Fiche de cours Logimaths | Seconde
Fiche de cours : Les fonctions de référence
Carré, valeur absolue, inverse, racine, cube : cinq courbes, et l'aller-retour entre x et y
I. Ce que dit le programme de la rentrée 2026
⚠️ Ce chapitre a changé cette année
Le programme de seconde a été réécrit : arrêté du 26 février 2026, publié au Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026, applicable à la rentrée 2026. Trois choses bougent dans ce chapitre précis, et il vaut mieux les connaître avant de réviser sur un vieux manuel.
⭐ Ce qui entre
- La fonction valeur absolue x\mapsto|x| devient une fonction de référence à part entière : définition, courbe, signe et variations sont exigibles, exactement comme pour le carré.
✅ Ce qui reste au premier rang
- La fonction carré et la fonction inverse : définitions, courbes, signe, variations.
- Le signe des fonctions de référence devient même un contenu du programme (et plus une simple capacité).
↘ Ce qui est déclassé
- Racine carrée et cube ne sont plus dans la liste des fonctions dont on exige définition, courbe, signe et variations.
- Elles restent au programme pour résoudre f(x)=k et f(x)<k, et en approfondissement pour relier \sqrt{x} et x^2 sur [0\,;+\infty[. Autrement dit : tu dois savoir lire leurs courbes, pas réciter leur tableau de variations.
🚪 Ce qui sort
- Les fonctions paires et impaires ne sont plus au programme de seconde. Attention : elles n'ont pas disparu, elles ont déménagé en première spécialité. Tu les retrouveras l'an prochain.
- On les garde tout en bas de cette fiche, en approfondissement, pour ceux qui veulent prendre de l'avance.
II. Les cinq courbes de référence
Ces cinq courbes se reconnaissent au premier coup d'œil. Chacune est tracée ici dans un repère orthonormé (même unité sur les deux axes), avec la droite y=x en pointillés bleus : elle servira dans toute la partie suivante.
Fonction carré
x\mapsto x^2 définie sur \mathbb{R}
au programme
x\mapsto x^2 définie sur \mathbb{R}
au programme
Fonction inverse
x\mapsto \dfrac{1}{x} définie sur \mathbb{R}^*
au programme
x\mapsto \dfrac{1}{x} définie sur \mathbb{R}^*
au programme
Fonction valeur absolue
x\mapsto |x| définie sur \mathbb{R}
⭐ nouveauté 2026
x\mapsto |x| définie sur \mathbb{R}
⭐ nouveauté 2026
Fonction racine carrée
x\mapsto \sqrt{x} définie sur [0\,;+\infty[
déclassée en 2026
x\mapsto \sqrt{x} définie sur [0\,;+\infty[
déclassée en 2026
Fonction cube
x\mapsto x^3 définie sur \mathbb{R}
déclassée en 2026
x\mapsto x^3 définie sur \mathbb{R}
déclassée en 2026
La carte d'identité des cinq fonctions
| Fonction | Définie sur | Variations | Signe |
|---|---|---|---|
| x\mapsto x^2 | \mathbb{R} | décroissante sur ]-\infty\,;0], croissante sur [0\,;+\infty[ | toujours \geqslant 0 |
| x\mapsto|x| | \mathbb{R} | décroissante sur ]-\infty\,;0], croissante sur [0\,;+\infty[ | toujours \geqslant 0 |
| x\mapsto\dfrac{1}{x} | \mathbb{R}^* | décroissante sur ]-\infty\,;0[ et décroissante sur ]0\,;+\infty[ | du signe de x |
| x\mapsto\sqrt{x} | [0\,;+\infty[ | croissante | toujours \geqslant 0 |
| x\mapsto x^3 | \mathbb{R} | croissante sur \mathbb{R} | du signe de x |
⚠️ L'inverse n'est pas décroissante « sur ℝ* »
Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles, jamais sur leur réunion. Contre-exemple imparable : -1<1, et pourtant \dfrac{1}{-1}=-1 est plus petit que \dfrac{1}{1}=1. Si la fonction était décroissante sur tout \mathbb{R}^*, l'ordre aurait dû s'inverser. Il faut donc écrire deux lignes de variations, séparées par une double barre en 0.
Deux tableaux de variations à savoir tracer
Les deux fonctions ont exactement le même tableau : elles descendent jusqu'en 0, y atteignent leur minimum, qui vaut 0, puis remontent. La différence est la forme : un creux arrondi pour x^2, une pointe pour |x|.
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| x^2 | ↘ | 0 | ↗ | ||
| |x| | ↘ | 0 | ↗ |
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : variations des fonctions carré et inverse
Fonction carré, sur [0\,;+\infty[ Soient 0\leqslant a<b. On calcule la différence : a^2-b^2=(a-b)(a+b). Or a-b<0 et a+b>0 (car b>a\geqslant0), donc le produit est négatif : a^2<b^2. La fonction conserve l'ordre : elle est croissante.
Fonction carré, sur ]-\infty\,;0] Soient a<b\leqslant0. Cette fois a-b<0 et a+b<0, donc (a-b)(a+b)>0 : a^2>b^2. L'ordre est renversé : elle est décroissante.
Fonction inverse, sur un intervalle où a et b ont le même signe Soient a<b non nuls et de même signe. \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}. Le numérateur b-a est positif, et le dénominateur ab aussi (même signe), donc la différence est positive : \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}. L'ordre est renversé : la fonction est décroissante sur chaque intervalle. ∎
Fonction valeur absolue Sur [0\,;+\infty[ on a |x|=x : c'est la fonction identité, croissante. Sur ]-\infty\,;0] on a |x|=-x : c'est l'opposé, donc décroissante. Et |x|\geqslant0 pour tout x, avec égalité seulement en 0.
Fonction carré, sur ]-\infty\,;0] Soient a<b\leqslant0. Cette fois a-b<0 et a+b<0, donc (a-b)(a+b)>0 : a^2>b^2. L'ordre est renversé : elle est décroissante.
Fonction inverse, sur un intervalle où a et b ont le même signe Soient a<b non nuls et de même signe. \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}. Le numérateur b-a est positif, et le dénominateur ab aussi (même signe), donc la différence est positive : \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}. L'ordre est renversé : la fonction est décroissante sur chaque intervalle. ∎
Fonction valeur absolue Sur [0\,;+\infty[ on a |x|=x : c'est la fonction identité, croissante. Sur ]-\infty\,;0] on a |x|=-x : c'est l'opposé, donc décroissante. Et |x|\geqslant0 pour tout x, avec égalité seulement en 0.
🎮 Entraîne-toi : images par les fonctions de référence
Carré, cube, racine, inverse ou valeur absolue : applique la définition.
III. Aller et retour : l'image, puis les antécédents
Deux trajets sur la même courbe
- L'aller part de l'axe des abscisses : on choisit x, on monte (ou on descend) jusqu'à la courbe, puis on file horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées. On y lit f(x), l'image de x.
- Le retour part de l'axe des ordonnées : on choisit y, on file horizontalement jusqu'à la courbe, puis on redescend sur l'axe des abscisses. On y lit les antécédents de y.
Quand le retour est une fonction, on l'appelle la réciproque
Si, pour chaque valeur de y atteinte, le retour ne donne qu'un seul antécédent, alors le retour est lui-même une fonction : on l'appelle la fonction réciproque. Sa courbe est la symétrique de la première par rapport à la droite y=x (échanger x et y, c'est exactement se réfléchir dans ce miroir).
Dans l'atelier ci-dessous, attrape la grosse pastille sur l'axe et déplace-la. Change de fonction avec les onglets, change de sens avec les deux boutons, et affiche le miroir y=x avec le troisième.
⚠️ Les quatre situations du retour, sans tricher
- L'inverse est sa propre réciproque. Résoudre \dfrac{1}{x}=y donne x=\dfrac{1}{y} : c'est la même formule. Le miroir de l'hyperbole par rapport à y=x, c'est l'hyperbole elle-même.
- Le cube et la racine cubique fonctionnent sur \mathbb{R} tout entier. Chaque réel a exactement un antécédent par la fonction cube, négatifs compris : le retour ne bute jamais.
- Le carré et la racine, seulement sur [0\,;+\infty[. La symétrie par rapport à y=x ne transforme en \sqrt{x} que la moitié droite de la parabole. Le miroir de la moitié gauche est une deuxième branche couchée : elle existe, mais ce n'est pas une courbe de fonction (une même abscisse y aurait deux images).
- La valeur absolue n'a aucune réciproque sur \mathbb{R}. \begin{aligned}|-3| &= |3| \\ &= 3\end{aligned} En partant de 3, impossible de décider si l'on revient vers -3 ou vers 3. Le retour hésite, et il se bloque. Choisis l'onglet « valeur absolue », passe en mode retour, et regarde la flèche osciller : elle ne ment pas.
🎮 Entraîne-toi : combien d'antécédents ?
Ne calcule pas : imagine la droite horizontale de hauteur y et compte les points d'intersection avec la courbe.
IV. Encadrer x^2 : les trois cas
Méthode : on regarde d'abord où se trouve zéro
On part d'un encadrement {a \leqslant x \leqslant b} et on cherche un encadrement de x^2. Tout dépend de la position de l'intervalle [a\,;b] par rapport à 0.
- Tout à droite de zéro (0\leqslant a\leqslant x\leqslant b) : la fonction carré est croissante sur [0\,;+\infty[, elle conserve l'ordre. On élève tout au carré tel quel : {a^2 \leqslant x^2 \leqslant b^2}
- Tout à gauche de zéro (a\leqslant x\leqslant b\leqslant 0) : elle est décroissante sur ]-\infty\,;0], elle renverse l'ordre. Les bornes échangent leur rôle : {b^2 \leqslant x^2 \leqslant a^2}
- À cheval sur zéro (a\leqslant 0\leqslant b) : l'intervalle contient 0, où le carré atteint son minimum. Ce minimum vaut 0, pas a^2. Et le maximum est atteint à la borne la plus éloignée de zéro : {0 \leqslant x^2 \leqslant \max(a^2\,;b^2)}
Dans l'atelier, déplace les deux crochets sur l'axe des abscisses. Le surligneur rose montre l'intervalle de départ, le surligneur bleu montre l'intervalle d'arrivée sur l'axe des ordonnées. Regarde le surligneur bleu changer de sens quand tu passes de l'autre côté de zéro.
⚠️ Le piège du troisième cas (celui qui coûte le plus de points)
De {-2 \leqslant x \leqslant 3} on ne déduit pas {4 \leqslant x^2 \leqslant 9} Il suffit de prendre {x=0} : alors x^2=0, qui n'est pas supérieur à 4. La bonne réponse est {0 \leqslant x^2 \leqslant 9} Dès que l'intervalle contient zéro, le minimum du carré est 0.
⚠️ Un encadrement d'un seul côté ne suffit pas
De x\leqslant 3 tout seul, on ne peut rien dire de x^2 : x pourrait valoir -100, et alors x^2=10\,000. Pour encadrer un carré, il faut les deux bornes. C'est différent pour la fonction cube, qui est croissante sur \mathbb{R} : là, x\leqslant 3 donne bien x^3\leqslant 27.
🎮 Entraîne-toi : encadrer x^2
Repère d'abord si l'intervalle contient 0, puis remplis les deux bornes.
≤ x² ≤
V. Équations et inéquations : dans les deux sens
Le sens direct : de x vers x^2
C'est la partie précédente : on part d'un encadrement de x et on en déduit un encadrement de x^2. On applique la fonction carré aux bornes, en surveillant le sens.
Le sens retour : de x^2 vers x
Là, on revient vers x, et le retour du carré donne deux candidats. D'où les trois résultats à connaître, pour k>0 :
- x^2=k\iff x=-\sqrt{k}\ \text{ou}\ x=\sqrt{k} : deux solutions ;
- \begin{aligned}x^2 \leqslant k &\iff -\sqrt{k} \leqslant x \leqslant \sqrt{k}\end{aligned} soit S=[-\sqrt{k}\,;\sqrt{k}] : un seul intervalle ;
- x^2\geqslant k\iff x\leqslant-\sqrt{k}\ \text{ou}\ x\geqslant\sqrt{k}, soit S=\left]-\infty\,;-\sqrt{k}\right]\cup\left[\sqrt{k}\,;+\infty\right[ : une réunion de deux intervalles.
🔗 Ce « ou », tu l'as déjà manipulé
La réunion \left]-\infty\,;-\sqrt{k}\right]\cup\left[\sqrt{k}\,;+\infty\right[ est exactement l'objet de l'atelier \cup et \cap de la fiche Nombres réels : rouge pour le premier intervalle, vert pour le second, et le « ou » mathématique qui les relie (un nombre convient s'il est dans au moins un des deux). Même code couleur ci-dessous, exprès : c'est la même grammaire visuelle.
Attrape la droite horizontale y=k et fais-la monter ou descendre. Choisis ensuite le symbole. Le surligneur épais montre le morceau de parabole qui vérifie la condition, et les crochets en bas montrent l'ensemble des solutions.
Et pour les autres fonctions de référence
- Valeur absolue, pour k>0 : {|x|=k\iff x=-k\ \text{ou}\ x=k} ; \begin{aligned}|x| \leqslant k &\iff -k \leqslant x \leqslant k\end{aligned} |x|\geqslant k\iff x\leqslant-k\ \text{ou}\ x\geqslant k. Exactement la même grammaire que le carré, sans les racines : c'est la traduction de « la distance de x à zéro vaut au plus k ».
- Racine carrée, pour k\geqslant0 : \begin{aligned}\sqrt{x} = k &\iff x = k^2 \end{aligned} et \begin{aligned}\sqrt{x} \leqslant k &\iff 0 \leqslant x \leqslant k^2\end{aligned} Ne pas oublier x\geqslant0, qui est dans la définition !
- Cube : la fonction est croissante sur \mathbb{R}, donc x^3\leqslant k se lit directement, sans changement de sens ni cas à distinguer.
- Inverse : ⚠️ ne multiplie jamais par x sans connaître son signe. Le plus sûr est la lecture graphique. Par exemple \dfrac{1}{x}\geqslant2 donne 0<x\leqslant0{,}5 : la condition x>0 vient du graphique, pas du calcul.
🎮 Entraîne-toi : résoudre dans les deux sens
Attention aux questions où l'on ne peut rien conclure : elles existent.
VI. Comparer deux images
Comparer f(a) et f(b) sans calculatrice
Sur la parabole, c'est la distance à zéro qui décide : plus |x| est grand, plus x^2 est grand.
- entre -5 et -3 : |-5|>|-3|, donc (-5)^2>(-3)^2 ;
- deux opposés ont le même carré : (-4)^2=4^2 (et la même valeur absolue) ;
- piège des petits nombres : 0{,}5^2=0{,}25<0{,}5 ; entre 0 et 1, le carré rapetisse.
🎮 Entraîne-toi : comparer des carrés
Compare les distances à zéro, pas les nombres eux-mêmes.
VII. x, x^2 et x^3 : qui est au-dessus ?
Positions relatives (pour x positif)
- si x\geqslant1 : x^3 au-dessus de x^2, au-dessus de x (les puissances amplifient) ;
- si {0 \leqslant x \leqslant 1} : ordre inversé, x au-dessus de x^2, au-dessus de x^3 (élever un nombre entre 0 et 1 à une puissance le diminue) ;
- les trois courbes se croisent en {x=0} et x=1.
▶ 🎓 Démonstration au programme (exigible) : positions relatives de y=x, y=x^2 et y=x^3
Cas x\geqslant1 x^2-x=x(x-1) : produit de deux facteurs positifs ({x\geqslant1>0} et x-1\geqslant0), donc x^2\geqslant x : la parabole est au-dessus de la droite. De même \begin{aligned}x^3-x^2 &= x^2(x-1) \\ &\geqslant 0\end{aligned} La cubique est au-dessus de la parabole.
Cas {0 \leqslant x \leqslant 1} x^2-x=x(x-1) : x\geqslant0 mais x-1\leqslant0, produit négatif, donc x^2\leqslant x. Et \begin{aligned}x^3-x^2 &= x^2(x-1) \\ &\leqslant 0\end{aligned} x^3\leqslant x^2. L'ordre est inversé. ∎
Cas {0 \leqslant x \leqslant 1} x^2-x=x(x-1) : x\geqslant0 mais x-1\leqslant0, produit négatif, donc x^2\leqslant x. Et \begin{aligned}x^3-x^2 &= x^2(x-1) \\ &\leqslant 0\end{aligned} x^3\leqslant x^2. L'ordre est inversé. ∎
🎮 Entraîne-toi : quelle courbe est au-dessus ?
x\geqslant1 : la puissance la plus haute gagne ; entre 0 et 1 : c'est l'inverse.
VIII. Les pièges du chapitre
⚠️ (-x)^2 n'est pas -x^2
(-x)^2=x^2 (le carré efface le signe) mais -x^2 est l'opposé de x^2, toujours négatif ou nul. Dans tout calcul, écris les parenthèses partout : \begin{aligned}f(-x) &= 3(-x)^2-5(-x) \\ &= 3x^2+5x\end{aligned} et compare seulement ensuite.
⚠️ \sqrt{x^2} ne vaut pas x
Il vaut |x|. Vérifie avec x=-3 : \begin{aligned}\sqrt{(-3)^2} &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned} et non -3. C'est la même idée que le retour bloqué de la partie III : la racine ne rend jamais un résultat négatif, elle ne peut donc pas « défaire » complètement le carré.
⚠️ Une inéquation avec \geqslant ne donne pas un intervalle
x^2\geqslant4 ne donne pas x\geqslant2 tout court : x=-10 convient aussi. La réponse est S=\left]-\infty\,;-2\right]\cup\left[2\,;+\infty\right[. Le réflexe : dès qu'on remonte du carré vers x, on se demande si les négatifs conviennent.
👆 ▶ À toi : résous x^2<5, puis |x|\geqslant 5. Vérifie
x^2<5 Comme 5>0, on revient vers x des deux côtés : -\sqrt{5}<x<\sqrt{5}, donc {S=\left]-\sqrt{5}\,;\sqrt{5}\right[} (soit à peu près ]-2{,}24\,;2{,}24[). Un seul intervalle, ouvert parce que l'inégalité est stricte.
|x|\geqslant 5 La distance de x à zéro vaut au moins 5 : on est loin de l'origine, d'un côté ou de l'autre. Donc x\leqslant-5 ou x\geqslant5, soit {S=\left]-\infty\,;-5\right]\cup\left[5\,;+\infty\right[}.
|x|\geqslant 5 La distance de x à zéro vaut au moins 5 : on est loin de l'origine, d'un côté ou de l'autre. Donc x\leqslant-5 ou x\geqslant5, soit {S=\left]-\infty\,;-5\right]\cup\left[5\,;+\infty\right[}.
IX. Pour aller plus loin : fonctions paires et impaires
🚪 Hors programme cette année, tu le verras en première
La parité a été retirée du programme de seconde par le texte de 2026 : elle n'est pas exigible au contrôle. Mais elle n'a pas disparu du lycée, elle est descendue d'un cran : elle devient un contenu de première spécialité (« représentation algébrique et graphique de fonctions paires, impaires »). Ce qui suit est donc un bonus : à lire si tu veux prendre de l'avance, à ignorer sans remords sinon.
▶ 🎁 Ouvrir le bonus « paire ou impaire ? » (hors programme de seconde)
Deux symétries, deux tests.
Astuce de repérage : si toutes les puissances de x sont paires (une constante compte comme puissance 0), la fonction est paire ; si elles sont toutes impaires, elle est impaire ; si c'est un mélange, elle n'est ni l'une ni l'autre. Ainsi f(x)=x^2+x n'est ni paire ni impaire : f(1)=2 et f(-1)=0, ni égaux ni opposés.
- f est paire si f(-x)=f(x) pour tout x : courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Exemples de cette fiche : le carré et la valeur absolue.
- f est impaire si f(-x)=-f(x) pour tout x : courbe symétrique par rapport à l'origine. Exemples : le cube et l'inverse.
- La fonction racine carrée n'est ni l'une ni l'autre : elle n'est même pas définie en -x quand x>0.
Astuce de repérage : si toutes les puissances de x sont paires (une constante compte comme puissance 0), la fonction est paire ; si elles sont toutes impaires, elle est impaire ; si c'est un mélange, elle n'est ni l'une ni l'autre. Ainsi f(x)=x^2+x n'est ni paire ni impaire : f(1)=2 et f(-1)=0, ni égaux ni opposés.
🎮 Entraîne-toi (bonus) : paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
Regarde les puissances de x : toutes paires, toutes impaires, ou mélange.