Automatismes : Bac 1ère : spécialité

Q1.D'après l'arbre de probabilités (P(A)=0,4, P_A(B)=0,3, {P(\text{non }A)=0,6}, P_{\text{non }A}(B)=0,1), calculer P(B).

D'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(B) &= P(A)\times P_A(B) + P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \\ &= 0{,}4\times0{,}3+0{,}6\times0{,}1 \\ &= 0{,}12+0{,}06 \\ &= 0{,}18\end{aligned} Réponse A.

Q2.Une tablette coûte 200 €. Son prix diminue de 30 %. Quel est le nouveau prix ?

Diminuer de 30 % revient à multiplier par 1-\dfrac{30}{100}=0{,}7 : 200\times0{,}7= 140 €. Réponse A.

Q3.Une réduction de 50 % suivie d'une augmentation de 50 % équivaut à quoi ?

Cela revient à multiplier par \begin{aligned}0{,}5\times1{,}5 &= 0{,}75 \\ &= 1-\dfrac{25}{100}\end{aligned} soit une réduction de 25 %. Réponse B.

Q4.Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, et parmi eux la moitié sont des filles. Quelle proportion de filles internes cela représente-t-il ?

\begin{aligned}\dfrac12\times\dfrac14 &= \dfrac18 \\ &= \dfrac{12{,}5}{100}\end{aligned} Réponse B.

Q5.On considère N = 10^{7} / 5^{2}. Que vaut N ?

\begin{aligned}N &= \dfrac{10^{7}}{5^{2}} \\ &= \dfrac{10^{2}\times10^{5}}{5^{2}} \\ &= \left(\dfrac{10}{5}\right)^{2}\times10^{5} \\ &= 2^{2}\times10^{5} \\ &= 4\times10^{5}\end{aligned} Réponse D.

Q6.Un appareil a besoin de 7,5\times10^{6} J pour démarrer. À combien de kWh cela correspond-il, sachant que 1 kWh = 3,6\times10^{6} J ?

1 kWh correspond à 3{,}6\times10^{6} J, donc 2 kWh correspondent à 7{,}2\times10^{6} J : 7{,}5\times10^{6} J correspond donc à un peu plus de 2 kWh. Réponse B.

Q7.On note d la droite passant par A(0 ; -1) et B(2 ; 5). Quel est son coefficient directeur ?

\begin{aligned}\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} &= \dfrac{5-(-1)}{2-0} \\ &= \dfrac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned} Réponse C.

Q8.D'après le graphique (droite D de coefficient directeur négatif, passant par l'origine), quelle équation convient ?

A. 2x-y=0 équivaut à {y=2x} : coefficient directeur positif, à éliminer.
B. 2x+y+1=0 équivaut à {y=-2x-1} : ne passe pas par l'origine, à éliminer.
D. y=2x-1 : ne passe pas par l'origine, à éliminer.
C. \begin{aligned}y &= x^{2}-(x+1)^{2}+1 \\ &= x^{2}-x^{2}-2x-1+1 \\ &= -2x\end{aligned} Coefficient directeur négatif et passe par l'origine, convient.
Réponse C.

Q9.On note S l'ensemble des solutions de x^{2} = 10 sur \mathbb{R}. Que vaut S ?

L'équation admet deux solutions, -\sqrt{10} et \sqrt{10}. Réponse C.

Q10.La fonction f définie par f(x) = (3x - 15)(x + 2) admet quel tableau de signes ?

3x-15 s'annule et change de signe en x=5 ; x+2 s'annule et change de signe en x=-2.
Sur ]-\infty~;~-2[ : les deux facteurs sont négatifs, f(x)>0. Sur {]-2~;~5[} : 3x-15 négatif et x+2 positif, f(x)<0. Sur ]5~;~+\infty[ : les deux facteurs sont positifs, f(x)>0.
Réponse A.

Q11.Développer (2x + 0,5)^{2}.

\begin{aligned}(2x+0{,}5)^{2} &= (2x)^{2}+2\times2x\times0{,}5+0{,}5^{2} \\ &= 4x^{2}+2x+0{,}25\end{aligned} Réponse C.

Q12.Un point mobile a une accélération centripète a = v^{2}/R. Quelle expression donne v ?

a=\dfrac{v^{2}}{R} équivaut à aR=v^{2}, donc v=\sqrt{aR} (la vitesse est positive). Réponse B.

Q1.Calculer l'inverse du double de 5.

Le double de 5 est 10, son inverse est \dfrac{1}{10}. Réponse B.

Q2.Calculer F = a + b/(cd) pour a=\dfrac{1}{2}, b=3, c=4, d=-\dfrac{1}{4}.

\begin{aligned}cd &= 4\times\left(-\dfrac14\right) \\ &= -1\end{aligned} donc \begin{aligned}\dfrac{b}{cd} &= \dfrac{3}{-1} \\ &= -3\end{aligned} \begin{aligned}F &= \dfrac12+(-3) \\ &= \dfrac12-\dfrac62 \\ &= -\dfrac52\end{aligned} Réponse A.

Q3.Le prix d'un article est multiplié par 0,975. Quelle évolution cela représente-t-il ?

\begin{aligned}0{,}975 &= 1-0{,}025 \\ &= 1-\dfrac{2{,}5}{100}\end{aligned} C'est une baisse de 2,5 %. Réponse A.

Q4.Un prix P augmente de 10 % puis baisse de 10 %, donnant P_{1}. Que peut-on affirmer ?

Le coefficient global est {1{,}1\times0{,}9 = 0{,}99 < 1}, donc P_1 < P (avec P\neq0). Réponse C.

Q5.D'après le tableau des probabilités d'un dé à 4 faces (0,5 ; \dfrac{1}{6} ; 0,2 ; x), déterminer x.

La somme des probabilités vaut 1 : \begin{aligned}0{,}5+\dfrac16+0{,}2+x = 1 &\iff \dfrac{26}{30}+x = 1 \\ &\iff x = \dfrac{4}{30} \\ &\iff x = \dfrac{2}{15}\end{aligned} Réponse A.

Q6.Pour x, y, u réels non nuls tels que 1/x + 1/y = 1/u, exprimer u.

\begin{aligned}\dfrac1x+\dfrac1y = \dfrac1u &\iff \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac1u \\ &\iff u = \dfrac{xy}{x+y} \end{aligned} Réponse A.

Q7.Résoudre x^{2} \geq 10 sur \mathbb{R}.

\begin{aligned}x^{2} \geq 10 &\iff x \leq -\sqrt{10} \end{aligned} ou x\geq\sqrt{10} (la courbe y=x^2 est au-dessus de la droite y=10 à l'extérieur de cet intervalle). Réponse B.

Q8.D'après le graphique, donner une équation de la droite D passant par (0;2) et (3;0).

\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}-1=0 est vérifiée par les deux points : pour (0;2), {0+1-1=0} ; pour (3;0), 1+0-1=0. Réponse D.

Q9.Parmi f_{1}(x)=x^{2}-(1-x)^{2}, f_{2}(x)=\dfrac{x}{2}-(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}), f_{3}(x)=\dfrac{5-\frac{2x}{3}}{0{,}7}, lesquelles sont affines ?

\begin{aligned}f_1(x) &= x^2-(1-2x+x^2) \\ &= 2x-1\end{aligned} : affine.
f_2(x) est déjà de la forme ax+b avec a=\frac12 : affine.
f_3(x) = -\dfrac{2}{3\times0{,}7}x+\dfrac{5}{0{,}7} est de la forme ax+b : affine.
Les trois fonctions sont affines. Réponse B.

Q10.D'après le graphique, quelle fonction correspond à la parabole P ?

Le point de la courbe d'abscisse 0 a une ordonnée strictement positive : seule x\mapsto-x^{2}+10 vérifie cela parmi les propositions. Réponse C.

Q11.D'après le graphique, l'inéquation x \times f(x) > 0 est vérifiée par quels points ?

x_A<0 et f(x_A)<0, donc {x_A\times f(x_A)>0} : solution.
x_B<0 et f(x_B)>0, donc produit négatif : pas solution.
x_R>0 et f(x_R)>0, donc produit positif : solution.
x_S>0 et f(x_S)<0, donc produit négatif : pas solution.
x_A et x_R sont solutions. Réponse B.

Q12.Une série a les notes 10, 8, 16 de coefficients 1, 2, x. Pour quelle valeur de x a-t-on une moyenne de 15 ?

Il y a (x+3) notes au total ; pour une moyenne de 15, la somme des notes doit valoir {15(x+3) = 15x+45}.
Or la somme réelle des notes est 10\times1+8\times2+16\times x = 16x+26.
\begin{aligned}16x+26 = 15x+45 &\iff x = 19 \end{aligned} Réponse D.

Q1.Développer (3x - 2)^{2}.

\begin{aligned}(3x-2)^{2} &= (3x)^{2}-2\times3x\times2+2^{2} \\ &= 9x^{2}-12x+4\end{aligned} Réponse C.

Q2.D'après le graphique, donner l'équation réduite de la droite (\Delta) passant par (0;2) et (2;0).

Ordonnée à l'origine 2, coefficient directeur \dfrac{0-2}{2-0}=-1 : y=-x+2. Réponse C.

Q3.75 % des élèves étudient le grec, les 9 autres le latin. Quel est l'effectif de la classe ?

25 % (soit \frac14) des élèves étudient le latin, donc l'effectif total est 9\times4=36. Réponse D.

Q4.Un prix augmente de 15 %. Par quel coefficient a-t-il été multiplié ?

Augmenter de 15 % revient à multiplier par \dfrac{100+15}{100}=1{,}15. Réponse B.

Q5.Donner la valeur la plus proche de \dfrac{150000}{3200}.

3\,200\approx3\,000, donc \begin{aligned}\dfrac{150\,000}{3\,200} &\approx \dfrac{150}{3} \\ &= 50\end{aligned} Réponse B.

Q6.Une vidéo de 1 min 40 s contient 2 400 images. Combien d'images par seconde ?

1 min 40 s = 100 s, donc \dfrac{2\,400}{100}=24 images/seconde. Réponse B.

Q7.Un seul point appartient à la courbe de f(x) = 0,5(x - 3)^{2} + 10. Lequel ?

Cette expression est la forme canonique d'une fonction du second degré, dont le sommet est le point (3;10), soit le point C. Réponse C.

Q8.Calculer A = (10^{201} \times 10^{-4})/(10^{2})^{100}.

(10^{2})^{100}=10^{200}, donc \begin{aligned}A &= 10^{201-4-200} \\ &= 10^{-3} \\ &= 0{,}001\end{aligned} Réponse C.

Q1.D'après l'arbre (P(A)=0{,}4 ; P_A(B)=0{,}2 ; P_{\overline{A}}(B)=0{,}7), calculer P(\overline{A}\cap B).

\begin{aligned}P(\overline{A}\cap B) &= P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \\ &= 0{,}6\times0{,}7 \\ &= 0{,}42\end{aligned} Réponse B.

Q2.150 élèves suivant la spécialité représentent \dfrac{3}{5} des élèves de première. Quel est l'effectif total ?

\begin{aligned}\dfrac35\times x = 150 &\iff x = 150\times\dfrac53 \\ &\iff x = 250\end{aligned} Réponse C.

Q3.Calculer A/B + 1 pour A=\dfrac{1}{3} et B=\dfrac{5}{6}.

\begin{aligned}\dfrac{A}{B}+1 &= \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{5}{6}}+1 \\ &= \dfrac13\times\dfrac65+1 \\ &= \dfrac25+1 \\ &= \dfrac75\end{aligned} Réponse A.

Q4.Identifier la droite d'équation y = \dfrac{1}{3} x + 1 parmi les graphiques proposés.

Cette droite passe par (0;1) et par (3;2) (coefficient directeur \frac13) : il s'agit du graphique correspondant à ces deux points. Réponse C.

Q5.Développer (x^{3} - 1)^{2}.

\begin{aligned}(x^{3}-1)^{2} &= (x^{3})^{2}-2\times x^{3}\times1+1^{2} \\ &= x^{6}-2x^{3}+1\end{aligned} Réponse B.

Q6.Quelle est l'évolution globale d'une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 50 % ?

Coefficient multiplicateur global : \begin{aligned}1{,}2\times0{,}5 &= 0{,}6 \\ &= 1-0{,}4\end{aligned} soit une baisse de 40 %. Réponse C.

Q7.D'après le tableau du sondage, quelle est la probabilité de suivre la spécialité sachant plus de 16 ans ?

Le tableau complété donne 6 élèves de plus de 16 ans suivant la spécialité, sur 10 élèves de plus de 16 ans au total : \dfrac{6}{10}=\dfrac35. Réponse D.

Q8.Isoler y dans x = 5/(2 + y).

\begin{aligned}x = \dfrac{5}{2+y} &\iff x(2+y) = 5 \\ &\iff 2+y = \dfrac5x \\ &\iff y = \dfrac5x-2 \end{aligned} Réponse D.

Q1.Donner une forme factorisée de 9x^{2} - \dfrac{1}{9}.

\begin{aligned}9x^{2}-\dfrac{1}{9} &= (3x)^{2}-\left(\dfrac13\right)^{2} \\ &= \left(3x-\dfrac13\right)\left(3x+\dfrac13\right)\end{aligned} (différence de carrés). Réponse B.

Q2.Calculer E = (x - y)/(zt) pour x=3, y=-2, z=-3, t=-4.

\begin{aligned}E &= \dfrac{3-(-2)}{(-3)\times(-4)} \\ &= \dfrac{5}{12}\end{aligned} Réponse C.

Q3.À l'aide du graphique, déterminer le signe de A = f(-4)/f(-1).

Par lecture graphique (interpolation entre les points tracés) : f(-4)=1{,}5>0 et f(-1)=-2<0, donc {A=\dfrac{1{,}5}{-2}<0}. Réponse B.

Q4.Résoudre l'inéquation -2x + 2 \geq 0.

\begin{aligned}-2x+2 \geq 0 &\iff -2x \geq -2 \\ &\iff x \leq 1 \end{aligned} (l'inégalité change de sens en divisant par -2). S=]-\infty;1]. Réponse A.

Q5.D'après le tableau de signes donné, donner une expression possible de f(x).

f s'annule en -3 et 2, est positive à l'extérieur et négative entre les racines : coefficient dominant positif, soit f(x)=(x-2)(x+3). Réponse C.

Q6.Le prix d'un article baisse de 50 % puis augmente de 40 %. Quelle est l'évolution équivalente ?

Coefficient multiplicateur global : \begin{aligned}0{,}5\times1{,}4 &= 0{,}7 \\ &= 1-0{,}30\end{aligned} soit une baisse de 30 %. Réponse D.

Q7.40 % des adhérents sont des hommes et il y a 30 femmes. Quel est le nombre total d'adhérents ?

60 % des adhérents sont des femmes, soit 30 : \dfrac{30}{0{,}6}=50 adhérents au total. Réponse D.

Q8.Une seule égalité est vraie pour a \neq 0. Laquelle ?

\begin{aligned}\dfrac{a\times a^{5}}{a^{2}} &= \dfrac{a^{6}}{a^{2}} \\ &= a^{4}\end{aligned} Réponse D.

Q1.Calculer \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \times 4.

\begin{aligned}\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\times4 &= \dfrac{1}{2}+\dfrac{12}{2} \\ &= \dfrac{13}{2}\end{aligned} Réponse B.

Q2.La partie visible d'un iceberg (150 km^{3}) représente 10 % du volume total. Quel est ce volume total ?

\begin{aligned}0{,}10\times V = 150 &\iff V = \dfrac{150}{0{,}10} \\ &\iff V = 1\,500\end{aligned} km^{3}. Réponse B.

Q3.Le prix d'un article est multiplié par 0,845. Que représente cette évolution ?

0{,}845 = 1-0{,}155 : le coefficient multiplicateur correspond à une évolution de taux -15{,}5\%, donc une baisse de 15,5 %. Réponse D.

Q4.Donner le tableau de signes de A(x) = (x + 5)(x + 8).

A(x) est un produit de deux facteurs de degré 1, de racines -8 et -5, à coefficient dominant positif : A(x) est positif sauf entre les racines, où il est négatif. Réponse C.

Q5.Un singe choisit une lettre au hasard. Calculer P_M(V) (voyelle sachant lettre du mot SINGE).

Le mot SINGE comporte 5 lettres dont 2 voyelles (I, E). Par équiprobabilité : P_M(V) = \dfrac{2}{5}. Réponse B.

Q6.La droite représentant f passe par (0 ; 30) et (3 ; 0). Donner l'expression de f.

Ordonnée à l'origine 30, coefficient directeur \dfrac{0-30}{3-0}=-10 : f(x)=-10x+30. Réponse C.

Q7.Développer et réduire (x + 2)^{2} - (1 - x)^{2}.

\begin{aligned}(x+2)^{2}-(1-x)^{2} &= (x^{2}+4x+4)-(1-2x+x^{2}) \\ &= 6x+3\end{aligned} Réponse B.

Q8.Résoudre 2(x - 4) - (2x + 1) = 0.

\begin{aligned}2(x-4)-(2x+1) &= 2x-8-2x-1 \\ &= -9\end{aligned} L'équation -9=0 est fausse quel que soit x : aucune solution. Réponse C.

Q9.Calculer E = (2 \times 3^{2})/(27 \times 2^{3}).

\begin{aligned}E &= \dfrac{2\times3^{2}}{3^{3}\times2^{3}} \\ &= \dfrac{2^{0}\times3^{0}}{2^{2}\times3^{1}} \\ &= \dfrac{1}{4\times3} \\ &= \dfrac{1}{12}\end{aligned} Réponse B.