - 3.
3. Même méthode, on part de la condition et on isole C :\begin{aligned}y(0) = 0 &\iff C\,e^{0} - 3 = 0 \\ &\iff C - 3 = 0 \\ &\iff C = 3\end{aligned}Donc y(x) = 3e^{x/2} - 3.

Pour aller plus loin

Exercice 7 : Le café qui refroidit (loi de Newton)⭐⭐⭐ La température T(t) d'un café (en °C, t en minutes) vérifie T' = -0{,}1\,(T - 20) : il refroidit proportionnellement à l'écart avec les 20 °C de la pièce.
  1. Mets l'équation sous la forme T' = aT + b et donne la solution d'équilibre. Interprète-la.
  2. Résous avec T(0) = 80.
  3. Vers quoi tend T(t) ? Était-ce prévisible ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. On développe : T' = -0{,}1T + 2, donc l'équilibre vaut -\dfrac{2}{-0{,}1} = 20 °C : c'est la température de la pièce (un café déjà à 20 °C n'évolue plus).
2. Les solutions sont les T(t) = C\,e^{-0{,}1t} + 20. On part de la condition et on isole C :\begin{aligned}T(0) = 80 &\iff C\,e^{0} + 20 = 80 \\ &\iff C + 20 = 80 \\ &\iff C = 60\end{aligned}Donc T(t) = 60\,e^{-0{,}1t} + 20.
3. Quand t \to +\infty, e^{-0{,}1t} \to 0, donc T(t) \to 20 °C : le café finit à température ambiante, comme le prédisait l'équilibre.
Exercice 8 : Synthèse type bac⭐⭐⭐ Soit l'équation y' = 2y - 8.
  1. Vérifie que la fonction constante g(x) = 4 est solution.
  2. Montre que f est solution si et seulement si f - g est solution de y' = 2y.
  3. Déduis-en toutes les solutions, puis celle qui vérifie y(0) = 1.
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Oui ✔ : g' = 0, et le second membre vaut lui aussi 0 :\begin{aligned}2g - 8 &= 8 - 8 \\ &= 0\end{aligned}2. Puisque 2g = 8 :\begin{aligned}(f - g)' &= f' - 0 \\ &= 2f - 8 \\ &= 2(f - g)\end{aligned}Donc f est solution de y' = 2y - 8 si et seulement si f - g est solution de y' = 2y. C'est le principe général : solution générale = solution de l'équation homogène + solution particulière.
3. f(x) - 4 = C\,e^{2x}, donc f(x) = C\,e^{2x} + 4. On part de la condition et on isole C :\begin{aligned}f(0) = 1 &\iff C\,e^{0} + 4 = 1 \\ &\iff C + 4 = 1 \\ &\iff C = -3\end{aligned}Donc f(x) = -3e^{2x} + 4.
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