Fiche de cours Logimaths | 1ère spécialité

Fiche de cours : Second degré

Discriminant, racines, signe, sommet : le trinôme sous toutes ses coutures

← Retour à la page 1ère 📄 Exercices v2 📄 Exercices (série d'origine)

I. Le trinôme et son discriminant

Trinôme du second degré Une fonction polynôme du second degré s'écrit f(x) = ax^2 + bx + c avec a ≠ 0. Sa courbe est une parabole : vallée si a > 0, colline si a < 0.
Le discriminant : \Delta = b^2 - 4ac. Ce seul nombre décide du nombre de racines (les solutions de f(x) = 0).

a = 1

b = −2

c = −3

Bouge un seul curseur à la fois et regarde ce qui change. a : l'ouverture et le sens (vallée ou colline). c : la hauteur où la courbe coupe l'axe des ordonnées, car f(0) = c. b : le sommet glisse en oblique, c'est le plus difficile à anticiper. Le point S est le sommet, la droite en pointillés son axe de symétrie, et les pastilles jaunes les racines quand il y en a.

⚠️ a ne peut pas valoir 0 Le curseur de a saute par-dessus zéro, et ce n'est pas un caprice : si a = 0, il ne reste que bx + c, une fonction affine dont la courbe est une droite. Plus de parabole, plus de sommet, plus de discriminant. C'est la condition écrite dans la définition, et elle est là pour ça.

Les racines selon Δ

Δ > 0 : deux racines {x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}} ;
Δ = 0 : une racine double x_0 = -\dfrac{b}{2a} (la parabole TOUCHE l'axe) ;
Δ < 0 : aucune racine réelle (la parabole ne coupe pas l'axe).

⚠️ Avant tout calcul de Δ, vérifie si une racine évidente ou une factorisation directe (x en facteur, identité remarquable) fait le travail plus vite.

Δ et le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses

β = −3

La parabole ne change jamais de forme : elle ne fait que monter ou descendre. Tout se joue donc sur la hauteur du sommet β. Attrape le curseur pour la piloter toi-même, et arrête-toi juste au moment où elle effleure l'axe : c'est là, et seulement là, que Δ = 0.

La formule cachée derrière l'animation En forme canonique {f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta}, un calcul de deux lignes donne \Delta = -4a\beta. Autrement dit : Δ ne mesure rien d'autre que la hauteur du sommet, corrigée par le sens de la parabole.

a > 0 (vallée) : il y a deux racines exactement quand le sommet est sous l'axe (β < 0) ;
a < 0 (colline) : il y a deux racines exactement quand le sommet est au-dessus de l'axe (β > 0).

Le bouton « Retourner la parabole » montre que ce n'est pas « le sommet est en bas » qui compte, mais bien le produit a\beta : c'est pour cela que la formule fait intervenir a.

🎮 Entraîne-toi : lire le nombre de racines sur le graphique

Aucun calcul : on compte les points de rencontre avec l'axe des abscisses.

🎮 Entraîne-toi : calculer Δ

Δ = b² − 4ac, signes compris : c'est lui qui commande.

🎮 Entraîne-toi : combien de racines ?

Le signe de Δ répond, sans résoudre.

II. Factoriser et résoudre

La forme factorisée Quand Δ ≥ 0 : f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) (avec \begin{aligned}x_1 &= x_2 \\ &= x_0\end{aligned} si Δ = 0 : a(x - x_0)^2).
Quand Δ < 0, le trinôme ne se factorise PAS dans ℝ.
Bonus très utile : somme des racines = −b/a, produit = c/a (pour vérifier ses calculs en trois secondes).

Exemple rédigé : résoudre 2x² − 3x − 2 = 0 \begin{aligned}\Delta &= 9 + 16 \\ &= 25\end{aligned} : deux racines x = \dfrac{3 \pm 5}{4}, soit x_1 = 2 et x_2 = -\dfrac{1}{2}.
Factorisation : 2(x - 2)\left(x + \dfrac{1}{2}\right). Vérification : somme \dfrac{3}{2} = −b/a ✔, produit −1 = c/a ✔.

🎮 Entraîne-toi : somme et produit, sans résoudre

S = −b/a et P = c/a. Le réflexe qui vérifie une résolution en trois secondes.

S = P =

III. Le signe du trinôme

La règle en une phrase Un trinôme est du signe de a partout, SAUF entre ses racines (quand elles existent).

Δ > 0 : signe de a à l'extérieur des racines, signe de −a entre elles ;
Δ = 0 : signe de a partout, nul en la racine double ;
Δ < 0 : signe de a sur TOUT ℝ (jamais nul).

C'est l'outil des inéquations du second degré et des tableaux de signes des dérivées (chapitre Dérivation) : le théorème le plus rentable de l'année.

Fais glisser le point M le long de l'axe des abscisses. La barre en pointillés monte quand f(x) est positif, descend quand il est négatif, et la case correspondante du tableau s'allume en même temps. L'axe lui-même est colorié : c'est le tableau de signes dessiné à sa vraie place.

Comment se rédige un tableau de signes

Calculer Δ, puis les racines s'il y en a ;
tracer la ligne des x et y placer les racines dans l'ordre croissant ;
mettre un 0 sous chaque racine ;
remplir les autres cases : signe de a aux deux extrémités, signe contraire au milieu.

Le piège classique : placer les racines dans l'ordre où on les a trouvées. La formule \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} ne donne PAS la plus petite en premier quand a < 0.

🎮 Entraîne-toi : résoudre une inéquation

Les racines sont données : tout se joue sur le signe de a et sur le sens demandé.

🎮 Entraîne-toi : le signe entre les racines

Racines connues : dedans, signe de −a ; dehors, signe de a.

IV. Forme canonique, sommet, variations

La forme canonique Tout trinôme s'écrit {f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta} avec \alpha = -\dfrac{b}{2a} et \beta = f(\alpha) : le sommet de la parabole est (α ; β), et x = α est l'axe de symétrie.
Variations : si a > 0, f décroît jusqu'à α puis croît (minimum β) ; si a < 0, l'inverse (maximum β).
👀 Ne confonds pas a (le coefficient, lettre latine) et α (la lettre grecque « alpha », en rose dans les formules) : a dit si la parabole est une vallée ou une colline, α est l'abscisse du sommet. Sa coéquipière β (« bêta », en bleu) est l'ordonnée du sommet.

a = 1

α = 2

β = −3

En pointillés gris : la parabole de référence y = ax², sommet en O. Les deux flèches jaunes sont la translation qui l'amène sur la courbe bleue : α horizontalement, puis β verticalement. Le sommet S (α ; β) n'est donc rien d'autre que l'image de l'origine.

⚠️ Le piège de signe de la forme canonique Dans {f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta}, c'est bien moins α qui est écrit. Une courbe dont le sommet est en x = -3 a donc pour forme canonique a(x + 3)^2 + \beta : le signe visible dans la parenthèse est l'opposé de l'abscisse du sommet. Fais glisser le curseur α vers les valeurs négatives dans l'atelier ci-dessus pour le voir écrit noir sur blanc.

Exemple rédigé : canoniser x² − 6x + 5 \begin{aligned}\alpha &= \dfrac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned} et \begin{aligned}\beta &= f(3) \\ &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned} D'où f(x) = (x - 3)^2 - 4.
Lecture immédiate : minimum −4 en x = 3, décroissante avant, croissante après (et racines 1 et 5, symétriques autour de 3).

⚠️ Les trois formes, les trois métiers Développée → f(0) et le Δ ; canonique → sommet et variations ; factorisée → racines et signe. Passer de l'une à l'autre est LA gymnastique du chapitre : développer pour vérifier, canoniser pour optimiser, factoriser pour résoudre.

👆 ▶ À toi : f(x) = −2x² + 8x − 6. Δ, racines, signe, sommet : déroule tout. Vérifie

\begin{aligned}\Delta &= 64 - 48 \\ &= 16\end{aligned} : racines x = \dfrac{-8 \pm 4}{-4}, soit 1 et 3.
Signe : a = −2 < 0 : négatif dehors, POSITIF entre 1 et 3.
Sommet : α = 2, β = f(2) = −8 + 16 − 6 = 2 : maximum 2 en x = 2.

🎮 Entraîne-toi : l'abscisse du sommet

α = −b/(2a), toujours lui.

🎮 Entraîne-toi : l'ordonnée du sommet

α est donné. β = f(α) : il se calcule, il ne se lit pas dans l'expression.

🎮 Entraîne-toi : minimum ou maximum ?

Une seule chose à regarder : le signe de a.

📄 Les exercices v2 du chapitre 📄 La série d'exercices d'origine 🎯 Le QCM du chapitre