Fiche d'exercices Logimaths | 1ère spécialité
Fiche d'exercices : Second degré
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐, en complément de la série d'origine
Échauffement
Exercice 1 : Discriminants et nombre de racines⭐
Pour chaque trinôme, calcule Δ et donne le nombre de racines :
- x^2 - 5x + 6
- 4x^2 + 4x + 1
- 2x^2 + x + 3
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Δ = 25 − 24 = 1 > 0 : deux racines.
2. Δ = 16 − 16 = 0 : une racine double (c'est (2x + 1)² !).
3. Δ = 1 − 24 = −23 < 0 : aucune racine réelle.
2. Δ = 16 − 16 = 0 : une racine double (c'est (2x + 1)² !).
3. Δ = 1 − 24 = −23 < 0 : aucune racine réelle.
Exercice 2 : Résoudre avec Δ⭐
Résous :
- x^2 - 5x + 6 = 0
- 3x^2 + 5x - 2 = 0
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. Δ = 1 : x = \dfrac{5 \pm 1}{2} : 2 et 3 (vérif : somme 5, produit 6 ✔).
2. Δ = 25 + 24 = 49 : x = \dfrac{-5 \pm 7}{6} : \dfrac{1}{3} et −2.
2. Δ = 25 + 24 = 49 : x = \dfrac{-5 \pm 7}{6} : \dfrac{1}{3} et −2.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Sans Δ : les raccourcis⭐⭐
Résous SANS discriminant :
- x^2 - 49 = 0
- 3x^2 + 12x = 0
- (2x - 1)(x + 5) = 0
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. (x - 7)(x + 7) = 0 : ±7.
2. 3x(x + 4) = 0 : 0 et −4.
3. Produit nul : \dfrac{1}{2} et −5. Réflexe : Δ est le PLAN C, pas le plan A.
2. 3x(x + 4) = 0 : 0 et −4.
3. Produit nul : \dfrac{1}{2} et −5. Réflexe : Δ est le PLAN C, pas le plan A.
Exercice 4 : Factoriser⭐⭐
- Factorise f(x) = 2x^2 - 10x + 12.
- Factorise g(x) = -x^2 + 4x - 4.
- Pourquoi h(x) = x^2 + x + 1 ne se factorise-t-il pas dans ℝ ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. Δ = 100 − 96 = 4 : racines 2 et 3 : f(x) = 2(x - 2)(x - 3) (ne pas oublier le a = 2 !).
2. Δ = 0 : racine double 2 : {g(x) = -(x - 2)^2}.
3. Δ = 1 − 4 = −3 < 0 : pas de racine réelle, donc pas de facteur (x − racine).
2. Δ = 0 : racine double 2 : {g(x) = -(x - 2)^2}.
3. Δ = 1 − 4 = −3 < 0 : pas de racine réelle, donc pas de facteur (x − racine).
Exercice 5 : Inéquations⭐⭐
Résous :
- x^2 - 5x + 6 \leq 0
- -2x^2 + 8x - 6 > 0
- x^2 + 3 > 0
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. Racines 2 et 3, a > 0 : négatif ENTRE : S = [2\,;\,3].
2. Racines 1 et 3, a < 0 : positif ENTRE : S = \,]1\,;\,3[.
3. Δ < 0 et a > 0 : toujours positif : S = ℝ.
2. Racines 1 et 3, a < 0 : positif ENTRE : S = \,]1\,;\,3[.
3. Δ < 0 et a > 0 : toujours positif : S = ℝ.
Exercice 6 : Forme canonique⭐⭐
Soit f(x) = x^2 - 8x + 11.
- Mets f sous forme canonique.
- Déduis-en le minimum de f et le tableau de variations.
- Retrouve les racines à partir de la forme canonique.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. α = 4, β = f(4) = 16 − 32 + 11 = −5 : f(x) = (x - 4)^2 - 5.
2. Minimum −5 en x = 4 : décroissante avant, croissante après.
3. (x - 4)^2 = 5 donne x = 4 \pm \sqrt{5} (symétriques autour de 4 ✔).
2. Minimum −5 en x = 4 : décroissante avant, croissante après.
3. (x - 4)^2 = 5 donne x = 4 \pm \sqrt{5} (symétriques autour de 4 ✔).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Avec un paramètre⭐⭐⭐
Soit f(x) = x^2 + mx + 9 (m réel).
- Exprime Δ en fonction de m.
- Pour quelles valeurs de m le trinôme admet-il une racine double ?
- Pour quelles valeurs de m est-il strictement positif sur tout ℝ ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \Delta = m^2 - 36.
2. Δ = 0 ⟺ m = 6 ou m = −6 (alors f(x) = (x \pm 3)^2).
3. a = 1 > 0 et Δ < 0 ⟺ m^2 < 36 ⟺ −6 < m < 6.
2. Δ = 0 ⟺ m = 6 ou m = −6 (alors f(x) = (x \pm 3)^2).
3. a = 1 > 0 et Δ < 0 ⟺ m^2 < 36 ⟺ −6 < m < 6.
Exercice 8 : Synthèse type bac⭐⭐⭐
Un projectile suit h(t) = -5t^2 + 14t + 3 (hauteur en mètres, t en secondes).
- Résous h(t) = 0 et donne l'instant d'impact au sol.
- Pendant quel intervalle de temps le projectile est-il à plus de 11,4 m ? (résous h(t) > 11,4 : Δ tombe juste)
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Δ = 196 + 60 = 256 : t = \dfrac{-14 \pm 16}{-10} : t = 3 ou t = −0,2 (rejeté) : impact à t = 3 s.
2. -5t^2 + 14t - 8{,}4 > 0 : \begin{aligned}\Delta &= 196 - 168 \\ &= 28\end{aligned}… essayons plus propre en multipliant par −5 : 25t^2 - 70t + 42 < 0, \begin{aligned}\Delta &= 4900 - 4200 \\ &= 700\end{aligned} \begin{aligned}t &= \dfrac{70 \pm 10\sqrt{7}}{50} \\ &= 1{,}4 \pm 0{,}2\sqrt{7}\end{aligned} Entre ≈ 0,87 s et ≈ 1,93 s (a < 0 pour le trinôme initial : positif entre les racines).
2. -5t^2 + 14t - 8{,}4 > 0 : \begin{aligned}\Delta &= 196 - 168 \\ &= 28\end{aligned}… essayons plus propre en multipliant par −5 : 25t^2 - 70t + 42 < 0, \begin{aligned}\Delta &= 4900 - 4200 \\ &= 700\end{aligned} \begin{aligned}t &= \dfrac{70 \pm 10\sqrt{7}}{50} \\ &= 1{,}4 \pm 0{,}2\sqrt{7}\end{aligned} Entre ≈ 0,87 s et ≈ 1,93 s (a < 0 pour le trinôme initial : positif entre les racines).