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Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité

Fiche de cours : Primitives et équations différentielles

Dériver à l'envers, puis résoudre les équations dont l'inconnue est une fonction

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I. La primitive : dériver à l'envers

Primitive Soit f continue sur un intervalle I. Une primitive de f est une fonction F telle que F' = f.
Exemple : F(x) = x^2 est une primitive de f(x) = 2x… et x^2 + 7 aussi : la constante disparaît en dérivant.
Toutes les primitives, à une constante près Si F est une primitive de f sur I, les primitives de f sont exactement les fonctions x \mapsto F(x) + C avec C réel.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (admis, démontré au chapitre Calcul intégral) ; en revanche il n'y a pas toujours de formule explicite (célèbre exemple : e^{-x^2}).
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : deux primitives diffèrent d'une constante
Soient F et G deux primitives de f sur I. Alors \begin{aligned}(F - G)' &= F' - G' \\ &= f - f \\ &= 0\end{aligned}Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : {F(x) - G(x) = C} pour tout x de I. ∎
C'est pour cela qu'une condition du type F(1) = 0 suffit à fixer LA primitive cherchée : elle détermine C.
📚 Atelier : la famille des primitives
Toutes ces courbes sont des primitives de la MÊME fonction f : elles ne diffèrent que d'une translation verticale. Déplace le point rose le long de l'axe des abscisses : en cette valeur de x, les tangentes de toutes les courbes sont parallèles, parce qu'elles ont toutes la même pente f(x). Voilà pourquoi ajouter une constante ne change rien à la dérivée.
Une seule de ces courbes passe par un point donné : c'est exactement ce que fait une condition du type F(1) = 0. La constante C, c'est la hauteur à laquelle on pose la courbe.
Les primitives usuelles (le tableau des dérivées, lu à l'envers)
  • x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (pour n ≠ −1) : on monte l'exposant puis on divise ;
  • \dfrac{1}{x^2} \to -\dfrac{1}{x} ;
  • \dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x} ;
  • \dfrac{1}{x} \to \ln(x) (sur ]0\,;\,+\infty[) : le trou n = −1 du premier cas ;
  • e^x \to e^x ;
  • \cos x \to \sin x ;
  • {\sin x \to -\cos x}.
Linéarité : une primitive de f + g est F + G, une primitive de kf est kF.
⚠️ Vérifier en re-dérivant Le contrôle qualité ne coûte rien : on dérive la primitive trouvée et on doit retomber EXACTEMENT sur f. Erreur classique : oublier de diviser par n + 1 (une primitive de x^3 est \dfrac{x^4}{4}, pas x^4).
🎮 Entraîne-toi : les primitives usuelles
Lis le tableau des dérivées à l'envers, puis vérifie mentalement en dérivant.

II. Primitives de composées et condition imposée

Les formes composées à reconnaître u est une fonction dérivable (u > 0 quand nécessaire) :
  • u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1} ;
  • \dfrac{u'}{\sqrt{u}} \to 2\sqrt{u} et \dfrac{u'}{u} \to \ln(u) ;
  • u'e^u \to e^u, u'\cos(u) \to \sin(u), u'\sin(u) \to -\cos(u).
Le réflexe : repérer u, calculer u′, et ajuster la constante multiplicative si l'énoncé n'a pas exactement u′ en facteur.
Exemple rédigé : primitive de x\,e^{x^2} On vise la forme u'e^u avec u = x^2, donc u' = 2x. Or on n'a que x en facteur : x\,e^{x^2} = \dfrac{1}{2} \times 2x\,e^{x^2}.
Une primitive : {F(x) = \dfrac{1}{2}\,e^{x^2}}.
On le vérifie en dérivant, et l'on retrouve exactement f : \begin{aligned}F'(x) &= \dfrac{1}{2} \times 2x\,e^{x^2} \\ &= x\,e^{x^2}\end{aligned}
Méthode : LA primitive qui vérifie une condition Chercher la primitive de f(x) = 2x qui s'annule en 3 :
  • forme générale : F(x) = x^2 + C ;
  • condition : F(3) = 0 donne 9 + C = 0, soit C = -9 ;
  • réponse : F(x) = x^2 - 9 (unique !).
🎮 Entraîne-toi : fixer la constante
Écris F(a) = valeur imposée et isole C.

III. L'équation différentielle y′ = ay

Équation différentielle Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction y, et qui fait intervenir ses dérivées.
Le cas le plus simple, y' = f, revient à chercher les primitives de f. Le cas vedette du chapitre : y' = ay (« la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité » : croissance de populations, radioactivité, intérêts composés…).
Solutions de y′ = ay Les solutions de y' = ay (a réel) sont exactement les fonctions x \mapsto C\,e^{ax}, où C est une constante réelle quelconque.
Une condition initiale (par exemple y(0) = 5) fixe C et rend la solution unique.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : les solutions de y' = ay sont les C\,e^{ax}
Ce sont des solutionsSi f(x) = C\,e^{ax}, alors en dérivant on retrouve bien a f(x) ✔ :\begin{aligned}f'(x) &= Ca\,e^{ax} \\ &= a f(x)\end{aligned}Ce sont les seulesSoit f une solution quelconque. Posons g(x) = e^{-ax} f(x). Comme f' = af, sa dérivée est nulle :\begin{aligned}g'(x) &= -a\,e^{-ax} f(x) + e^{-ax} f'(x) \\ &= e^{-ax}\big(f'(x) - a f(x)\big) \\ &= 0\end{aligned}g est donc constante : e^{-ax} f(x) = C, d'où f(x) = C\,e^{ax}. ∎
📈 Atelier : l'allure des courbes de y′ = ay
Les petits traits gris donnent la pente imposée par l'équation en chaque point : une solution est une courbe qui les suit tous. Règle a, puis attrape le point et promène-le : par chaque point du plan passe une seule solution. C'est ça, la condition initiale.
Le signe de a décide de tout, et |a| décide de la vitesse : c'est lui qui fixe le temps de doublement (ou la demi-vie).
🎮 Entraîne-toi : résoudre y′ = ay
Identifie le coefficient a : les solutions sont les C\,e^{ax}.

IV. L'équation y′ = ay + b

Solutions de y′ = ay + b Pour a ≠ 0 :
  • la fonction constante x \mapsto -\dfrac{b}{a} est une solution, dite solution particulière constante (celle qui ne bouge plus : l'équilibre) ;
  • les solutions sont exactement les x \mapsto C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}, C réel : « solution générale de y′ = ay » + « solution particulière ».
Exemple rédigé : résoudre y′ = 2y + 6 avec y(0) = 1
  • Solution constante : -\dfrac{6}{2} = -3 ;
  • solution générale : y(x) = C\,e^{2x} - 3.
On part ensuite de la condition initiale et on isole C :\begin{aligned}y(0) = 1 &\iff C\,e^{0} - 3 = 1 \\ &\iff C - 3 = 1 \\ &\iff C = 4\end{aligned}Donc y(x) = 4e^{2x} - 3.
⚠️ Le signe de a décide du destin Si a < 0, C\,e^{ax} \to 0 et toutes les solutions convergent vers l'équilibre -\dfrac{b}{a} (refroidissement d'un café, charge d'un condensateur) ; si a > 0, elles s'en éloignent exponentiellement. Interpréter ce comportement est une question de bac typique.
⚖️ Atelier : l'équilibre −b/a, et le tour de passe-passe
La droite verte est la solution constante {y = -\dfrac{b}{a}} : la seule qui ne bouge plus. Règle a et b, promène le point, puis appuie sur « ramener l'équilibre à zéro » : tout le dessin glisse de \dfrac{b}{a} et l'on retombe exactement sur l'image de y' = ay. C'est toute la méthode du chapitre, en un geste.
Le café qui refroidit, c'est le cas a < 0 : l'équilibre est la température de la pièce, et le café s'en approche sans jamais l'atteindre. Un café plus chaud ou plus froid que la pièce arrive au même endroit, par au-dessus ou par en dessous : déplace le point pour le voir.
🎮 Entraîne-toi : la solution d'équilibre
La solution constante de y′ = ay + b est −b/a : celle qui annule le second membre.
🎮 Entraîne-toi : est-ce bien une solution ?
On ne résout rien : on dérive la fonction proposée, et on compare aux deux membres.
🎮 Entraîne-toi : la constante C avec une condition initiale
Les solutions sont les C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}. On écrit y(0) et on isole C.

V. La méthode d'Euler : avancer sur la tangente

L'idée, en une phrase Une équation différentielle donne la pente de la courbe en chaque point, mais pas la courbe. La méthode d'Euler prend cette pente au sérieux : partant du point connu, on avance en ligne droite sur la tangente pendant un petit pas h, on recalcule la pente au nouveau point, et on recommence.
y_{n+1} = y_n + h \times f(x_n\,;\,y_n) et {x_{n+1} = x_n + h}.
C'est l'algorithme au programme : il donne une valeur approchée là où l'on ne sait pas (ou pas encore) résoudre.
🪜 Atelier : la ligne brisée d'Euler contre la vraie solution
Équation : y' = 0{,}8\,y avec y(0) = 1, dont la solution exacte est y = e^{0,8x} (en rose). Diminue le pas h et regarde la ligne brisée bleue venir se coller à la courbe.
À chaque étape on repart de la valeur approchée, donc l'erreur se transmet et s'accumule : la ligne brisée reste toujours en dessous ici, parce que la courbe est convexe et que la tangente passe sous elle.
L'algorithme, en Python
# y' = f(x, y), depart en (x0, y0), n pas de longueur h def euler(f, x0, y0, h, n):     x, y = x0, y0     for i in range(n):         y = y + h * f(x, y)   # on avance sur la tangente         x = x + h     return y
Les deux affectations sont dans cet ordre : on utilise l'ancien x pour calculer la pente, puis seulement on avance.
⚠️ Ce que la méthode ne donne pas Euler ne fournit pas la formule de la solution, seulement des valeurs approchées : c'est un tableau de nombres, pas une expression. Et l'erreur ne disparait jamais complètement : diviser h par 2 la divise environ par 2, pas par 4.
📄 La fiche d'exercices du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre