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Fiche de cours Logimaths | 1ère spécialité

Fiche de cours : Modélisation quadratique

La parabole au travail : trajectoires, profits et optimisation

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I. Quand le monde est une parabole

Le modèle quadratique Beaucoup de situations se modélisent par un trinôme f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) :
  • une trajectoire (balle, jet d'eau) : la hauteur en fonction du temps ou de la distance ;
  • un profit : recette moins coût, souvent en cloche ;
  • une aire qui dépend d'une dimension (l'enclos, le cadre…).
La courbe est une parabole : vallée si a > 0 (minimum), colline si a < 0 (maximum). En modélisation, le signe de a se lit dans l'histoire : une hauteur qui monte puis retombe, c'est a < 0.
P S
Attrape le sommet S et déplace-le dans tous les sens ; attrape le point P et monte-le ou descends-le pour changer l'ouverture a. Fais passer a du côté positif : la courbe se retourne, et le récit ne tient plus. Les deux axes n'ont pas la même unité : la légende sous le repère la rappelle.
🎮 Entraîne-toi : vallée ou colline ?
Le signe de a décide : positif = vallée (minimum), négatif = colline (maximum).

II. Le sommet : là où tout se joue

L'extremum de la parabole Le sommet de la parabole a pour abscisse : \alpha = -\dfrac{b}{2a}, et l'extremum vaut f(\alpha).
En modélisation, le sommet répond aux questions « quand la hauteur est-elle maximale ? », « quel prix maximise le profit ? », « quelle dimension optimise l'aire ? ».
La parabole est symétrique autour de x = \alpha : le sommet est aussi au MILIEU des deux racines quand elles existent.
Exemple rédigé : la balle h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}2 (hauteur en mètres, t en secondes).
Sommet en \begin{aligned}t &= -\dfrac{20}{2 \times (-5)} \\ &= 2\end{aligned} s, de hauteur \begin{aligned}h(2) &= -20 + 40 + 1{,}2 \\ &= 21{,}2\end{aligned} m.
Le −5 vient de la gravité (−g/2 avec g ≈ 10) : les trajectoires de la physique sont les paraboles des maths.
Fais glisser le point M le long de la courbe et essaie de battre ton record : le trait vert en pointillés marque ton meilleur essai, et il ne franchit jamais le trait doré. La bande rouge est le demi-plan où la courbe ne va jamais : voilà pourquoi \beta est un extremum, et pas seulement une valeur parmi d'autres. Retourne ensuite le signe de a : le maximum devient un minimum, et la bande change de côté.
🎮 Entraîne-toi : l'abscisse du sommet
α = −b/(2a) : le centre de symétrie de la parabole.
🎮 Entraîne-toi : lire l'optimum sur la forme canonique
La canonique a(x − α)² + β donne les DEUX coordonnées du sommet sans le moindre calcul.
quand ? combien ?

III. Les racines : les seuils du modèle

Ce que racontent les racines Les solutions de f(x) = 0 sont les seuils du modèle :
  • trajectoire : l'instant où la balle touche le sol (on garde la racine POSITIVE : le temps négatif n'a pas de sens) ;
  • profit : les points morts (break-even), entre lesquels l'activité est rentable si la parabole est une colline ;
  • entre les racines, f garde le signe de −a : c'est le tableau de signes du chapitre Second degré, mis au travail.
Toujours confronter les solutions mathématiques au CONTEXTE : un domaine de validité (t ≥ 0, quantité ≤ capacité) élimine souvent une racine.
Attrape le sommet et fais-le descendre sous l'axe des abscisses, puis remonter. Les deux racines se rapprochent, se confondent, puis disparaissent : c'est exactement ce que raconte le signe de \Delta. La bande verte marque les x où f(x) > 0, la rouge ceux où f(x) < 0.
🎮 Entraîne-toi : retomber au sol
h(t) = t(b − 5t) sur une trajectoire : factorise pour trouver l'instant d'atterrissage.
🎮 Entraîne-toi : combien de seuils ?
Le signe de Δ compte les points d'intersection avec l'axe des abscisses.

IV. Trois formes, trois lectures

Choisir la forme selon la question
  • développée ax^2 + bx + c : donne directement f(0) = c (la valeur initiale : hauteur de départ, coût fixe) ;
  • canonique a(x - \alpha)^2 + \beta : donne directement le sommet (α ; β), donc l'extremum ;
  • factorisée a(x - x_1)(x - x_2) : donne directement les racines, donc les seuils et le signe.
Le réflexe de modélisation : identifier la question (valeur initiale ? optimum ? seuil ?) et convoquer LA forme qui y répond sans calcul.
B(q) = −2q² + 20q − 18  développée
B(q) = −2(q − 5)² + 32  canonique
B(q) = −2(q − 1)(q − 9)  factorisée
Une seule et même fonction, trois écritures. La courbe ne bouge jamais : ce qui change, c'est ce que l'écriture te donne gratuitement. Développer, mettre sous forme canonique ou factoriser, c'est simplement choisir quel point du dessin on veut lire sans calcul.
⚠️ L'optimum n'est pas au seuil Erreur fréquente : confondre « quand le profit est-il nul ? » (les racines) et « quand est-il maximal ? » (le sommet, à mi-chemin des racines). Sur un énoncé, souligne le mot-clé : « s'annule » / « rentable » → racines et signe ; « maximal » / « optimal » → sommet.
👆 ▶ À toi : P(q) = −2(q − 1)(q − 9) est un profit. Donne les points morts et la quantité optimale. Vérifie
Points morts : q = 1 et q = 9 (la forme factorisée les crie).
Optimum au milieu : q = 5, avec \begin{aligned}P(5) &= -2 \times 4 \times (-4) \\ &= 32\end{aligned} Le profit culmine à 32 pour q = 5.
🎮 Entraîne-toi : la bonne forme
Valeur initiale → développée ; extremum → canonique ; seuils → factorisée.
🎮 Entraîne-toi : de la factorisée à l'optimum
Le sommet est au MILIEU des deux racines : pas de discriminant, pas de −b/(2a), juste une moyenne.
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