Partie A
Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ;+\infty[ dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative \mathcal{C}_f dans un repère orthogonal.
On note f' sa fonction dérivée.
On précise que:
- la courbe \mathcal{C}_f admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse 1;
- la tangente T_{\mathrm{A}} à la courbe \mathcal{C}_f au point A\left(\dfrac{1}{2} ; 0 \right) passe par le point B\left(1 ; \e^{2}\right).
- À l'aide du graphique ci-contre :
- Donner f'(1).
- Donner la solution de l'équation f(x)=0 sur l'intervalle [0~;~3].
- Déterminer f'\left(\dfrac{1}{2}\right).
- Parmi les trois courbes \mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2} et \mathcal{C}_{3} ci-dessous, deux représentent des primitives de la fonction f.
Indiquer lesquelles et justifier.
Partie B
Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-contre (Fig. 1).
La dimension de 0,3 \text{cm} indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client.
L'industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l'aide d'une portion de la courbe de la fonction f vue en partie A, et de l'image de cette portion par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, sur un intervalle [0,5 ; \alpha].
Le nombre \alpha est un réel supérieur à 1 que l'on déterminera dans cette partie.
L'ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig. 2) d'unité 1 cm.
On admet que la fonction f est définie sur l'intervalle [0 ;+\infty[ par : f(x)=(2 x-1) \e^{-2 x+3}.
- Vérifier que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0 ;+\infty[ :
f(x)=\e^{2} \times \dfrac{2 x-1}{\e^{2 x-1}}. - En déduire la limite de f en +\infty.
(On pourra poser X = 2x-1).
- Vérifier que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0 ;+\infty[ :
- Montrer que,
pour tout x de l'intervalle [0 ; +\infty[, f'(x)=(-4 x+4) \e^{-2 x+3}. - Construire le tableau complet des variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ;+\infty[.
- Montrer que,
- Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l'égalité
f(\alpha)=0,15.
Montrer qu'il existe une unique valeur de \alpha dans l'intervalle [1 ;+\infty[ qui permette de vérifier cette égalité.
En donner une valeur arrondie au dixième.
Partie C
On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d'acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la partie B.
On précise que cette plaque a une épaisseur de 0,2 \text{cm}.
- On considère :
I=\int_{0,5}^{3,3} f(x)\quad \mathrm{d} x
À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale I arrondie au dixième est égale à 3,6. - On précise que le volume du porte-clé est égal à :Aire du logo \times épaisseur de la plaque
Déterminer le volume du porte-clé en \mathrm{cm}^{3}, arrondi au dixième.
Voir la correction
A.1.aÀ l'aide du graphique, donner f'(1) (la courbe admet une tangente horizontale au point C d'abscisse 1).
La tangente en C (abscisse 1) est parallèle à l'axe des abscisses, donc de coefficient directeur nul : f'(1) = 0.
A.1.bDonner la solution de l'équation f(x) = 0 sur [0 ; 3] (la courbe coupe l'axe des abscisses au point A d'abscisse \dfrac{1}{2}).
La courbe ne coupe l'axe des abscisses qu'au point A, d'abscisse \dfrac{1}{2} : la solution de f(x)=0 sur [0;3] est \dfrac{1}{2}.
A.2Déterminer f'(\dfrac{1}{2}) (la tangente en A(\dfrac{1}{2} ; 0) passe par B(1 ; e^{2})).
f'\left(\dfrac{1}{2}\right) est le coefficient directeur de la tangente en A, c'est-à-dire de la droite (AB) :
\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{e^{2} - 0}{1 - \frac{1}{2}} = 2e^{2}.
A.3Parmi les courbes C1, C2 et C3, indiquer lesquelles représentent des primitives de f.
Deux primitives d'une même fonction diffèrent uniquement d'une constante : leurs courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale.
C'est le cas de \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2, qui ont la même forme décalée verticalement.
\mathcal{C}_3 est décroissante là où f est positive (autour de x = 0,5 à 0,7), ce qui est incompatible avec une primitive de f à cet endroit.
Les courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 représentent des primitives de f.
B.1.aVérifier que, pour tout x de [0 ; +\infty[, f(x) = e^{2} \times (2x-1)/e^{2x-1} (avec f(x) = (2x-1)e^{-2x+3}).
On remarque que -2x+3 = -(2x-1)+2, donc e^{-2x+3} = e^{-(2x-1)} \times e^{2}.
\begin{aligned}f(x) &= (2x-1) \times e^{-(2x-1)} \times e^{2} \\ &= e^{2} \times \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}}\end{aligned}
B.1.bEn déduire la limite de f en +\infty (on pourra poser X = 2x-1).
Quand x \to +\infty, X = 2x-1 \to +\infty, et par croissances comparées \dfrac{X}{e^{X}} \to 0.
Donc \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}} \to 0, puis f(x) = e^{2} \times \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}} \to 0.
B.2.aMontrer que, pour tout x de [0 ; +\infty[, f'(x) = (-4x+4)e^{-2x+3}.
En dérivant le produit f(x) = (2x-1)e^{-2x+3} :
f'(x) = 2 \times e^{-2x+3} + (2x-1) \times (-2)e^{-2x+3} = \left(2 - 2(2x-1)\right)e^{-2x+3} = (2-4x+2)e^{-2x+3} = (-4x+4)e^{-2x+3}.
B.2.bConstruire le tableau complet des variations de f sur [0 ; +\infty[.
L'exponentielle étant toujours strictement positive, f'(x) est du signe de (-4x+4), positif avant x=1 et négatif après.
f est donc croissante sur [0;1] puis décroissante sur [1;+\infty[.
\begin{aligned}f(0) &= (0-1)e^{3} \\ &= -e^{3}\end{aligned} et \begin{aligned}f(1) &= (2-1)e^{1} \\ &= e\end{aligned}
Tableau : f croît de -e^{3} à e sur [0;1], puis décroît de e vers 0 (sans l'atteindre) sur [1;+\infty[.
B.3Justifier que la contrainte du client se traduit par f(\alpha) = 0,15, puis montrer qu'il existe une unique valeur de \alpha dans [1 ; +\infty[ vérifiant cette égalité. En donner une valeur arrondie au dixième.
Le point (\alpha ; f(\alpha)) et son symétrique (\alpha ; -f(\alpha)) par rapport à l'axe des abscisses sont distants verticalement de 2f(\alpha).
Cette distance doit valoir 0,3 cm : \begin{aligned}2f(\alpha) &= 0{,}3 \\ &\Leftrightarrow f(\alpha) = 0{,}15\end{aligned}
Sur [1 ; +\infty[, f est continue et strictement décroissante, de \begin{aligned}f(1) &= e \\ &\approx 2{,}7\end{aligned} vers 0 (sans l'atteindre).
Comme {0 < 0{,}15 < e}, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation f(x) = 0,15 admet une unique solution \alpha dans [1 ; +\infty[.
À la calculatrice, on trouve \alpha \approx 3{,}3.
C.1À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale I de f entre 0,5 et 3,3 est, arrondie au dixième, égale à 3,6.
On pose u(x) = 2x-1 et v'(x) = e^{-2x+3}, donc u'(x) = 2 et v(x) = -\dfrac{1}{2}e^{-2x+3}.
\displaystyle I = \left[u(x)v(x)\right]_{0,5}^{3,3} - \int\limits_{0,5}^{3,3} u'(x)v(x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{2}(2x-1)e^{-2x+3}\right]_{0,5}^{3,3} + \int\limits_{0,5}^{3,3} e^{-2x+3}\,dx
Le crochet vaut -\dfrac{1}{2}\left(5{,}6e^{-3,6} - 0\right) = -2{,}8e^{-3,6}.
L'intégrale restante vaut \left[-\dfrac{1}{2}e^{-2x+3}\right]_{0,5}^{3,3} = -\dfrac{1}{2}e^{-3,6} + \dfrac{1}{2}e^{2}.
I = -2{,}8e^{-3,6} - 0{,}5e^{-3,6} + 0{,}5e^{2} = 0{,}5e^{2} - 3{,}3e^{-3,6} \approx 3,6.
C.2Déterminer le volume du porte-clé en cm^{3}, arrondi au dixième (volume = aire du logo \times épaisseur de 0,2 cm).
Le logo est symétrique par rapport à l'axe des abscisses : son aire est le double de l'aire sous la courbe de f entre 0,5 et 3,3, c'est-à-dire \begin{aligned}2I &\approx 2 \times 3{,}6 \\ &= 7{,}2\end{aligned} cm^{2}.
Volume \approx 7{,}2 \times 0{,}2 = 1,4 cm^{3}.