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A.1Donner la puissance électrique des panneaux à 11 h 00 (lecture graphique).

Avec la précision permise par le graphique, on lit une puissance d'environ 5,75 kW à 11 h.

A.2Résoudre graphiquement f(x) \geq 5 et interpréter.

Graphiquement, f(x)\geq5 pour x\in[10{,}5\,;\,15{,}5] environ : la puissance des panneaux dépasse 5 kW entre environ 10 h 30 et 15 h 30, soit pendant environ 5 heures dans la journée.

B.1Déterminer la nature de la suite (c_{n}) et préciser sa raison.

Chaque année, le tarif est multiplié par 1{,}06 (hausse de 6 %) : (c_n) est géométrique de raison q=1{,}06, de premier terme c_0=0{,}15.

B.2Exprimer c_{n} en fonction de n.

(c_n) étant géométrique : \begin{aligned}c_n &= c_0\times q^{n} \\ &= 0{,}15\times1{,}06^{n}\end{aligned}.

B.3Donner le calcul permettant d'obtenir le coût en 2030.

2030 correspond à 2020+10, soit n=10 : le coût pour 1 kWh en 2030 est c_{10} = 0{,}15\times1{,}06^{10} (calcul non demandé).

B.4.aQue représentent les variables c et S du programme Python ?

c représente le coût (en euros) d'un kWh pour l'année considérée. S représente l'économie totale cumulée (en euros) depuis 2020 : à chaque tour de boucle, on ajoute l'économie de l'année (2000 kWh non achetés, au prix c), puis on met à jour l'année et le prix.

B.4.bLe programme affiche 16. Interpréter ce résultat.

Il faut 16 années pour que l'économie cumulée dépasse 7 000 €, le coût de l'installation : selon ce modèle, l'investissement de Camille est rentabilisé en 2020+16=2036.

PartieA ; 1. D'après le graphique (courbe de d, la distance parcourue par un chariot en zone de freinage), au bout de combien de temps le chariot a-t-il parcouru 15 m ?

Par lecture graphique, d(2)\approx15 : le chariot a parcouru 15 m au bout de 2 secondes.

PartieA ; 2. Quelle longueur minimale prévoir pour la zone de freinage ?

L'asymptote horizontale \Delta de la courbe est proche de y=23 : une zone de 23 mètres semble suffisante.

PartieA ; 3. Que vaut d'(4,7) ? Interpréter.

Le coefficient directeur de la tangente T (passant par (0~;~16{,}5) et (4{,}7~;~21)) vaut \dfrac{21-16{,}5}{4{,}7} \approx 0{,}96 : d'(4{,}7)\approx0{,}96 m/s, c'est la vitesse instantanée du chariot à t=4{,}7 s.

PartieB ; 1.a On modélise la vitesse v, solution de (E) : y' + 0,6y = e^{-0,6t}, avec v(0)=12. Résoudre (E') : y' + 0,6y = 0.

Les solutions de (E') sont les fonctions t\longmapsto Ke^{-0,6t}, avec K\in\mathbb{R}.

PartieB ; 1.b Soit g(t) = te^{-0,6t}. Vérifier que g est solution de (E).

g'(t) = e^{-0,6t}-0{,}6te^{-0,6t} = e^{-0,6t}(1-0{,}6t).
g'(t)+0{,}6g(t) = e^{-0,6t}(1-0{,}6t)+0{,}6te^{-0,6t} = e^{-0,6t}(1-0{,}6t+0{,}6t) = e^{-0,6t}.
g est bien solution de (E).

PartieB ; 1.c En déduire les solutions de (E) sur [0 ; +\infty[.

Les solutions de (E) sont les fonctions t\longmapsto e^{-0,6t}(t+K), avec K\in\mathbb{R}.

PartieB ; 1.d En déduire que v(t) = (12 + t)e^{-0,6t}.

v est de cette forme et vérifie v(0)=12 : \begin{aligned}e^{0}(0+K) = 12 &\iff K = 12 \end{aligned} donc v(t)=(12+t)e^{-0,6t}.

PartieB ; 2.a Montrer que v'(t) = (-6,2 - 0,6t)e^{-0,6t}.

v vérifie (E) : v'(t)+0{,}6v(t)=e^{-0,6t}, donc v'(t) = e^{-0,6t}-0{,}6(12+t)e^{-0,6t} = e^{-0,6t}(1-7{,}2-0{,}6t) = e^{-0,6t}(-6{,}2-0{,}6t).

PartieB ; 2.b En admettant que v(t) = 12e^{-0,6t} + t/e^{0,6t}, déterminer la limite de v en +\infty.

\lim\limits_{t\to+\infty}12e^{-0,6t}=0, et par croissances comparées \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{t}{e^{0,6t}}=0 : par somme, \lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=0 (le chariot finit par s'arrêter).

PartieB ; 2.c Étudier le sens de variation de v sur [0 ; +\infty[ et dresser son tableau de variation.

e^{-0,6t}>0 pour tout t, donc v'(t) est du signe de -6{,}2-0{,}6t, qui est strictement négatif pour tout t\geqslant0.
v est donc strictement décroissante sur [0~;~+\infty[, de v(0)=12 vers 0.

PartieB ; 2.d Montrer que l'équation v(t) = 1 admet une unique solution \alpha, avec une valeur approchée au dixième.

v est continue (dérivable) et strictement décroissante sur [0~;~+\infty[, de 12 à 0 ; comme 1\in\,]0~;~12], d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation v(t)=1 admet une unique solution \alpha.
À la calculatrice : v(4)\approx1{,}5, v(5)\approx0{,}85 (donc {4<\alpha<5}) ; v(4{,}6)\approx1{,}05, v(4{,}7)\approx0{,}995 : \alpha\approx4{,}7.

PartieB ; 3. Déterminer, en justifiant, au bout de combien de temps le système d'arrêt se déclenche (vitesse \leq 1 m/s).

D'après la question précédente, v(t)=1 pour \begin{aligned}t &= \alpha \\ &\approx 4{,}7\end{aligned} s, et v étant décroissante, v(t)\leqslant1 pour t\geqslant\alpha : le système se déclenche au bout d'environ 4,7 secondes.

PartieC ; 1. On admet que d(t) = ∫₀ᵗ v(x) dx. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que d(t) = e^{-0,6t}(-(\dfrac{5}{3})t - \dfrac{205}{9}) + \dfrac{205}{9}.

On pose u(x)=12+x et v'(x)=e^{-0,6x} (donc u'(x)=1 et v(x)=-\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x}).
\begin{aligned}\displaystyle d(t) &= \left[-(12+x)\times\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x}\right]_0^t + \displaystyle\int\limits_0^t\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x}\,\mathrm{d}x \\ &= \left[-(12+x)\times\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x} - \dfrac{1}{0,36}e^{-0,6x}\right]_0^t\end{aligned}
En simplifiant (\frac{1}{0,6}=\frac53 et \frac{1}{0,36}=\frac{25}{9}) : d(t) = e^{-0,6t}\left(-\dfrac53t-\dfrac{205}{9}\right)+\dfrac{205}{9}.

PartieC ; 2. Déterminer, au centième près, la distance parcourue par le chariot avant le déclenchement du dispositif d'arrêt.

Le dispositif se déclenche à t\approx4{,}7 s : d(4{,}7) = e^{-0,6\times4,7}\left(-\dfrac53\times4{,}7-\dfrac{205}{9}\right)+\dfrac{205}{9} \approx 20,95 m.

Partie1 ; 1. Olivier veut faire installer des panneaux solaires chez lui. Pourquoi souhaite-t-il investir dans une telle installation ?

Le prix de l'électricité ayant augmenté, Olivier souhaite installer des panneaux solaires afin de produire sa propre électricité et ainsi réduire ses factures.

Partie1 ; 2. Un premier commerçant propose un tarif proportionnel à la puissance de l'installation : 3 kW pour 500 000 F CFP, 6 kW pour 1 000 000 F CFP, 9 kW pour 1 500 000 F CFP et 36 kW pour 6 000 000 F CFP. Calculer le coefficient de proportionnalité, arrondi à l'unité.

Partie1 ; 3. Représenter, dans un repère, le coût de l'installation en fonction de la puissance, pour ce premier commerçant.

Il s'agit de placer les quatre points de coordonnées (3~;~500\,000), (6~;~1\,000\,000), (9~;~1\,500\,000) et (36~;~6\,000\,000), l'axe des abscisses portant la puissance (en kW) et l'axe des ordonnées le coût (en F CFP). Ces quatre points sont alignés avec l'origine du repère, ce qui traduit la situation de proportionnalité.

Partie2 ; 4. Un deuxième commerçant facture 140 000 F CFP par kW installé, plus 100 000 F CFP de pose. En notant x le nombre de kW installés, laquelle des trois expressions 100\,000x+140\,000, 140\,000x+100\,000 ou 240\,000x donne le coût total ?

Le prix dépend du nombre de kW x à raison de 140 000 F CFP chacun, auquel s'ajoutent 100 000 F CFP fixes pour la pose : c'est donc l'expression 140\,000x + 100\,000 qui donne le coût total.

Partie2 ; 5. Calculer, avec ce deuxième commerçant, le coût total d'une installation de 6 kW avec la pose.

Partie3 ; 6. Un troisième commerçant présente un devis à compléter : onduleur 150 000 F CFP (1 unité, 450 000 F CFP de panneaux photovoltaïques pour 18 unités), support métallique 15 000 F CFP l'unité (18 unités, 270 000 F CFP), câbles à 10 000 F CFP l'unité (montant 50 000 F CFP), pose 140 000 F CFP, CONSUEL 25 000 F CFP, remise de 10 % et prix à payer de 976 500 F CFP. Compléter les cases manquantes (prix unitaire des panneaux, quantité de câbles, total, remise).

Partie3 ; 7. En comparant les trois devis (1 000 000 F CFP, 980 000 F CFP et 976 500 F CFP pour 6 kW), quel commerçant Olivier devrait-il choisir pour payer le moins cher ?

Le premier commerçant demande 1 000 000 F CFP, le deuxième 980 000 F CFP et le troisième 976 500 F CFP. Comme 976\,500 < 980\,000 < 1\,000\,000, c'est le troisième commerçant qui propose le devis le moins cher : Olivier devrait donc choisir cette offre.

1.Un graphique donne la puissance produite (en W) par l'installation d'Olivier au cours d'une journée. Sur quel intervalle horaire peut-on observer une production d'électricité par les panneaux ?

La courbe n'est non nulle qu'entre les deux graduations où elle décolle de l'axe et y revient : la production est observée de 5 h à 18 h.

2.aLire graphiquement la puissance produite à 7 h.

En lisant l'ordonnée du point de la courbe correspondant à l'abscisse 7 h, on trouve une puissance d'environ 1 600 W.

2.bLire graphiquement la puissance produite à 16 h 30.

En lisant l'ordonnée du point de la courbe correspondant à l'abscisse 16 h 30, on trouve une puissance d'environ 1 000 W.

3.À partir de quelle heure la puissance produite dépasse-t-elle 4 600 W ?

En cherchant sur le graphique les instants où la courbe franchit l'horizontale de niveau 4 600 W, on lit que la puissance dépasse 4 600 W entre 10 h et 13 h environ.

4.Lire graphiquement la puissance maximale atteinte, et l'intervalle de temps durant lequel cette puissance maximale est atteinte.

Le sommet de la courbe correspond à une puissance maximale d'environ 5 000 W, atteinte entre 11 h et 12 h environ.

5.La courbe présente un creux marqué en milieu de journée. Donner la durée de ce passage nuageux.

Le creux se situe environ entre 13 h et 14 h 30 : le passage nuageux dure donc environ 1 h 30 min.

1.Si on multiplie la longueur de chaque arête d'un cube par 3, par quel nombre le volume est-il multiplié ?

Un cube d'arête a a pour volume V=a^3. Avec une arête 3a, le volume devient \begin{aligned}(3a)^3 &= 3^3\times a^3 \\ &= 27\times a^3\end{aligned} Le volume est multiplié par 27.

2.Lorsque x=-4, que vaut x^2+3x+4 ?

(-4)^2+3\times(-4)+4 = 16-12+4 = 8.

3.Calculer \dfrac13+\dfrac14.

En réduisant au même dénominateur 12 : \begin{aligned}\dfrac13+\dfrac14 &= \dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12} \\ &= \dfrac{7}{12}\end{aligned}

4.Donner la notation scientifique de 1 500 000 000.

1\,500\,000\,000 = 1{,}5\times10^9.

5.Développer (x-2)\times(x+2).

Identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 avec a=x et b=2 : (x-2)(x+2) = x^2-4.