Fiche d'exercices Logimaths | 1ère spécialité
Fiche d'exercices : Modélisation quadratique
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Lire une trajectoire⭐
Une balle suit h(t) = -5t^2 + 10t + 15 (hauteur en mètres, t en secondes).
- De quelle hauteur part-elle ?
- La parabole est-elle une vallée ou une colline ? Pourquoi est-ce cohérent avec la situation ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. h(0) = 15 m (le c de la forme développée).
2. a = −5 < 0 : colline : la balle monte puis retombe, comme toute trajectoire soumise à la gravité.
2. a = −5 < 0 : colline : la balle monte puis retombe, comme toute trajectoire soumise à la gravité.
Exercice 2 : Le sommet⭐
On garde h(t) = -5t^2 + 10t + 15.
- À quel instant la hauteur est-elle maximale ?
- Que vaut cette hauteur maximale ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. \begin{aligned}t &= -\dfrac{10}{2 \times (-5)} \\ &= 1\end{aligned} seconde.
2. \begin{aligned}h(1) &= -5 + 10 + 15 \\ &= 20\end{aligned} m.
2. \begin{aligned}h(1) &= -5 + 10 + 15 \\ &= 20\end{aligned} m.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : L'atterrissage⭐⭐
Toujours h(t) = -5t^2 + 10t + 15.
- Résous h(t) = 0 (factorise par −5 d'abord).
- À quel instant la balle touche-t-elle le sol ? Pourquoi rejette-t-on une des deux solutions ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. \begin{aligned}-5(t^2 - 2t - 3) &= -5(t - 3)(t + 1) \\ &= 0\end{aligned} D'où t = 3 ou t = −1.
2. À t = 3 s : la solution t = −1 est hors du domaine (le temps démarre à 0) : le contexte tranche toujours.
2. À t = 3 s : la solution t = −1 est hors du domaine (le temps démarre à 0) : le contexte tranche toujours.
Exercice 4 : Profit et points morts⭐⭐
Le profit d'un atelier est {P(q) = -q^2 + 12q - 20} (en centaines d'euros, q objets fabriqués, {0 \leq q \leq 12}).
- Calcule les points morts (P(q) = 0).
- Pour quelles quantités l'atelier est-il rentable ?
- Quelle quantité maximise le profit, et que vaut-il ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \begin{aligned}\Delta &= 144 - 80 \\ &= 64\end{aligned} D'où q = 2 et q = 10.
2. Colline (a < 0) : P > 0 entre les racines : de 3 à 9 objets (bornes 2 et 10 exclues pour un profit strictement positif).
3. Au milieu des racines : q = 6, avec \begin{aligned}P(6) &= -36 + 72 - 20 \\ &= 16\end{aligned} (1600 €).
2. Colline (a < 0) : P > 0 entre les racines : de 3 à 9 objets (bornes 2 et 10 exclues pour un profit strictement positif).
3. Au milieu des racines : q = 6, avec \begin{aligned}P(6) &= -36 + 72 - 20 \\ &= 16\end{aligned} (1600 €).
Exercice 5 : Choisir la forme⭐⭐
Un même profit s'écrit : {P(q) = -2q^2 + 16q - 24} = -2(q - 4)^2 + 8 = {-2(q - 2)(q - 6)}.
- Sans calcul, donne : le coût fixe (perte en q = 0), le profit maximal, les points morts.
- Associe chaque réponse à la forme qui l'a fournie.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. P(0) = −24 (perte de 24) ; maximum 8 atteint en q = 4 ; points morts q = 2 et q = 6.
2. Développée → le −24 ; canonique → le sommet (4 ; 8) ; factorisée → les racines 2 et 6. Trois costumes, trois métiers.
2. Développée → le −24 ; canonique → le sommet (4 ; 8) ; factorisée → les racines 2 et 6. Trois costumes, trois métiers.
Exercice 6 : L'aire maximale⭐⭐
Avec 40 m de clôture, on délimite un rectangle (les quatre côtés).
- Si x est la largeur, exprime la longueur puis l'aire A(x).
- Détermine x qui maximise l'aire. Quelle figure obtient-on ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. Périmètre 40 : longueur = 20 − x, donc \begin{aligned}A(x) &= x(20 - x) \\ &= -x^2 + 20x\end{aligned} pour 0 < x < 20.
2. Sommet en x = 10 : aire maximale A(10) = 100 m², pour un carré de côté 10 (à périmètre fixé, le carré est le rectangle le plus « efficace »).
2. Sommet en x = 10 : aire maximale A(10) = 100 m², pour un carré de côté 10 (à périmètre fixé, le carré est le rectangle le plus « efficace »).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : La tarification⭐⭐⭐
Un car de 60 places est plein à 20 € la place. Chaque euro d'augmentation fait perdre 2 passagers. Soit x l'augmentation (en euros).
- Exprime la recette R(x) = (prix) × (nombre de passagers).
- Développe R(x) et détermine l'augmentation qui maximise la recette.
- Quelle est la recette maximale, et combien de places restent vides ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. R(x) = (20 + x)(60 - 2x).
2. R(x) = -2x^2 + 20x + 1200 : sommet en \begin{aligned}x &= -\dfrac{20}{-4} \\ &= 5\end{aligned} Augmenter de 5 € (prix 25 €).
3. \begin{aligned}R(5) &= 25 \times 50 \\ &= 1250\end{aligned} € (contre 1200 € plein) : 10 places vides, mais 50 € de mieux : l'optimum n'est pas le car plein !
2. R(x) = -2x^2 + 20x + 1200 : sommet en \begin{aligned}x &= -\dfrac{20}{-4} \\ &= 5\end{aligned} Augmenter de 5 € (prix 25 €).
3. \begin{aligned}R(5) &= 25 \times 50 \\ &= 1250\end{aligned} € (contre 1200 € plein) : 10 places vides, mais 50 € de mieux : l'optimum n'est pas le car plein !
Exercice 8 : Synthèse type bac : le pont parabolique⭐⭐⭐
L'arche d'un pont suit y = -0{,}1x^2 + 0{,}8x (x et y en mètres, x mesuré depuis la rive gauche).
- Quelle est la portée de l'arche (distance entre ses deux appuis au sol) ?
- Quelle est la hauteur maximale, et où est-elle atteinte ?
- Un bateau de 1,5 m de haut et 2 m de large veut passer centré sous l'arche : passe-t-il ? (Vérifie la hauteur de l'arche en x = 3.)
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. \begin{aligned}y &= -0{,}1x(x - 8) \\ &= 0\end{aligned} : appuis en x = 0 et x = 8 : portée 8 m.
2. Au milieu, x = 4 : \begin{aligned}y &= -1{,}6 + 3{,}2 \\ &= 1{,}6\end{aligned} m.
3. Centré, le bateau occupe x ∈ [3 ; 5]. En x = 3 : \begin{aligned}y &= -0{,}9 + 2{,}4 \\ &= 1{,}5\end{aligned} m : l'arche est à EXACTEMENT 1,5 m au bord du bateau : passage tout juste (au millimètre près : en pratique, on ne tente pas !).
2. Au milieu, x = 4 : \begin{aligned}y &= -1{,}6 + 3{,}2 \\ &= 1{,}6\end{aligned} m.
3. Centré, le bateau occupe x ∈ [3 ; 5]. En x = 3 : \begin{aligned}y &= -0{,}9 + 2{,}4 \\ &= 1{,}5\end{aligned} m : l'arche est à EXACTEMENT 1,5 m au bord du bateau : passage tout juste (au millimètre près : en pratique, on ne tente pas !).