Fiche de cours : Fractions
Règles de calcul et simplifications
I. Fractions : rappels
- \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} = \dfrac{ad+bc}{bd}
- \dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}
- \dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}
Remarque : On ne simplifie jamais une somme terme à terme : \dfrac{a+b}{a} \neq b (sauf cas particuliers).
Ces trois formules ne sont pas des conventions arbitraires : chacune se voit. Les cinq ateliers de cette fiche sont là pour ça, et ils se manipulent au doigt comme à la souris.
Le point de départ : le bas découpe, le haut prélève
Autrement dit : \dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}.
II. Fractions égales : amplifier, simplifier
\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}.
Multiplier le haut et le bas par le même nombre ne change pas la valeur. L'atelier ci-dessous montre pourquoi : on coupe chaque part en k, donc il y a k fois plus de parts, mais on en prend k fois plus. Les deux effets se compensent, et la longueur coloriée ne bouge pas.
III. Additionner : passer au même dénominateur
\begin{aligned}\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} &= \dfrac{a\times d}{b\times d}+\dfrac{c\times b}{d\times b} \\ &= \dfrac{ad+cb}{bd}\end{aligned}
Suis les trois étapes de l'atelier : regarder que les parts n'ont pas la même taille, redécouper les deux barres pareil, puis seulement compter.
La bonne réponse est \dfrac36+\dfrac26 = \dfrac56.
Remarque : le dénominateur ne s'additionne jamais parce qu'il n'est pas une quantité, c'est un nom de part. « 3 sixièmes + 2 sixièmes = 5 sixièmes », exactement comme « 3 pommes + 2 pommes = 5 pommes ».
👆 ▶ À toi : calcule \dfrac56-\dfrac34, puis vérifie
Étape 2 : on réécrit. \dfrac56 = \dfrac{10}{12} et \dfrac34 = \dfrac{9}{12}.
Étape 3 : on soustrait les numérateurs. \dfrac{10}{12}-\dfrac{9}{12} = \dfrac{1}{12}.
IV. Multiplier : le rectangle qui montre tout
Le carré vaut 1. On le coupe verticalement en b colonnes (on en garde a), puis horizontalement en d lignes (on en garde c). Les deux découpes fabriquent b\times d petits rectangles identiques, et la zone commune en contient a\times c. La formule est écrite sur le dessin.
Remarque : on simplifie avant de multiplier, jamais après : \dfrac{7}{12}\times\dfrac{9}{14} = \dfrac{7\times9}{12\times14}, et on barre 7 avec 14 puis 9 avec 12 avant tout calcul : il reste \dfrac{1\times3}{4\times2}=\dfrac38.
V. Diviser : combien de fois ça tient dedans ?
\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c} : diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.
Diviser A par B, c'est demander combien de fois B tient dans A. L'atelier pose les morceaux bout à bout et les compte : le nombre trouvé est le quotient.
En général, dans une unité il y a \dfrac{d}{c} morceaux de \dfrac{c}{d} : c'est exactement ce facteur \dfrac{d}{c} qui apparaît dans la règle.
Remarque : une fraction de fractions se lit de la même façon : \begin{aligned}\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} &= \dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d} \\ &= \dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}\end{aligned} La grande barre est la division principale : c'est elle qu'on écrit plus longue que les autres.
VI. Comparer des fractions
VII. Produit en croix
\begin{aligned}\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} &\iff a\times d = b\times c \end{aligned} (produit en croix).
Remarque : c'est la partie II relue à l'envers. Deux fractions sont égales exactement quand l'une s'obtient de l'autre en multipliant haut et bas par le même nombre ; le produit en croix est le test qui le vérifie sans avoir à trouver ce nombre.
| \dfrac{x}{4}=\dfrac{3}{2} | \iff 2x=12 |
| \iff x=6. |
VIII. Fractions littérales
Pourquoi ? Parce qu'on ne peut jamais diviser par 0 : il ne faut donc pas qu'on puisse remplacer x par une valeur qui rendrait le dénominateur nul.
IX. Simplifier un quotient de fonctions
| \dfrac{x^2-9}{x^2-3x} | = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)} |
| = \dfrac{x+3}{x}. |
X. Bilan : choisir la bonne technique
Remarque : Face à une expression fractionnaire : réduire au même dénominateur avant d'additionner/soustraire, et penser au produit en croix pour résoudre une égalité de fractions.
| Ce que je vois | Ce que je fais | L'image à avoir en tête |
|---|---|---|
| + ou - | même dénominateur d'abord, puis j'additionne les numérateurs seulement | deux barres redécoupées pareil |
| \times | je simplifie en croix, puis haut × haut et bas × bas | le rectangle coupé dans les deux sens |
| \div ou une grande barre | je multiplie par l'inverse | « combien de fois ça tient dedans ? » |
| une égalité de deux fractions | produit en croix | deux écritures du même nombre |
| une variable au dénominateur | je pose les valeurs interdites avant tout | on ne divise jamais par 0 |
XI. Pour aller plus loin...
Remarque : Notions complémentaires, presque hors programme de 2nde.
Simplifier une fraction (PGCD)
| \dfrac{36}{48} | =\dfrac{12\times3}{12\times4} |
| =\dfrac34. |
Remarque : on retrouve l'atelier de la partie II, lu de bas en haut. Simplifier par le PGCD, c'est faire d'un seul coup toutes les simplifications possibles : c'est ce qui garantit que la fraction obtenue est irréductible.