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1.Quel est le prix pour 12 demi-journées avec le tarif B ?

15 + 3{,}50 \times 12 = 15 + 42 = 57 €.

2.Associer chacune des fonctions f, g et h au tarif qu'elle représente.

f : x \mapsto 15 + 3,5x représente le tarif B (abonnement 15 € puis 3,50 € par demi-journée).
g : x \mapsto 64 représente le tarif C (forfait fixe de 64 €).
h : x \mapsto 5,5x représente le tarif A (5,50 € par demi-journée).

3.Associer à chaque droite (d1), (d2), (d3) la fonction correspondante.

(d1) part de 15 sur l'axe des prix : c'est f.
(d2) est horizontale à 64 : c'est g.
(d3) passe par l'origine : c'est h.

4.La droite (d1) représente-t-elle une situation de proportionnalité ?

Une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère.
La droite (d1) coupe l'axe des ordonnées à 15, elle ne passe pas par l'origine.
Donc (d1) ne représente pas une situation de proportionnalité.

5.Lire graphiquement le nombre de demi-journées à partir duquel le tarif B devient plus avantageux que le tarif A.

Les droites (d1) et (d3) se coupent entre 7 et 8 demi-journées (pour un prix d'environ 41 €).
Le tarif B devient plus avantageux à partir de 8 demi-journées.

6.aQuelle formule a été saisie dans la cellule B2 puis étirée vers la droite ?

On saisit = 15 + 3,5*B1 dans la cellule B2.

6.bÀ partir de combien de demi-journées le tarif C devient-il plus avantageux que le tarif B ?

Dans le tableau, le tarif B vaut 64 € pour 14 demi-journées (égalité avec le tarif C), puis 67,50 € pour 15.
Le tarif C devient plus avantageux à partir de 15 demi-journées.

A.1Donner les solutions de l'équation différentielle (E) : y' = -0,035y + 0,91 sur [0 ; +\infty[.

(E) est une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme y' = ay + b avec a = -0{,}035 et b = 0{,}91.
La solution constante particulière vérifie 0 = -0{,}035 y_p + 0{,}91, soit \begin{aligned}y_p &= \dfrac{0{,}91}{0{,}035} \\ &= 26\end{aligned}
Les solutions de (E) sur [0 ; +\infty[ sont les fonctions t \mapsto K e^{-0{,}035t} + 26, où K est une constante réelle.

A.2En déduire que, pour tout réel t de [0 ; +\infty[, T(t) = 26 - 8e^{-0{,}035t}.

D'après la question précédente, T(t) = K e^{-0{,}035t} + 26.
Comme T(0) = 18 : K e^{0} + 26 = 18, soit \begin{aligned}K &= 18 - 26 \\ &= -8\end{aligned}
Donc, pour tout t \in [0 ; +\infty[, T(t) = -8e^{-0{,}035t} + 26 = 26 - 8e^{-0{,}035t}.

A.3Déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra 20^{\circ}C (en heures et minutes, arrondi à la minute).

On résout T(t) = 20 : 26 - 8e^{-0{,}035t} = 20, soit 8e^{-0{,}035t} = 6, soit e^{-0{,}035t} = 0{,}75.
-0{,}035t = \ln(0{,}75), donc \begin{aligned}t &= \dfrac{-\ln(0{,}75)}{0{,}035} \\ &\approx 8{,}22\end{aligned} dizaines de minutes, soit environ 82,2 minutes.
82{,}2 minutes \approx 1 h 22 min.

A.4Si le système ne s'éteignait pas à 20^{\circ}C, la température pourrait-elle dépasser 28^{\circ}C selon ce modèle ?

Pour tout t \geq 0, e^{-0{,}035t} > 0, donc T(t) = 26 - 8e^{-0{,}035t} < 26.
La température modélisée par T reste donc toujours strictement inférieure à 26^{\circ}C, quelle que soit la durée de chauffe.
Non, selon ce modèle, la température de la pièce ne pourra jamais dépasser 28^{\circ}C (elle ne dépasse même jamais 26^{\circ}C).

B.1Montrer que u1 = 19,72.

u_1 = 0{,}965 \times u_0 + 0{,}35 + 0{,}07e^{-0{,}1 \times 0} = 0{,}965 \times 20 + 0{,}35 + 0{,}07 \times 1 = 19{,}3 + 0{,}35 + 0{,}07 = 19,72.

B.2Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un > 10.

Initialisation : u_0 = 20 > 10, la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que u_n > 10 pour un entier n donné. Montrons que u_{n+1} > 10.
u_{n+1} = 0{,}965 u_n + 0{,}35 + 0{,}07e^{-0{,}1n}. Comme u_n > 10, on a 0{,}965 u_n > 9{,}65.
De plus, 0{,}07e^{-0{,}1n} > 0 pour tout n (une exponentielle est toujours strictement positive).
Donc u_{n+1} > 9{,}65 + 0{,}35 + 0 = 10 : la propriété est vraie au rang n+1.
Par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, on a u_n > 10.

B.3En déduire que la suite (un) est convergente.

La suite (u_n) est décroissante (admis dans l'énoncé) et minorée par 10 (question précédente) : d'après le théorème de convergence monotone, la suite (u_n) est convergente.

B.4.aJustifier que la limite \ell est solution de l'équation x = 0,965x + 0,35.

Comme (u_n) converge vers \ell, la suite (u_{n+1}) converge aussi vers \ell.
De plus, e^{-0{,}1n} \to 0 quand n \to +\infty.
En passant à la limite dans la relation u_{n+1} = 0{,}965 u_n + 0{,}35 + 0{,}07e^{-0{,}1n}, on obtient \ell = 0{,}965\ell + 0{,}35.

B.4.bDéterminer \ell et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

\ell - 0{,}965\ell = 0{,}35, soit 0{,}035\ell = 0{,}35, soit \ell = \dfrac{0{,}35}{0{,}035} = 10.
Interprétation : si le chauffage ne se remettait jamais en marche, la température de la pièce se rapprocherait indéfiniment de 10^{\circ}C sans jamais l'atteindre.

B.5.aRecopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 du programme Python pour qu'il renvoie le nombre de dizaines de minutes à partir duquel le chauffage se remet en marche.

B.5.bDéterminer le temps, en dizaines de minutes, à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.

En calculant successivement les termes de la suite, on obtient u_7 \approx 18{,}14 (encore supérieur à 18) puis u_8 \approx 17{,}90 (inférieur à 18).
Le chauffage se remet donc en marche à partir de n = 8 dizaines de minutes, soit 80 minutes (1 h 20 min) après le début du refroidissement.

A.1Justifier que a = 1.

Le point A(0 ; 1) appartient à la courbe, donc f(0) = 1. Or \begin{aligned}f(0) &= a + \dfrac{b\ln(1)}{1} \\ &= a + 0 \\ &= a\end{aligned} Donc a = 1.

A.2.aEn utilisant le graphique, donner la valeur de f'(0). Justifier.

La tangente T_A passe par A(0 ; 1) et semble également passer par le point de coordonnées (0{,}5 ; 3) (lecture graphique).
Son coefficient directeur est donc \begin{aligned}\dfrac{3-1}{0{,}5-0} &= \dfrac{2}{0{,}5} \\ &= 4\end{aligned}
f'(0) = 4 (coefficient directeur de la tangente en A).

A.2.bEn utilisant le graphique, donner le signe de f''(1). Justifier.

Le graphique montre que la courbe atteint son maximum peu avant x = 1, puis décroît en restant concave (tournée vers le bas) au voisinage de x = 1.
Le signe de f''(1) correspond donc au sens de variation de f' (la pente) à cet endroit, qui diminue juste après le maximum.
f''(1) est négatif.

A.3.aMontrer que, pour tout réel x appartenant à ]-1 ; +\infty[, on a f'(x) = b(1 - ln(x+1))/(x+1)^{2}.

On dérive \dfrac{\ln(x+1)}{x+1} par la formule du quotient \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} avec u = \ln(x+1) et v = x+1.
u' = \dfrac{1}{x+1} et v' = 1, donc u'v - uv' = \dfrac{1}{x+1} \times (x+1) - \ln(x+1) \times 1 = 1 - \ln(x+1).
Donc f'(x) = b \times \dfrac{1 - \ln(x+1)}{(x+1)^{2}}.

A.3.bEn déduire la valeur de b.

D'après la question 2.a, f'(0) = 4. Or f'(0) = b \times \dfrac{1 - \ln(1)}{1^{2}} = b \times 1 = b. Donc b = 4.

B.1Justifier que la droite d'équation y = 1 est asymptote à la courbe représentative de f.

Quand x \to +\infty, on sait que \dfrac{\ln(x+1)}{x+1} \to 0 (limite usuelle du type \dfrac{\ln(t)}{t} \to 0 quand t \to +\infty).
Donc \begin{aligned}f(x) &= 1 + \dfrac{4\ln(x+1)}{x+1} \to 1 + 0 \\ &= 1\end{aligned} quand x \to +\infty.
La droite d'équation y = 1 est donc asymptote horizontale à la courbe représentative de f en +\infty.

B.2Résoudre l'inéquation 1 - ln(x+1) > 0 sur ]-1 ; +\infty[.

{1 - \ln(x+1) > 0 \Leftrightarrow \ln(x+1) < 1 \Leftrightarrow x + 1 < e} (la fonction ln étant strictement croissante), soit x < e - 1.
L'ensemble des solutions, en tenant compte du domaine x > -1, est ]-1 ; e-1[.

B.3Dresser le tableau de variation complet de f, en indiquant la valeur exacte de son extremum.

Le signe de f'(x) = \dfrac{4(1-\ln(x+1))}{(x+1)^{2}} est celui de 1-\ln(x+1) (le dénominateur est toujours positif).
D'après la question précédente, f'(x) > 0 sur ]-1 ; e-1[ et f'(x) < 0 sur ]e-1 ; +\infty[ : f est donc croissante puis décroissante, avec un maximum en x = e-1.
\begin{aligned}f(e-1) &= 1 + \dfrac{4\ln(e)}{e} \\ &= 1 + \dfrac{4}{e}\end{aligned} (valeur exacte du maximum).
Aux bornes : \lim_{x \to -1} f(x) = -\infty (admis) et \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 (question B.1).
Tableau : f décroît de -\infty à -1 (exclu), croît de -\infty à 1+\dfrac{4}{e} sur ]-1 ; e-1], puis décroît de 1+\dfrac{4}{e} vers 1 (sans l'atteindre) sur [e-1 ; +\infty[.

B.4Montrer que l'équation f(x) = 1,5 admet une unique solution dans [2 ; +\infty[. En donner une valeur approchée à 10^{-1}.

Sur [2 ; +\infty[ (inclus dans ]e-1 ; +\infty[ puisque e-1 \approx 1{,}72 < 2), f est continue et strictement décroissante.
\begin{aligned}f(2) &= 1 + \dfrac{4\ln(3)}{3} \\ &\approx 2{,}46\end{aligned} et \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1.
Comme 1{,}5 est compris entre ces deux valeurs, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation f(x) = 1,5 admet une unique solution dans [2 ; +\infty[.
À l'aide de la calculatrice, on trouve une valeur approchée de cette solution : x_0 \approx 25,1.

B.5.aMontrer que l'intégrale de ln(x+1)/(x+1) entre 0 et 2 est égale à (\dfrac{1}{2})(ln3)^{2}.

On pose u = \ln(x+1), donc du = \dfrac{1}{x+1}dx ; quand x=0, \begin{aligned}u &= \ln(1) \\ &= 0\end{aligned} et quand x=2, u=\ln(3).
\displaystyle \int\limits_0^2 \dfrac{\ln(x+1)}{x+1}dx = \int\limits_0^{\ln(3)} u \, du = \left[\dfrac{u^{2}}{2}\right]_0^{\ln(3)} = \dfrac{(\ln 3)^{2}}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}(\ln 3)^{2}.

B.5.bEn déduire l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe de f, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 2.

Sur [0 ; 2], la fonction f est strictement positive (elle vaut 1 en x=0 et reste au-dessus de 2,4 ensuite) : l'aire cherchée est donc \displaystyle \int\limits_0^2 f(x)\,dx.
\begin{aligned}\displaystyle \int\limits_0^2 f(x)\,dx &= \int\limits_0^2 1\,dx + 4\int\limits_0^2 \dfrac{\ln(x+1)}{x+1}dx \\ &= [x]_0^2 + 4 \times \dfrac{1}{2}(\ln 3)^{2} \\ &= 2 + 2(\ln 3)^{2}\end{aligned}
L'aire cherchée est 2 + 2(\ln 3)^{2} unités d'aire, soit environ 4,41 u.a.

A.1Calculer V1 et V2 (V0 = 0, Vn+1 = 0,995 Vn + 6).

V_1 = 0{,}995 \times 0 + 6 = 6 litres.
V_2 = 0{,}995 \times 6 + 6 = 5{,}97 + 6 = 11,97 litres.

A.2Recopier et compléter le programme Python pour qu'il renvoie le volume après n heures.

A.3Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Vn \leq Vn+1 \leq 1200.

Initialisation : V_0 = 0 et V_1 = 6 (question 1), donc V_0 \leq V_1 \leq 1\,200 : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que V_n \leq V_{n+1} \leq 1\,200 pour un entier n donné.
Comme 0{,}995 > 0, on peut multiplier chaque membre : 0{,}995V_n \leq 0{,}995V_{n+1} \leq 0{,}995 \times 1\,200, soit 0{,}995V_n \leq 0{,}995V_{n+1} \leq 1\,194.
En ajoutant 6 partout : 0{,}995V_n + 6 \leq 0{,}995V_{n+1} + 6 \leq 1\,200, c'est-à-dire V_{n+1} \leq V_{n+2} \leq 1\,200 : la propriété est vraie au rang n+1.
Par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, V_n \leq V_{n+1} \leq 1\,200.

A.4Justifier que la suite (Vn) converge, et calculer sa limite.

D'après la question précédente, la suite (V_n) est croissante et majorée par 1\,200.
D'après le théorème de convergence monotone, la suite (V_n) converge vers une limite \ell.
La fonction associée à la récurrence, x \mapsto 0{,}995x + 6, est continue (fonction affine), donc \ell est solution de l'équation x = 0{,}995x + 6.
\begin{aligned}0{,}005x = 6 &\Leftrightarrow x = \dfrac{6}{0{,}005} \\ &\Leftrightarrow x = 1\,200\end{aligned}
La suite (V_n) converge donc vers 1 200 : le volume de substance polluante se stabilise autour de 1 200 litres.

B.1.aDéterminer les solutions de l'équation différentielle (E) : y' = -0,005y + 6 sur [0 ; +\infty[.

(E) est de la forme y' = ay + b avec a = -0{,}005 et b = 6. Sa solution particulière constante est \begin{aligned}y_p &= -\dfrac{b}{a} \\ &= \dfrac{6}{0{,}005} \\ &= 1\,200\end{aligned}
Les solutions de (E) sur [0 ; +\infty[ sont les fonctions t \mapsto Ce^{-0{,}005t} + 1\,200, où C est une constante réelle.

B.1.bMontrer que, pour tout réel t de [0 ; +\infty[, v(t) = 1200(1 - e^{-0,005t}).

Comme v(0) = 0 : Ce^{0} + 1\,200 = 0, donc C = -1\,200.
v(t) = -1\,200e^{-0{,}005t} + 1\,200 = 1\,200\left(1 - e^{-0{,}005t}\right).

B.1.cCalculer la limite de v en +\infty.

Quand t \to +\infty, e^{-0{,}005t} \to 0, donc v(t) \to 1\,200 \times (1-0) = 1 200.

B.1.dDéterminer le sens de variation de la fonction v sur [0 ; +\infty[.

v'(t) = 1\,200 \times 0{,}005 \times e^{-0{,}005t} = 6e^{-0{,}005t}, toujours strictement positif.
La fonction v est donc strictement croissante sur [0 ; +\infty[.

B.2Un taux de substance polluante supérieur à 5 % du volume du bassin (30 000 L) nécessite un nettoyage complet. Le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage ?

Le seuil critique est 0{,}05 \times 30\,000 = 1 500 litres.
La fonction v est strictement croissante et tend vers 1 200 sans jamais l'atteindre : elle est donc toujours strictement inférieure à 1 200, donc à 1 500.
Non, selon ce modèle, le volume de substance polluante n'atteindra jamais le seuil de 1 500 litres : un nettoyage complet ne sera jamais nécessaire.

B.3Déterminer la valeur exacte de l'instant au-delà duquel le volume dépasse 50 litres (en heure et minute, arrondi à la minute).

On résout v(t) = 50 : 1\,200\left(1-e^{-0{,}005t}\right) = 50, soit \begin{aligned}1 - e^{-0{,}005t} &= \dfrac{50}{1\,200} \\ &= \dfrac{1}{24}\end{aligned}
e^{-0{,}005t} = \dfrac{23}{24}, donc -0{,}005t = \ln\left(\dfrac{23}{24}\right).
t = \dfrac{\ln\left(\frac{23}{24}\right)}{-0{,}005} = 200\ln\left(\dfrac{24}{23}\right) (valeur exacte), soit environ 8,51 heures.
8{,}51 heures \approx 8 h 31 min.

A.1.aÀ l'aide du graphique, donner f'(1) (la courbe admet une tangente horizontale au point C d'abscisse 1).

La tangente en C (abscisse 1) est parallèle à l'axe des abscisses, donc de coefficient directeur nul : f'(1) = 0.

A.1.bDonner la solution de l'équation f(x) = 0 sur [0 ; 3] (la courbe coupe l'axe des abscisses au point A d'abscisse \dfrac{1}{2}).

La courbe ne coupe l'axe des abscisses qu'au point A, d'abscisse \dfrac{1}{2} : la solution de f(x)=0 sur [0;3] est \dfrac{1}{2}.

A.2Déterminer f'(\dfrac{1}{2}) (la tangente en A(\dfrac{1}{2} ; 0) passe par B(1 ; e^{2})).

f'\left(\dfrac{1}{2}\right) est le coefficient directeur de la tangente en A, c'est-à-dire de la droite (AB) :
\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{e^{2} - 0}{1 - \frac{1}{2}} = 2e^{2}.

A.3Parmi les courbes C1, C2 et C3, indiquer lesquelles représentent des primitives de f.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent uniquement d'une constante : leurs courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale.
C'est le cas de \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2, qui ont la même forme décalée verticalement.
\mathcal{C}_3 est décroissante là où f est positive (autour de x = 0,5 à 0,7), ce qui est incompatible avec une primitive de f à cet endroit.
Les courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 représentent des primitives de f.

B.1.aVérifier que, pour tout x de [0 ; +\infty[, f(x) = e^{2} \times (2x-1)/e^{2x-1} (avec f(x) = (2x-1)e^{-2x+3}).

On remarque que -2x+3 = -(2x-1)+2, donc e^{-2x+3} = e^{-(2x-1)} \times e^{2}.
\begin{aligned}f(x) &= (2x-1) \times e^{-(2x-1)} \times e^{2} \\ &= e^{2} \times \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}}\end{aligned}

B.1.bEn déduire la limite de f en +\infty (on pourra poser X = 2x-1).

Quand x \to +\infty, X = 2x-1 \to +\infty, et par croissances comparées \dfrac{X}{e^{X}} \to 0.
Donc \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}} \to 0, puis f(x) = e^{2} \times \dfrac{2x-1}{e^{2x-1}} \to 0.

B.2.aMontrer que, pour tout x de [0 ; +\infty[, f'(x) = (-4x+4)e^{-2x+3}.

En dérivant le produit f(x) = (2x-1)e^{-2x+3} :
f'(x) = 2 \times e^{-2x+3} + (2x-1) \times (-2)e^{-2x+3} = \left(2 - 2(2x-1)\right)e^{-2x+3} = (2-4x+2)e^{-2x+3} = (-4x+4)e^{-2x+3}.

B.2.bConstruire le tableau complet des variations de f sur [0 ; +\infty[.

L'exponentielle étant toujours strictement positive, f'(x) est du signe de (-4x+4), positif avant x=1 et négatif après.
f est donc croissante sur [0;1] puis décroissante sur [1;+\infty[.
\begin{aligned}f(0) &= (0-1)e^{3} \\ &= -e^{3}\end{aligned} et \begin{aligned}f(1) &= (2-1)e^{1} \\ &= e\end{aligned}
Tableau : f croît de -e^{3} à e sur [0;1], puis décroît de e vers 0 (sans l'atteindre) sur [1;+\infty[.

B.3Justifier que la contrainte du client se traduit par f(\alpha) = 0,15, puis montrer qu'il existe une unique valeur de \alpha dans [1 ; +\infty[ vérifiant cette égalité. En donner une valeur arrondie au dixième.

Le point (\alpha ; f(\alpha)) et son symétrique (\alpha ; -f(\alpha)) par rapport à l'axe des abscisses sont distants verticalement de 2f(\alpha).
Cette distance doit valoir 0,3 cm : \begin{aligned}2f(\alpha) &= 0{,}3 \\ &\Leftrightarrow f(\alpha) = 0{,}15\end{aligned}
Sur [1 ; +\infty[, f est continue et strictement décroissante, de \begin{aligned}f(1) &= e \\ &\approx 2{,}7\end{aligned} vers 0 (sans l'atteindre).
Comme {0 < 0{,}15 < e}, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation f(x) = 0,15 admet une unique solution \alpha dans [1 ; +\infty[.
À la calculatrice, on trouve \alpha \approx 3{,}3.

C.1À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale I de f entre 0,5 et 3,3 est, arrondie au dixième, égale à 3,6.

On pose u(x) = 2x-1 et v'(x) = e^{-2x+3}, donc u'(x) = 2 et v(x) = -\dfrac{1}{2}e^{-2x+3}.
\displaystyle I = \left[u(x)v(x)\right]_{0,5}^{3,3} - \int\limits_{0,5}^{3,3} u'(x)v(x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{2}(2x-1)e^{-2x+3}\right]_{0,5}^{3,3} + \int\limits_{0,5}^{3,3} e^{-2x+3}\,dx
Le crochet vaut -\dfrac{1}{2}\left(5{,}6e^{-3,6} - 0\right) = -2{,}8e^{-3,6}.
L'intégrale restante vaut \left[-\dfrac{1}{2}e^{-2x+3}\right]_{0,5}^{3,3} = -\dfrac{1}{2}e^{-3,6} + \dfrac{1}{2}e^{2}.
I = -2{,}8e^{-3,6} - 0{,}5e^{-3,6} + 0{,}5e^{2} = 0{,}5e^{2} - 3{,}3e^{-3,6} \approx 3,6.

C.2Déterminer le volume du porte-clé en cm^{3}, arrondi au dixième (volume = aire du logo \times épaisseur de 0,2 cm).

Le logo est symétrique par rapport à l'axe des abscisses : son aire est le double de l'aire sous la courbe de f entre 0,5 et 3,3, c'est-à-dire \begin{aligned}2I &\approx 2 \times 3{,}6 \\ &= 7{,}2\end{aligned} cm^{2}.
Volume \approx 7{,}2 \times 0{,}2 = 1,4 cm^{3}.

1.aAffirmation 1 : la courbe de f passe par A(ln 2 ; \dfrac{1}{2}). Vrai ou faux ?

L'équation y'+2y=0 s'écrit y'=-2y, de solutions x \mapsto Ce^{-2x} avec C \in \mathbb{R}.
Comme f(0)=1 : C=1, donc f(x)=e^{-2x}.
\begin{aligned}f(\ln 2) &= e^{-2\ln 2} \\ &= e^{\ln(\dfrac{1}{4})} \\ &= \dfrac{1}{4} \\ &\neq \dfrac{1}{2}\end{aligned}
L'affirmation 1 est FAUSSE.

1.bAffirmation 2 : sur [π/2 ; π], la courbe de f est au-dessus de ses tangentes. Vrai ou faux ?

f'(x) = 1+\sin(x), donc f''(x) = \cos(x).
Sur \left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right], \cos(x) \leq 0 : f est donc concave, et sa courbe est en dessous de ses tangentes (pas au-dessus).
L'affirmation 2 est FAUSSE.

1.cAffirmation 3 : y = 1 est asymptote horizontale à la courbe de f. Vrai ou faux ?

Pour tout x>0 : {-1 \leq \sin(x) \leq 1}, donc {-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin(x)}{x} \leq \dfrac{1}{x}}, soit {1-\dfrac{1}{x} \leq f(x) \leq 1+\dfrac{1}{x}}.
Comme \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0, les deux bornes tendent vers 1 : d'après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1.
L'affirmation 3 est VRAIE : y=1 est bien asymptote horizontale en +\infty.

2.Affirmation 4 : f(x) = 2x - e^{3x} est solution de (E_{2}). Vrai ou faux ?

f est dérivable sur \mathbb{R} et f'(x) = 2-3e^{3x}.
f'(x) - 3f(x) = (2-3e^{3x}) - 3(2x-e^{3x}) = 2-3e^{3x}-6x+3e^{3x} = 2-6x.
f vérifie donc bien l'équation (E_2) : l'affirmation 4 est VRAIE.

1.Par lecture graphique, déterminer f(-2) et f(1).

D'après les coordonnées des points A et B sur le graphique : f(-2)=-5 et f(1)=4.

2.Par lecture graphique, déterminer f'(-2) et f'(1).

f'(-2) est le coefficient directeur de la tangente (d) en A, soit 6 ; f'(1) est le coefficient directeur de la tangente T en B, horizontale, soit 0.

3.Résoudre l'équation f(x) = 0 par lecture graphique.

La courbe coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses -1 et 3 : \mathcal{S}=\{-1;3\}.

4.Dresser le tableau de variation de f par lecture graphique.

f est croissante sur [-3;1] (de -12 à 4) puis décroissante sur [1;4] (de 4 à -5).

5.On admet que f(x) = -x^{2} + 2x + 3. Retrouver par le calcul les résultats de la question 1.

\begin{aligned}f(-2) &= -4-4+3 \\ &= -5\end{aligned} et \begin{aligned}f(1) &= -1+2+3 \\ &= 4\end{aligned} Cela confirme la lecture graphique.

6.aDéterminer f'(x) puis retrouver les résultats de la question 2.

f'(x) = -2x+2. f'(-2) = 4+2 = 6 et f'(1) = -2+2 = 0 : cela confirme la lecture graphique.

6.bVérifier par le calcul que f(x) = (x + 1)(-x + 3), puis retrouver les résultats de la question 3.

\begin{aligned}(x+1)(-x+3) &= -x^{2}+3x-x+3 \\ &= -x^{2}+2x+3\end{aligned} ce qui correspond bien à f(x).
\begin{aligned}(x+1)(-x+3) = 0 &\iff x = -1 \end{aligned} ou x=3 : cela confirme les solutions trouvées en question 3.

6.cDresser le tableau de signes de f'(x) sur [-3 ; 4] et en déduire les variations de f.

f'(x)=-2x+2=0 \iff x=1, et f'(x)>0 \iff x<1 (fonction affine décroissante en x, de coefficient directeur -2).
f est donc croissante sur [-3;1] (où f'\geq0) et décroissante sur [1;4] (où f'\leq0), conformément à la lecture graphique.

1.aPar lecture graphique, donner la valeur de f(3).

Par lecture graphique, f(3)\approx5.

1.bPar lecture graphique, donner la valeur de f'(-1).

f'(-1) est le coefficient directeur de la tangente en A : elle passe par (-1;5) et (0;9), de coefficient directeur \dfrac{9-5}{0-(-1)}=4 : f'(-1)\approx4.

2.aCalculer f'(x) pour f(x) = -x^{2} + 2x + 8.

f'(x) = -2x+2.

2.bÉtudier le signe de f'(x) sur [-2 ; 4].

\begin{aligned}-2x+2 = 0 &\iff x = 1 \end{aligned} Comme f' est affine de coefficient directeur négatif, f'(x) est positif sur [-2;1] et négatif sur [1;4].

3.Donner les variations de f sur [-2 ; 4].

\begin{aligned}f(-2) &= -4-4+8 \\ &= 0\end{aligned} \begin{aligned}f(1) &= -1+2+8 \\ &= 9\end{aligned} \begin{aligned}f(4) &= -16+8+8 \\ &= 0\end{aligned}
f est croissante sur [-2;1] (de 0 à 9) et décroissante sur [1;4] (de 9 à 0), conformément au signe de f'.

A.1Donner la puissance électrique des panneaux à 11 h 00 (lecture graphique).

Avec la précision permise par le graphique, on lit une puissance d'environ 5,75 kW à 11 h.

A.2Résoudre graphiquement f(x) \geq 5 et interpréter.

Graphiquement, f(x)\geq5 pour x\in[10{,}5\,;\,15{,}5] environ : la puissance des panneaux dépasse 5 kW entre environ 10 h 30 et 15 h 30, soit pendant environ 5 heures dans la journée.

B.1Déterminer la nature de la suite (c_{n}) et préciser sa raison.

Chaque année, le tarif est multiplié par 1{,}06 (hausse de 6 %) : (c_n) est géométrique de raison q=1{,}06, de premier terme c_0=0{,}15.

B.2Exprimer c_{n} en fonction de n.

(c_n) étant géométrique : \begin{aligned}c_n &= c_0\times q^{n} \\ &= 0{,}15\times1{,}06^{n}\end{aligned}.

B.3Donner le calcul permettant d'obtenir le coût en 2030.

2030 correspond à 2020+10, soit n=10 : le coût pour 1 kWh en 2030 est c_{10} = 0{,}15\times1{,}06^{10} (calcul non demandé).

B.4.aQue représentent les variables c et S du programme Python ?

c représente le coût (en euros) d'un kWh pour l'année considérée. S représente l'économie totale cumulée (en euros) depuis 2020 : à chaque tour de boucle, on ajoute l'économie de l'année (2000 kWh non achetés, au prix c), puis on met à jour l'année et le prix.

B.4.bLe programme affiche 16. Interpréter ce résultat.

Il faut 16 années pour que l'économie cumulée dépasse 7 000 €, le coût de l'installation : selon ce modèle, l'investissement de Camille est rentabilisé en 2020+16=2036.

1.Calculer l'expression de la dérivée f' pour f(x) = -x^{3} + 4,5x^{2} - 6x + 2.

f'(x) = -3x^{2}+4{,}5\times2x-6 = -3x^{2}+9x-6.

2.Vérifier que f'(x) = (3x - 6)(1 - x).

\begin{aligned}(3x-6)(1-x) &= 3x-3x^{2}-6+6x \\ &= -3x^{2}+9x-6\end{aligned} ce qui correspond bien à f'(x).

3.Étudier le signe de f'(x) sur [0 ; 10].

\begin{aligned}3x-6 = 0 &\iff x = 2 \end{aligned} et 3x-6>0 \iff x>2 (fonction affine croissante).
\begin{aligned}1-x = 0 &\iff x = 1 \end{aligned} et 1-x>0 \iff x<1 (fonction affine décroissante).
Produit des signes : f'(x) est négatif sur [0;1], positif sur [1;2], négatif sur [2;10].

4.En déduire les variations de f sur [0 ; 10].

D'après le signe de f' : f est décroissante sur [0;1], croissante sur [1;2], puis décroissante sur [2;10].

1.aDonner f(1).

La courbe \mathcal{C}_f passe par A(1;20) : f(1)=20.

1.bDéterminer f'(1).

f'(1) est le coefficient directeur de la tangente T_A, c'est-à-dire de la droite (AB) : f'(1) = \dfrac{10-20}{3-1} = \dfrac{-10}{2} = -5.

1.cJustifier que la tangente TA a pour équation y = -5x + 25.

L'équation de la tangente en x=1 est y=f'(1)(x-1)+f(1) = -5(x-1)+20 = -5x+5+20 = -5x+25.

2.aDémontrer que f'(x) = (2x - 3)(2x + 3)/x^{2} pour f(x) = (4x^{2} + 7x + 9)/x.

Par la formule de dérivation d'un quotient : f'(x) = \dfrac{(8x+7)x-(4x^{2}+7x+9)\times1}{x^{2}} = \dfrac{8x^{2}+7x-4x^{2}-7x-9}{x^{2}} = \dfrac{4x^{2}-9}{x^{2}}.
\begin{aligned}4x^{2}-9 &= (2x)^{2}-3^{2} \\ &= (2x-3)(2x+3)\end{aligned} donc f'(x)= \dfrac{(2x-3)(2x+3)}{x^{2}}.

2.bÉtudier le signe de f'(x) sur ]0 ; +\infty[.

x^{2}>0 sur ]0;+\infty[. 2x+3>0 toujours sur cet intervalle. 2x-3>0 \iff x>\frac32. Donc f'(x)<0 sur \left]0;\frac32\right[ et f'(x)>0 sur \left]\frac32;+\infty\right[.

2.cEn déduire les variations de f sur ]0 ; +\infty[.

f est décroissante sur \left]0;\frac32\right] et croissante sur \left[\frac32;+\infty\right[.

3.Existe-t-il une tangente à Cf parallèle à la droite y = 3x + 5 ?

Deux droites sont parallèles ssi elles ont le même coefficient directeur : on cherche x_0 tel que f'(x_0)=3.
\begin{aligned}\dfrac{4x^{2}-9}{x^{2}} = 3 &\iff 4x^{2}-9 = 3x^{2} \\ &\iff x^{2}-9 = 0 \\ &\iff (x-3)(x+3) = 0 \\ &\iff x = 3 \end{aligned} ou x=-3.
Seule x_0=3 appartient à ]0;+\infty[ : oui, il existe une unique tangente à \mathcal{C}_f parallèle à y=3x+5, c'est la tangente au point d'abscisse 3.

1.aPar lecture graphique, donner l'image de 3 par f.

Le point de la courbe d'abscisse 3 a pour ordonnée -2 : f(3)=-2.

1.bPar lecture graphique, déterminer f'(3).

f'(3) est le coefficient directeur de la tangente T, qui passe par (3;-2) et (4;2) : f'(3) = \dfrac{2-(-2)}{4-3} = 4.

2.aCalculer f(0) pour f(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 24x + 16.

f(0) = 0+0-0+16 = 16.

2.bCalculer f'(x), en détaillant les calculs.

f'(x) = -3x^{2}+9\times2x-24 = -3x^{2}+18x-24.

2.cVérifier que f'(x) = -3(x - 2)(x - 4).

\begin{aligned}-3(x-2)(x-4) &= -3(x^{2}-6x+8) \\ &= -3x^{2}+18x-24\end{aligned} ce qui correspond bien à f'(x).

3.aÉtudier le signe de f'(x) et établir le tableau de variation de f sur [0 ; 4].

f'(x)=-3(x-2)(x-4), avec -3<0 toujours, x-2 nul en 2 et x-4 nul en 4 (négatif sur [0;4]).
Le produit (x-2)(x-4) est positif à l'extérieur de [2;4] et négatif entre les deux : en tenant compte du -3, f'(x) est négatif sur [0;2], positif sur [2;4].
f(0)=16, \begin{aligned}f(2) &= -8+36-48+16 \\ &= -4\end{aligned} \begin{aligned}f(4) &= -64+144-96+16 \\ &= 0\end{aligned}
f est décroissante sur [0;2] (de 16 à -4) puis croissante sur [2;4] (de -4 à 0).

3.bQuel est le minimum de f sur [0 ; 4] ? En quelle valeur est-il atteint ?

D'après le tableau de variation, le minimum de f sur [0;4] est -4, atteint pour x=2.

Question 1. Une urne contient 4 boules bleues, 6 violettes, 7 rouges, 3 jaunes, indiscernables au toucher. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule violette en tirant au hasard ?

Il y a 4+6+7+3=20 boules en tout, situation d'équiprobabilité : P = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}.
Il y a 6 boules violettes sur 20 : \begin{aligned}P &= \dfrac{6}{20} \\ &= \dfrac{3}{10}\end{aligned} Réponse : \dfrac{3}{10}.

Question 2. Calculer 70 % d'une quantité revient à multiplier cette quantité par :

Prendre 70 % d'une quantité revient à multiplier par le coefficient \dfrac{70}{100} = 0{,}70. Réponse : 0,70.
Les autres propositions correspondent à des erreurs classiques : 0{,}30 = 1-0{,}7 (coefficient d'une baisse de 70 %), 1{,}70 = 1+0{,}7 (hausse de 70 %), 1{,}30 = 1+0{,}3 (hausse de 30 %).

Question 3. On considère la série 7 ; 18 ; 12 ; 13 ; 15. Quelle affirmation est vraie parmi : étendue = 8, médiane = 12, moyenne = 53, moyenne = 13 ?

La moyenne vaut \begin{aligned}\dfrac{7+18+12+13+15}{5} &= \dfrac{65}{5} \\ &= 13\end{aligned} Réponse : la moyenne de cette série est 13.
Les autres propositions sont fausses : l'étendue vaut 18-7=11 (et non 8, en oubliant de ranger la série avant de soustraire) ; la médiane, une fois la série rangée (7 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18), vaut 13 (et non 12) ; la « moyenne » 53 vient d'un calcul sans les parenthèses (7+18+12+13+15\div5=53, faux).

Question 4. Une fonction affine f a pour représentation une droite passant par (0 ; 4) et (1 ; 2). Quelle est l'expression de f parmi : 2x+4, 4x-2, -2x+4, -4x+2 ?

La droite coupe l'axe des ordonnées en (0~;~4), donc l'ordonnée à l'origine est b=4.
En passant de (0~;~4) à (1~;~2), l'ordonnée diminue de 2 quand l'abscisse augmente de 1 : le coefficient directeur est a=-2.
Réponse : f(x) = -2x+4.

PartieA ; 1. On considère f(x) = 1/(a+e^{-bx}) sur [0 ; +\infty[, avec a, b > 0. Par lecture graphique (points A(0 ; 0,5), B(10 ; 1) sur la courbe), donner une valeur approchée de f(10).

Par lecture graphique, f(10) \approx 0{,}9.

PartieA ; 2. On admet que la limite de f en +\infty est 1. Interpréter graphiquement.

La courbe \mathcal{C}_f admet une asymptote horizontale d'équation y=1 en +\infty.

PartieA ; 3. Justifier que a = 1.

f(0) = \dfrac{1}{a+1}, et le point A(0~;~0{,}5) appartient à la courbe, donc \begin{aligned}\dfrac{1}{a+1} = 0{,}5 &\iff a+1 = 2 \\ &\iff a = 1 \end{aligned}

PartieA ; 4. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).

\begin{aligned}m &= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\ &= \dfrac{1-0{,}5}{10-0} \\ &= \dfrac{0{,}5}{10} \\ &= 0{,}05\end{aligned}

PartieA ; 5.a Déterminer l'expression de f'(x) en fonction de x et b.

f est de la forme \dfrac{1}{1+e^{-bx}}, de dérivée -\dfrac{-be^{-bx}}{(1+e^{-bx})^{2}} = \dfrac{be^{-bx}}{(1+e^{-bx})^{2}}.

PartieA ; 5.b En déduire la valeur de b.

(AB) étant tangente à \mathcal{C}_f en 0, son coefficient directeur est f'(0) = \dfrac{b}{(1+1)^{2}} = \dfrac{b}{4}.
\begin{aligned}\dfrac{b}{4} = 0{,}05 &\iff b = 0{,}2 \end{aligned}

PartieB ; 1. On admet que f(x) = 1/(1+e^{-0,2x}) sur [0 ; +\infty[. Déterminer la limite de f en +\infty.

\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-0,2x}=0 (par composition), donc \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1.

PartieB ; 2. Étudier les variations de f sur [0 ; +\infty[.

f'(x) = \dfrac{0{,}2e^{-0,2x}}{(1+e^{-0,2x})^{2}} (même calcul que ci-dessus avec b=0{,}2).
Pour tout x\geqslant0, le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs : f'(x)>0, donc f est strictement croissante sur [0~;~+\infty[.

PartieB ; 3. Montrer qu'il existe un unique réel \alpha positif tel que f(\alpha) = 0,97.

f(0)=\dfrac12 et \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1 : f est continue et strictement croissante sur [0~;~+\infty[, à valeurs dans \left[\dfrac12~;~1\right[.
Comme 0{,}97\in\left[\dfrac12~;~1\right[, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0{,}97 admet une unique solution \alpha sur [0~;~+\infty[.

PartieB ; 4. À l'aide de la calculatrice, encadrer \alpha par deux entiers consécutifs et interpréter.

À la calculatrice, \alpha\approx17{,}4, donc \alpha\in\,]17~;~18[.

PartieC ; 1. Montrer que, pour tout x de [0 ; +\infty[, f(x) = e^{0,2x} / (1 + e^{0,2x}).

En multipliant numérateur et dénominateur de f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-0,2x}} par e^{0,2x} : f(x) = \dfrac{e^{0,2x}}{e^{0,2x}+1}.

PartieC ; 2. En déduire une primitive de f sur [0 ; +\infty[.

En écrivant \begin{aligned}f(t) &= \dfrac{1}{0{,}2}\times\dfrac{0{,}2e^{0,2t}}{1+e^{0,2t}} \\ &= 5\times\dfrac{0{,}2e^{0,2t}}{1+e^{0,2t}}\end{aligned} on reconnaît une forme \dfrac{u'}{u} (avec u(t)=1+e^{0,2t}>0), de primitive \ln(u).
Une primitive de f est donc F(t) = 5\ln(1+e^{0,2t}).

PartieC ; 3. Calculer la valeur moyenne de f sur [0 ; 40] (valeur exacte puis approchée au millième).

\begin{aligned}\displaystyle I &= \dfrac{1}{40}\displaystyle\int\limits_0^{40}f(t)\,\mathrm{d}t \\ &= \dfrac{1}{40}\left[5\ln(1+e^{0,2t})\right]_0^{40} \\ &= \dfrac{5}{40}\left(\ln(e^{8}+1)-\ln(2)\right)\end{aligned}
I = \dfrac18\ln\left(\dfrac{e^{8}+1}{2}\right) \approx 0,913.

PartieA ; 1. On donne la courbe de f, avec la tangente T_A en A(1 ; 2) passant par C(3 ; 0). Déterminer f'(1).

f'(1) est le coefficient directeur de T_A : \dfrac{0-2}{3-1} = -1.

PartieA ; 2. Combien de solutions l'équation f'(x) = 0 admet-elle sur ]0 ; 3] ?

f'(x)=0 correspond aux points où la tangente est horizontale : d'après le graphique, cela se produit 2 fois sur ]0~;~3].

PartieA ; 3. Quel est le signe de f''(0,2) ?

Sur [0~;~0{,}5], la courbe semble concave d'après le graphique, donc f''(0{,}2)<0.

PartieB ; 1. On admet que f(x) = x[2(ln x)^{2} - 3ln x + 2] sur ]0 ; +\infty[. Résoudre 2X^{2} - 3X + 2 = 0 dans \mathbb{R}, et en déduire que la courbe de f ne coupe pas l'axe des abscisses.

\Delta = (-3)^{2}-4\times2\times2 = 9-16 = -7<0 : l'équation 2X^{2}-3X+2=0 n'a pas de solution réelle.
\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff x[2(\ln x)^{2}-3\ln x+2] = 0 \end{aligned} Comme x>0, cela équivaut à 2(\ln x)^{2}-3\ln x+2=0, soit, en posant X=\ln x, à 2X^{2}-3X+2=0, qui n'a pas de solution.
L'équation f(x)=0 n'a donc pas de solution : la courbe de f ne coupe pas l'axe des abscisses.

PartieB ; 2. Déterminer, en justifiant, la limite de f en +\infty (on admet que la limite en 0 est 0).

f(x) = x(\ln x)^{2}\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^{2}}\right).
\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}x(\ln x)^{2}=+\infty, et \lim\limits_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{3}{\ln x}+\dfrac{2}{(\ln x)^{2}}\right)=2.
Par produit : \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

PartieB ; 3.a On admet que f'(x) = 2(ln x)^{2} + ln x - 1. Montrer que f''(x) = (1/x)(4ln x + 1).

f''(x) = 2\times2\ln x\times\dfrac1x+\dfrac1x = \dfrac{1}{x}(4\ln x+1).

PartieB ; 3.b Étudier la convexité de f sur ]0 ; +\infty[ et préciser l'abscisse exacte du point d'inflexion.

Sur ]0~;~+\infty[, \dfrac1x>0, donc f''(x) est du signe de 4\ln x+1.
\begin{aligned}4\ln x+1 = 0 &\iff \ln x = -\dfrac14 \\ &\iff x = e^{-\dfrac{1}{4}} \end{aligned} 4\ln x+1>0 \iff x>e^{-\dfrac{1}{4}}.
f est donc concave sur \left]0~;~e^{-\dfrac{1}{4}}\right] et convexe sur \left[e^{-\dfrac{1}{4}}~;~+\infty\right[, avec un point d'inflexion d'abscisse exacte e^{-\dfrac{1}{4}}\approx0{,}779.

PartieB ; 3.c Montrer que la courbe de f est au-dessus de la tangente T_B sur ]1 ; +\infty[.

Comme e^{-\dfrac{1}{4}}<1, f est convexe sur [1~;~+\infty[ : sur cet intervalle, la courbe est donc au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier T_B.

PartieC ; 1. Justifier que la tangente T_B (au point d'abscisse e) a pour équation réduite y = 2x - e.

f'(e) = 2(\ln e)^{2}+\ln e-1 = 2+1-1 = 2 et \begin{aligned}f(e) &= e(2\times1-3+2) \\ &= e\times1 \\ &= e\end{aligned}
La tangente en e a pour équation y=f'(e)(x-e)+f(e) = 2(x-e)+e = 2x-e.

PartieC ; 2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale de x ln x entre 1 et e vaut (e^{2} + 1)/4.

On pose u(x)=\ln x et v'(x)=x (donc u'(x)=\dfrac1x et v(x)=\dfrac{x^{2}}{2}).
\begin{aligned}\displaystyle \displaystyle\int\limits_1^{e}x\ln x\,\mathrm{d}x &= \left[\ln x\times\dfrac{x^{2}}{2}\right]_1^{e} - \displaystyle\int\limits_1^{e}\dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^{2}}{2} - \left[\dfrac{x^{2}}{4}\right]_1^{e} \\ &= \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}+\dfrac14 \\ &= \dfrac{e^{2}+1}{4}\end{aligned}

PartieC ; 3. On admet que l'intégrale de x(ln x)^{2} entre 1 et e vaut (e^{2} - 1)/4. En déduire l'aire A du domaine entre la courbe de f, la tangente T_B et les droites x=1 et x=e.

Sur [1~;~e], la courbe est au-dessus de T_B, donc \begin{aligned}\displaystyle \mathcal{A} &= \displaystyle\int\limits_1^{e}[f(x)-(2x-e)]\,\mathrm{d}x \\ &= \displaystyle\int\limits_1^{e}[2x(\ln x)^{2}-3x\ln x+e]\,\mathrm{d}x\end{aligned}
Par linéarité : \begin{aligned}\mathcal{A} &= 2\times\dfrac{e^{2}-1}{4} - 3\times\dfrac{e^{2}+1}{4} + \left[ex\right]_1^{e} \\ &= \dfrac{-e^{2}-5}{4}+(e^{2}-e)\end{aligned}
\mathcal{A} = \dfrac{3e^{2}-4e-5}{4} unités d'aire (soit environ 1,57 u.a.).

PartieA ; 1. D'après le graphique (courbe de d, la distance parcourue par un chariot en zone de freinage), au bout de combien de temps le chariot a-t-il parcouru 15 m ?

Par lecture graphique, d(2)\approx15 : le chariot a parcouru 15 m au bout de 2 secondes.

PartieA ; 2. Quelle longueur minimale prévoir pour la zone de freinage ?

L'asymptote horizontale \Delta de la courbe est proche de y=23 : une zone de 23 mètres semble suffisante.

PartieA ; 3. Que vaut d'(4,7) ? Interpréter.

Le coefficient directeur de la tangente T (passant par (0~;~16{,}5) et (4{,}7~;~21)) vaut \dfrac{21-16{,}5}{4{,}7} \approx 0{,}96 : d'(4{,}7)\approx0{,}96 m/s, c'est la vitesse instantanée du chariot à t=4{,}7 s.

PartieB ; 1.a On modélise la vitesse v, solution de (E) : y' + 0,6y = e^{-0,6t}, avec v(0)=12. Résoudre (E') : y' + 0,6y = 0.

Les solutions de (E') sont les fonctions t\longmapsto Ke^{-0,6t}, avec K\in\mathbb{R}.

PartieB ; 1.b Soit g(t) = te^{-0,6t}. Vérifier que g est solution de (E).

g'(t) = e^{-0,6t}-0{,}6te^{-0,6t} = e^{-0,6t}(1-0{,}6t).
g'(t)+0{,}6g(t) = e^{-0,6t}(1-0{,}6t)+0{,}6te^{-0,6t} = e^{-0,6t}(1-0{,}6t+0{,}6t) = e^{-0,6t}.
g est bien solution de (E).

PartieB ; 1.c En déduire les solutions de (E) sur [0 ; +\infty[.

Les solutions de (E) sont les fonctions t\longmapsto e^{-0,6t}(t+K), avec K\in\mathbb{R}.

PartieB ; 1.d En déduire que v(t) = (12 + t)e^{-0,6t}.

v est de cette forme et vérifie v(0)=12 : \begin{aligned}e^{0}(0+K) = 12 &\iff K = 12 \end{aligned} donc v(t)=(12+t)e^{-0,6t}.

PartieB ; 2.a Montrer que v'(t) = (-6,2 - 0,6t)e^{-0,6t}.

v vérifie (E) : v'(t)+0{,}6v(t)=e^{-0,6t}, donc v'(t) = e^{-0,6t}-0{,}6(12+t)e^{-0,6t} = e^{-0,6t}(1-7{,}2-0{,}6t) = e^{-0,6t}(-6{,}2-0{,}6t).

PartieB ; 2.b En admettant que v(t) = 12e^{-0,6t} + t/e^{0,6t}, déterminer la limite de v en +\infty.

\lim\limits_{t\to+\infty}12e^{-0,6t}=0, et par croissances comparées \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{t}{e^{0,6t}}=0 : par somme, \lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=0 (le chariot finit par s'arrêter).

PartieB ; 2.c Étudier le sens de variation de v sur [0 ; +\infty[ et dresser son tableau de variation.

e^{-0,6t}>0 pour tout t, donc v'(t) est du signe de -6{,}2-0{,}6t, qui est strictement négatif pour tout t\geqslant0.
v est donc strictement décroissante sur [0~;~+\infty[, de v(0)=12 vers 0.

PartieB ; 2.d Montrer que l'équation v(t) = 1 admet une unique solution \alpha, avec une valeur approchée au dixième.

v est continue (dérivable) et strictement décroissante sur [0~;~+\infty[, de 12 à 0 ; comme 1\in\,]0~;~12], d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation v(t)=1 admet une unique solution \alpha.
À la calculatrice : v(4)\approx1{,}5, v(5)\approx0{,}85 (donc {4<\alpha<5}) ; v(4{,}6)\approx1{,}05, v(4{,}7)\approx0{,}995 : \alpha\approx4{,}7.

PartieB ; 3. Déterminer, en justifiant, au bout de combien de temps le système d'arrêt se déclenche (vitesse \leq 1 m/s).

D'après la question précédente, v(t)=1 pour \begin{aligned}t &= \alpha \\ &\approx 4{,}7\end{aligned} s, et v étant décroissante, v(t)\leqslant1 pour t\geqslant\alpha : le système se déclenche au bout d'environ 4,7 secondes.

PartieC ; 1. On admet que d(t) = ∫₀ᵗ v(x) dx. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que d(t) = e^{-0,6t}(-(\dfrac{5}{3})t - \dfrac{205}{9}) + \dfrac{205}{9}.

On pose u(x)=12+x et v'(x)=e^{-0,6x} (donc u'(x)=1 et v(x)=-\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x}).
\begin{aligned}\displaystyle d(t) &= \left[-(12+x)\times\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x}\right]_0^t + \displaystyle\int\limits_0^t\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x}\,\mathrm{d}x \\ &= \left[-(12+x)\times\dfrac{1}{0,6}e^{-0,6x} - \dfrac{1}{0,36}e^{-0,6x}\right]_0^t\end{aligned}
En simplifiant (\frac{1}{0,6}=\frac53 et \frac{1}{0,36}=\frac{25}{9}) : d(t) = e^{-0,6t}\left(-\dfrac53t-\dfrac{205}{9}\right)+\dfrac{205}{9}.

PartieC ; 2. Déterminer, au centième près, la distance parcourue par le chariot avant le déclenchement du dispositif d'arrêt.

Le dispositif se déclenche à t\approx4{,}7 s : d(4{,}7) = e^{-0,6\times4,7}\left(-\dfrac53\times4{,}7-\dfrac{205}{9}\right)+\dfrac{205}{9} \approx 20,95 m.

1.On considère f(x) = x ln(x-2) sur ]2 ; +\infty[, dont la courbe est donnée. Conjecturer le sens de variation, les limites aux bornes et les asymptotes éventuelles.

D'après le graphique, f semble strictement croissante sur ]2~;~+\infty[, avec \lim\limits_{x\to2}f(x)=-\infty (asymptote verticale x=2) et \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

2.Résoudre l'équation f(x) = 0 sur ]2 ; +\infty[.

\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff x\ln(x-2) = 0 \\ &\iff x = 0 \end{aligned} ou \ln(x-2)=0. Comme x>2, x\neq0, donc \begin{aligned}\ln(x-2) = 0 &\iff x-2 = 1 \\ &\iff x = 3 \end{aligned}
L'équation a une unique solution : x=3.

3.Calculer la limite de f(x) quand x tend vers 2 par valeurs supérieures. Ce résultat confirme-t-il une conjecture de la question 1 ?

\lim\limits_{x\to2^{+}}(x-2)=0^{+}, donc par composition \lim\limits_{x\to2^{+}}\ln(x-2)=-\infty ; et \lim\limits_{x\to2^{+}}x=2, donc par produit \lim\limits_{x\to2^{+}}f(x)=-\infty.
Ce résultat confirme la conjecture de limite en 2 et l'asymptote verticale d'équation x=2.

4.Démontrer que, pour tout x de ]2 ; +\infty[, f'(x) = ln(x-2) + x/(x-2).

f est un produit de fonctions dérivables : f'(x) = 1\times\ln(x-2)+x\times\dfrac{1}{x-2} = \ln(x-2)+\dfrac{x}{x-2}.

5.aOn pose g(x) = f'(x). Démontrer que, pour tout x de ]2 ; +\infty[, g'(x) = (x-4)/(x-2)^{2}.

g'(x) = f''(x) = \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1\times(x-2)-x\times1}{(x-2)^{2}} = \dfrac{x-2}{(x-2)^{2}}-\dfrac{2}{(x-2)^{2}} = \dfrac{x-4}{(x-2)^{2}}.

5.bOn admet que la limite de g en 2 (à droite) et en +\infty vaut +\infty. En déduire le tableau de variation de g, avec la valeur exacte de son extremum.

(x-2)^{2}>0, donc g'(x) est du signe de x-4 : négatif sur ]2~;~4[, positif sur ]4~;~+\infty[.
g est donc décroissante sur ]2~;~4] puis croissante sur [4~;~+\infty[, avec un minimum \begin{aligned}g(4) &= \ln(2)+\dfrac{4}{2} \\ &= 2+\ln(2)\end{aligned}

5.cEn déduire que, pour tout x de ]2 ; +\infty[, g(x) > 0.

Le minimum de g est g(4)=2+\ln(2) ; comme \ln(2)>0, {g(4)>2>0} : g(x)>0 pour tout x de ]2~;~+\infty[.

5.dEn déduire le sens de variation de f sur ]2 ; +\infty[.

g=f' est strictement positive sur ]2~;~+\infty[ : f est donc strictement croissante sur cet intervalle.

6.Étudier la convexité de f sur ]2 ; +\infty[ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion.

f'=g est décroissante sur ]2~;~4] (donc f concave) et croissante sur [4~;~+\infty[ (donc f convexe) : f change de convexité en x=4.
\begin{aligned}f(4) &= 4\ln(2) \\ &= \ln(16)\end{aligned} Le point d'inflexion a pour coordonnées (4~;~\ln(16)).

7.Combien de valeurs de x donnent une tangente à la courbe de f de coefficient directeur 3 ?

On cherche f'(x)=3, soit g(x)=3. Or \begin{aligned}g(4) &= 2+\ln(2) \\ &\approx 2{,}7\end{aligned}
Sur ]2~;~4], g est continue et strictement décroissante de +\infty à 2{,}7 : comme 3 est dans cet intervalle, il existe une unique solution \alpha.
Sur [4~;~+\infty[, g est continue et strictement croissante de 2{,}7 à +\infty : il existe de même une unique solution \beta.
Il existe donc exactement deux valeurs de x pour lesquelles la tangente a un coefficient directeur égal à 3.

1.Un cinéma propose le tarif « Classique » à 11 € l'entrée. Combien coûtent 3 entrées avec ce tarif ?

Avec le tarif Classique, 3 entrées coûtent 3\times11 = 33 €.

2.Le tarif « Essentiel » consiste en un abonnement annuel de 50 € puis 5 € par entrée. Montrer qu'avec ce tarif, 8 entrées coûtent 90 €.

Avec le tarif Essentiel, le coût de 8 entrées est 50+8\times5 = 50+40 = 90 €, ce qui confirme l'énoncé.

3.Le tarif « Liberté » consiste en un abonnement annuel de 240 € donnant un accès illimité. En notant x le nombre d'entrées, on considère les fonctions f: x\mapsto50+5x, g: x\mapsto240 et h: x\mapsto11x. Associer chacune de ces fonctions au tarif correspondant.

La fonction f, qui combine un montant fixe de 50 et un coût de 5 par entrée, correspond au tarif « Essentiel ».
La fonction g, constante et égale à 240 quel que soit le nombre d'entrées, correspond au tarif « Liberté ».
La fonction h, proportionnelle au nombre d'entrées avec un coefficient de 11, correspond au tarif « Classique ».

4.Sur un graphique, les droites (d1), (d2) et (d3) représentent respectivement les tarifs Classique, Essentiel et Liberté en fonction du nombre d'entrées. Quel tarif propose un prix proportionnel au nombre d'entrées ?

Seule la fonction h (tarif Classique) est linéaire, de la forme x\mapsto11x sans terme constant : c'est donc le tarif « Classique » qui propose un prix proportionnel au nombre d'entrées.

5.aAvec 150 €, combien d'entrées peut-on acheter au maximum avec le tarif « Essentiel » (aucune justification attendue) ?

On résout 50+5x\leqslant150, soit 5x\leqslant100, soit x\leqslant20.
Avec 150 €, on peut acheter au maximum 20 entrées avec le tarif Essentiel.

5.bÀ partir de combien d'entrées le tarif « Liberté » devient-il le plus intéressant (aucune justification attendue) ?

Le tarif Liberté (240 €) devient plus avantageux que l'Essentiel lorsque 50+5x>240, soit 5x>190, soit x>38.
À partir de 39 entrées, le tarif Liberté est le plus intéressant.

5.cAvec un budget de 200 € maximum, quel tarif permet d'acheter le plus grand nombre d'entrées (aucune justification attendue) ?

Tarif Classique : 11x\leqslant200 donne au plus 18 entrées (11\times18=198).
Tarif Essentiel : 50+5x\leqslant200 donne au plus 30 entrées (50+5\times30=200).
Tarif Liberté : l'abonnement de 240 € dépasse déjà le budget de 200 €, donc ce tarif est inaccessible.
C'est donc le tarif « Essentiel » qui permet d'acheter le plus grand nombre d'entrées, soit 30.

PARTIEA. Des amis, habitant Strasbourg, veulent se rendre à Marseille en voiture de location, puis se déplacer sur place à pied ou en transports en commun. Une agence propose trois formules : A à 0,50 € par kilomètre parcouru ; B avec un forfait fixe de 300 € puis 0,25 € par kilomètre parcouru ; C avec un forfait fixe de 900 € pour un kilométrage illimité. Un tableau des distances indique que Marseille est à 803 km de Strasbourg. Leur budget total pour le voyage est de 1 000 €. 1. Quelle distance vont-ils parcourir pour l'aller-retour ?

Pour l'aller-retour, la distance parcourue est 803\times2 = 1 606 km.

2.En choisissant la formule B, montrer que la location de voiture coûtera 701,50 €.

Avec la formule B, le prix payé est 300 + 1\,606\times0,25.
1\,606\times0,25 = 401,50, donc le prix total est 300 + 401,50 = 701,50 €, ce qui confirme le montant annoncé.

3.Quelle formule de location est la plus avantageuse pour ce trajet de 1 606 km ?

Avec la formule A, le prix payé serait 1\,606\times0,50 = 803 €.
Avec la formule C, le prix payé serait fixe, 900 €.
En comparant les trois montants : 701,50 < 803 < 900, la formule B est donc la plus avantageuse pour ce trajet.

4.On donne : prix moyen du gazole en 2023 : 1,87 € par litre ; consommation de la voiture : 5,6 L pour 100 km ; coût total des péages : 115,80 €. Leur budget de 1 000 € sera-t-il suffisant pour ce voyage (location + carburant + péages), en choisissant la formule B ?

La consommation totale de carburant pour 1 606 km est 1\,606\times\dfrac{5,6}{100} = 89,936 L.
Le coût du carburant est donc 89,936\times1,87 \approx 168,18 € (arrondi au centime).
Le coût total du voyage est la somme de la location, du carburant et des péages : 701,50 + 168,18 + 115,80 = 985,48 €.
Comme 985,48 \leqslant 1\,000, le budget de 1 000 € est suffisant pour ce voyage.

PARTIEB. On étudie maintenant les trois formules de location de façon plus générale, en fonction de la distance parcourue. 5. En notant x le nombre de kilomètres parcourus, exprimer en fonction de x le prix payé avec chacune des trois formules.

6.Sur un graphique, trois courbes représentent le coût de la location (en euros) en fonction de la distance parcourue (en kilomètres) : la courbe 1 est une droite horizontale coupant l'axe des ordonnées à 900, la courbe 2 est une droite croissante coupant l'axe des ordonnées à 300, et la courbe 3 est une droite croissante passant par l'origine. Associer chaque courbe à sa formule (aucune justification n'était demandée, on en donne une ici).

La formule A, 0,5x, est une fonction linéaire : sa représentation est une droite passant par l'origine du repère. C'est donc la courbe 3.
La formule B, 0,25x+300, est une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est 300 : c'est donc la courbe 2.
La formule C, constante et égale à 900, est représentée par une droite horizontale coupant l'axe des ordonnées à 900 : c'est donc la courbe 1.

7.Résoudre l'équation 0,25x+300=0,5x et interpréter le résultat obtenu.

0,25x+300=0,5x \iff 300 = 0,5x-0,25x \iff 300=0,25x \iff x=\dfrac{300}{0,25} \iff x= 1 200.
Cela signifie que pour une distance parcourue de 1 200 km, le prix payé avec la formule A est égal à celui payé avec la formule B.

8.a.Si la distance parcourue est de 2 500 km, quelle formule permet de payer le moins cher (sans justifier) ?

D'après une lecture graphique, pour une distance parcourue de 2 500 km, c'est la formule C qui est la moins chère.

8.b.Donner une distance parcourue pour laquelle la formule A est la plus intéressante (sans justifier).

Toute distance strictement comprise entre 0 et 1 200 km convient, par exemple 600 km (pour ces distances, la courbe 3, qui représente la formule A, est la plus basse).

8.c.Déterminer graphiquement quelle formule est la moins chère en fonction de la distance parcourue, pour une distance inférieure à 2 600 km.

PartieA ; 1. La piscine d'Alain contient 50 m^{3} d'eau ; il ajoute chaque jour 15 g de chlore. Justifier que cet ajout fait augmenter le taux de 0,3 mg/L.

15 g = 15\,000 mg répartis dans 50\,000 L : \dfrac{15\,000}{50\,000} = 0{,}3 mg/L.

PartieA ; 2.a Le taux v_n vérifie v_0=0{,}7 et v_{n+1} = 0{,}92v_n+0{,}3. Montrer par récurrence que, pour tout n, {v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4}.

Initialisation : \begin{aligned}v_1 &= 0{,}92\times0{,}7+0{,}3 \\ &= 0{,}944\end{aligned} donc {v_0\leqslant v_1\leqslant4} : vrai au rang 0.
Hérédité : si {v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4}, en multipliant par 0,92 puis en ajoutant 0,3 : {v_{n+1}\leqslant v_{n+2}\leqslant3{,}98\leqslant4} : vrai au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n, {v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4}.

PartieA ; 2.b Montrer que la suite (v_n) est convergente et calculer sa limite.

(v_n) est croissante et majorée par 4 : elle converge.
La fonction de récurrence x\longmapsto0{,}92x+0{,}3 étant continue, la limite vérifie \begin{aligned}\ell = 0{,}92\ell+0{,}3 &\iff 0{,}08\ell = 0{,}3 \\ &\iff \ell = 3{,}75 \end{aligned}

PartieA ; 3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation (entre 1 et 3 mg/L) ?

La suite converge vers 3,75 : à partir d'un certain rang, le taux dépasse strictement 3 mg/L. Le taux ne sera pas conforme à long terme.

PartieA ; 4. Compléter l'algorithme Python alerte_chlore(s) qui renvoie le plus petit entier n tel que v_n>s.

while u <= s :, puis n = n + 1 et u = 0.92*u + 0.3.

PartieA ; 5. Quelle valeur renvoie alerte_chlore(3) ? Interpréter.

\begin{aligned}v_{16} &\approx 2{,}95 \\ &\leqslant 3\end{aligned} et v_{17}\approx3{,}01>3 : la fonction renvoie 17. Avec ce protocole, le taux de chlore dépassera 3 mg/L au bout de 17 jours.

PartieB ; 1. Un modèle continu vérifie (E) : y' = -0{,}08y+\dfrac{q}{50}. Justifier que f est de la forme f(x) = Ce^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}.

Les solutions de y'=ay+b sont x\longmapsto Ce^{ax}-\dfrac ba ; ici a=-0{,}08 et b=\dfrac{q}{50}, donc \begin{aligned}-\dfrac ba &= \dfrac{q}{50\times0{,}08} \\ &= \dfrac{q}{4}\end{aligned} D'où f(x) = Ce^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}.

PartieB ; 2.a Exprimer, en fonction de q, la limite de f en +\infty.

e^{-0,08x}\to0 : \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = \dfrac{q}{4}.

PartieB ; 2.b Sachant que le taux initial est 0,7 mg/L et que l'on veut une stabilisation à 2 mg/L, déterminer C et q.

Stabilisation à 2 : \begin{aligned}\dfrac q4 = 2 &\iff q = 8 \end{aligned} (grammes de chlore par jour).
\begin{aligned}f(0) = 0{,}7 &\iff C+2 = 0{,}7 \\ &\iff C = -1{,}3 \end{aligned} La fonction est f(x) = -1{,}3e^{-0,08x}+2.

PartieA ; 1. La courbe \mathcal{C}_f passe par B(-1 ; -2), où sa tangente T passe aussi par A(0 ; -1). Préciser f(-1) et f'(-1).

f(-1) = -2 (ordonnée de B), et f'(-1) est le coefficient directeur de T = (AB) : \dfrac{-1-(-2)}{0-(-1)} = 1.

PartieA ; 2. La fonction f est-elle convexe sur son ensemble de définition ?

Non : la courbe passe en dessous de sa tangente T pour les abscisses proches de -2, ce qui est impossible pour une fonction convexe. Elle semble concave puis convexe, avec un point d'inflexion vers x\approx-1{,}4.

PartieA ; 3. Conjecturer le nombre de solutions de f(x)=0 et donner une valeur arrondie à 10^{-1} près.

La courbe ne coupe l'axe des abscisses qu'une seule fois, vers x\approx 0,1.

PartieB ; 1. On considère f(x) = x^2+2x-1+\ln(x+2) sur ]-2~;~+\infty[. Déterminer la limite de f en -2 et interpréter.

x^2+2x-1\to-1 et \ln(x+2)\to-\infty : \lim\limits_{x\to-2}f(x) = -\infty. La droite x=-2 est asymptote verticale à \mathcal{C}_f.

PartieB ; 2. Montrer que, pour tout x>-2, f'(x) = \dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}.

f'(x) = 2x+2+\dfrac{1}{x+2} = \dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2} = \dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}.

PartieB ; 3. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations complet.

Le numérateur 2x^2+6x+5 a pour discriminant \Delta = 36-40 = -4<0 : il est strictement positif pour tout x ; le dénominateur x+2 est positif sur l'intervalle.
f'(x)>0 : f est strictement croissante sur ]-2~;~+\infty[, de -\infty à +\infty.

PartieB ; 4. Montrer que f(x)=0 admet une unique solution \alpha, et donner une valeur arrondie à 10^{-2} près.

f est continue, strictement croissante, de -\infty à +\infty : par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution \alpha. Par balayage : \alpha\approx0{,}12.

PartieB ; 5. En déduire le signe de f(x) sur ]-2~;~+\infty[.

f(x)<0 sur ]-2~;~\alpha[, f(\alpha)=0, et f(x)>0 sur ]\alpha~;~+\infty[.

PartieB ; 6. Montrer que \mathcal{C}_f admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.

f''(x) = \dfrac{(4x+6)(x+2)-(2x^2+6x+5)}{(x+2)^2} = \dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2}, du signe du numérateur.
Le trinôme 2x^2+8x+7 a pour discriminant \Delta = 64-56 = 8>0, avec pour racines -2\pm\dfrac{\sqrt2}{2} ; seule -2+\dfrac{\sqrt2}{2} appartient à l'intervalle.
f'' s'y annule en changeant de signe : l'unique point d'inflexion a pour abscisse -2+\dfrac{\sqrt2}{2}\approx-1{,}29.

PartieC ; 1. Soit g(x) = \ln(x+2), J(0 ; 1) et M le point de \mathcal{C}_g d'abscisse x. Justifier que \begin{aligned}h(x) &= JM^2 \\ &= x^2+[\ln(x+2)-1]^2\end{aligned}

\begin{aligned}JM^2 &= (x-0)^2+\big(g(x)-1\big)^2 \\ &= x^2+[\ln(x+2)-1]^2\end{aligned} (repère orthonormé).

PartieC ; 2.a On admet h'(x) = \dfrac{2f(x)}{x+2}. Dresser le tableau de variations de h.

\dfrac{2}{x+2}>0 sur l'intervalle : h'(x) est du signe de f(x). h décroît sur ]-2~;~\alpha] puis croît sur [\alpha~;~+\infty[, avec un minimum en \alpha.

PartieC ; 2.b En déduire que la distance JM est minimale pour x=\alpha.

La distance JM est minimale lorsque son carré h(x) est minimal (croissance de la racine carrée), c'est-à-dire pour x=\alpha.

PartieC ; 3.a Montrer que \ln(\alpha+2) = 1-2\alpha-\alpha^2.

\begin{aligned}f(\alpha) = 0 &\iff \alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2) = 0 \\ &\iff \ln(\alpha+2) = 1-2\alpha-\alpha^2 \end{aligned}

PartieC ; 3.b En déduire que la tangente à \mathcal{C}_g en M_\alpha et la droite (JM_\alpha) sont perpendiculaires.

La tangente a pour coefficient directeur g'(\alpha) = \dfrac{1}{\alpha+2} ; la droite (JM_\alpha) a pour coefficient directeur \begin{aligned}\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha} &= \dfrac{-2\alpha-\alpha^2}{\alpha} \\ &= -2-\alpha\end{aligned}
Le produit vaut \dfrac{1}{\alpha+2}\times(-2-\alpha) = -1 : les deux droites sont perpendiculaires.

1.Dans un triangle ABC, M est un point du côté [AB] et N un point du côté [AC], tels que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AC = 8,5 cm, AM = 2,7 cm et MB = 2,5 cm. Calculer la longueur AB.

Comme M appartient au segment [AB], on a \text{AB} = \text{AM} + \text{MB} = 2{,}7 + 2{,}5 = 5,2 cm.

2.H est un point du côté [BC] tel que le triangle ABH est rectangle en H, avec BH = 2 cm. Montrer que la longueur AH est égale à 4,8 cm.

Le triangle ABH est rectangle en H, donc, d'après le théorème de Pythagore, \text{AB}^{2} = \text{AH}^{2} + \text{BH}^{2}.
On en tire \text{AH}^{2} = \text{AB}^{2} - \text{BH}^{2} = 5{,}2^{2} - 2^{2} = 27{,}04 - 4 = 23{,}04.
Comme AH est une longueur positive, \text{AH} = \sqrt{23{,}04} = 4,8 cm.

3.Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{ACH}}, arrondie au degré près.

Le triangle AHC est rectangle en H : le côté [AH] est opposé à l'angle \widehat{\text{ACH}}, et [AC] est l'hypoténuse.
D'après la trigonométrie dans le triangle rectangle (SOH-CAH-TOA), \begin{aligned}\sin\widehat{\text{ACH}} &= \dfrac{\text{AH}}{\text{AC}} \\ &= \dfrac{4{,}8}{8{,}5} \\ &\approx 0{,}5647\end{aligned}
À la calculatrice, on trouve \widehat{\text{ACH}} \approx 34{,}4^{\circ}, soit, arrondi au degré près, \widehat{\text{ACH}} \approx 34^{\circ}.

4.Calculer la longueur HC, arrondie au centimètre près.

Le triangle AHC est rectangle en H : le côté [HC] est adjacent à l'angle \widehat{\text{ACH}}, et [AC] est l'hypoténuse.
D'après la trigonométrie dans le triangle rectangle, \cos\widehat{\text{ACH}} = \dfrac{\text{HC}}{\text{AC}}, donc \text{HC} = \text{AC}\times\cos\widehat{\text{ACH}} \approx 8{,}5 \times \cos(34^{\circ}) \approx 7{,}05 cm.
Arrondie au centimètre près, la longueur HC vaut donc environ 7 cm.

5.Un élève affirme que la longueur AN est inférieure à 4 cm. A-t-il raison ?

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles, avec M sur [AB] et N sur [AC] : on peut donc appliquer le théorème de Thalès dans le triangle ABC.
\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}, soit \dfrac{2{,}7}{5{,}2} = \dfrac{\text{AN}}{8{,}5}.
On en déduit \text{AN} = \dfrac{2{,}7 \times 8{,}5}{5{,}2} \approx 4{,}41 cm.
Comme 4{,}41 > 4, la longueur AN n'est pas inférieure à 4 cm : l'élève a tort.

6.Calculer l'aire du triangle AHC.

Le triangle AHC est rectangle en H, donc son aire vaut la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit : \mathcal{A}(\text{AHC}) = \dfrac{\text{AH}\times\text{HC}}{2}.
En utilisant les valeurs arrondies AH = 4,8 cm et HC = 7 cm, on obtient \mathcal{A}(\text{AHC}) = \dfrac{4{,}8 \times 7}{2} = 16,8 cm^{2}.

1.aOn considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\ln\left(1+e^{-x}\right). Déterminer la limite de f en -\infty.

Quand x\to-\infty, -x\to+\infty donc e^{-x}\to+\infty (limite usuelle de l'exponentielle), donc 1+e^{-x}\to+\infty.
Or \lim\limits_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty. Donc, la réponse est \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.

1.bDéterminer la limite de f en +\infty et interpréter graphiquement ce résultat.

Quand x\to+\infty, e^{-x}\to0 donc 1+e^{-x}\to1, et \begin{aligned}\lim\limits_{X\to1}\ln(X) &= \ln(1) \\ &= 0\end{aligned}
Donc, la réponse est \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0. Graphiquement, cela signifie que la courbe \mathcal{C} de f admet l'axe des abscisses (droite d'équation y=0) pour asymptote horizontale en +\infty.

1.cOn admet que f est dérivable sur \mathbb{R}. Calculer f'(x) puis montrer que, pour tout réel x, f'(x)=\dfrac{-1}{1+e^{x}}.

f est de la forme \ln(u) avec u(x)=1+e^{-x} et u'(x)=-e^{-x} ; sa dérivée est donc f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}.
En multipliant numérateur et dénominateur par e^{x} : f'(x) = \dfrac{-e^{-x}\times e^{x}}{(1+e^{-x})\times e^{x}} = \dfrac{-1}{e^{x}+1}.
Donc, la réponse est f'(x)=\dfrac{-1}{1+e^{x}}.

1.dDresser le tableau de variations complet de f sur \mathbb{R}.

Pour tout réel x, e^{x}>0, donc 1+e^{x}>0 et f'(x)=\dfrac{-1}{1+e^{x}}<0 : la fonction f est strictement décroissante sur \mathbb{R}.
Avec les limites établies aux questions précédentes (+\infty en -\infty et 0 en +\infty), on obtient le tableau : f'(x) est négatif sur \mathbb{R}, et f décroît strictement de +\infty (en -\infty) vers 0 (en +\infty), sans jamais atteindre 0.

2.aOn note T_0 la tangente à \mathcal{C} au point d'abscisse 0. Déterminer une équation de T_0.

La tangente en un point d'abscisse a a pour équation y=f'(a)(x-a)+f(a) ; ici a=0.
\begin{aligned}f(0) &= \ln\left(1+e^{0}\right) \\ &= \ln(2)\end{aligned} et f'(0) = \dfrac{-1}{1+e^{0}} = -\dfrac12.
Donc, la réponse est : T_0 a pour équation y=-\dfrac12x+\ln(2).

2.bMontrer que f est convexe sur \mathbb{R}.

f'(x)=\dfrac{-1}{1+e^{x}} ; en dérivant à nouveau, avec u(x)=-1 (constante) et v(x)=1+e^{x} : f''(x) = \dfrac{-v'(x)\times(-1)}{v(x)^2}\times(-1), plus simplement f''(x)=\dfrac{0-(-1)\times e^{x}}{(1+e^{x})^2} = \dfrac{e^{x}}{(1+e^{x})^2}.
Pour tout réel x, e^{x}>0 et (1+e^{x})^2>0, donc f''(x)>0. Donc, la réponse est : f est convexe sur \mathbb{R}.

2.cEn déduire que, pour tout réel x, f(x)\geqslant -\dfrac12x+\ln(2).

Comme f est convexe sur \mathbb{R}, sa courbe représentative \mathcal{C} est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de T_0. Donc, la réponse est : pour tout réel x, f(x)\geqslant -\dfrac12x+\ln(2).

3.aPour un réel a\neq0, on note M_a(-a~;~f(-a)) et N_a(a~;~f(a)) deux points de \mathcal{C}. Montrer que, pour tout réel x, f(x)-f(-x)=-x.

\begin{aligned}f(x)-f(-x) &= \ln\left(1+e^{-x}\right)-\ln\left(1+e^{x}\right) \\ &= \ln\left(\dfrac{1+e^{-x}}{1+e^{x}}\right)\end{aligned} (propriété \ln(a)-\ln(b)=\ln\left(\frac{a}{b}\right)).
En factorisant le numérateur par e^{-x} : 1+e^{-x} = e^{-x}\left(e^{x}+1\right), donc \begin{aligned}\dfrac{1+e^{-x}}{1+e^{x}} &= \dfrac{e^{-x}(1+e^{x})}{1+e^{x}} \\ &= e^{-x}\end{aligned}
Donc \begin{aligned}f(x)-f(-x) &= \ln\left(e^{-x}\right) \\ &= -x\end{aligned}

3.bEn déduire que les droites T_0 et (M_aN_a) sont parallèles.

Le coefficient directeur de la droite (M_aN_a) est \dfrac{y_{N_a}-y_{M_a}}{x_{N_a}-x_{M_a}} = \dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)}.
D'après la question précédente appliquée en x=a, f(a)-f(-a)=-a, donc ce coefficient vaut \dfrac{-a}{2a} = -\dfrac12.
Or T_0 a pour coefficient directeur -\dfrac12 (question 2.a). Les deux droites ayant le même coefficient directeur, donc, la réponse est : T_0 et (M_aN_a) sont parallèles.

PartieA ; 1. Le plan est muni d'un repère orthogonal. On donne les représentations graphiques d'une fonction f deux fois dérivable sur \mathbb{R}, de sa dérivée f' et de sa dérivée seconde f'', notées \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2 et \mathcal{C}_3. Identifier, en justifiant, quelle courbe correspond à quelle fonction.

La courbe \mathcal{C}_2 reste strictement positive sur \mathbb{R} : si elle représentait une dérivée, la fonction associée serait strictement croissante partout, ce qu'aucune des deux autres courbes ne vérifie. \mathcal{C}_2 représente donc f elle-même, qui est strictement croissante.
La dérivée d'une fonction strictement croissante est positive : c'est donc \mathcal{C}_3, seule courbe restant positive et cohérente avec cette croissance, qui représente f'.
Par élimination, \mathcal{C}_1 représente f'' : on vérifie que f' (courbe \mathcal{C}_3) croît puis décroît à partir de l'abscisse 4, ce qui correspond bien au changement de signe de \mathcal{C}_1 autour de cette valeur.

PartieA ; 2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C}_2 au point d'abscisse 4.

Ce coefficient directeur vaut f'(4), c'est-à-dire l'ordonnée du point d'abscisse 4 sur la courbe \mathcal{C}_3 (courbe de f'), soit environ 3 par lecture graphique.

PartieA ; 3. Donner, avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe \mathcal{C}_1.

Les points d'inflexion de \mathcal{C}_1 (courbe de f'') correspondent aux changements de sens de variation visibles sur le graphique, soit environ aux abscisses 3, 4 et 5.

PartieB : Soit k un réel strictement positif et g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=\dfrac{4}{1+e^{-kx}}. 1. Déterminer les limites de g en +\infty et en -\infty.

Comme k>0, quand x\to-\infty, -kx\to+\infty donc e^{-kx}\to+\infty par composition ; par somme 1+e^{-kx}\to+\infty, donc, par quotient, g(x)\to0.
Quand x\to+\infty, -kx\to-\infty donc e^{-kx}\to0 par composition ; par somme 1+e^{-kx}\to1, donc, par quotient, g(x)\to4.
Donc, la réponse est \lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=0 et \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=4.

PartieB ; 2. Montrer que g'(0)=k.

g est dérivable sur \mathbb{R} comme composée et quotient de fonctions dérivables ne s'annulant pas. En écrivant g=\dfrac{4}{u} avec u(x)=1+e^{-kx}, on a u'(x)=-ke^{-kx}, donc g'=-\dfrac{4u'}{u^2}, soit g'(x)=\dfrac{4ke^{-kx}}{\left(1+e^{-kx}\right)^2}.
En x=0 : g'(0)=\dfrac{4k\,e^{0}}{(1+e^{0})^2}=\dfrac{4k}{2^2}=\dfrac{4k}{4}=k. Donc, la réponse est g'(0)=k.

PartieB ; 3. Sachant qu'un logiciel de calcul formel donne g''(x)=-4e^{kx}\left(e^{kx}-1\right)\dfrac{k^2}{\left(e^{kx}+1\right)^3}, prouver que la courbe de g admet un point d'inflexion à l'abscisse 0.

La courbe admet un point d'inflexion en un réel où g'' s'annule en changeant de signe : il faut donc étudier le signe de g''(x).
Le facteur \dfrac{4k^2e^{kx}}{\left(e^{kx}+1\right)^3} est strictement positif pour tout réel x (exponentielle positive, k^2>0). Le signe de g''(x) est donc celui de -\left(e^{kx}-1\right)=1-e^{kx}.
Or 1-e^{kx}>0 \iff e^{kx}<1 \iff kx<0 \iff x<0 (car k>0). Donc g''(x) est strictement positive sur ]-\infty~;~0[, nulle en 0, et strictement négative sur ]0~;~+\infty[ : g'' change bien de signe en 0.
Donc, la réponse est que la courbe de g admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.

PartieA : On considère les fonctions f et g définies sur [0~;~+\infty[ par f(x) = 0{,}06\left(-x^2+13{,}7x\right) et g(x) = (-0{,}15x+2{,}2)\text{e}^{0,2x}-2{,}2. On admet que f et g sont dérivables sur [0~;~+\infty[, de dérivées respectives f' et g'. On donne le tableau de variations complet de f : croissante sur [0~;~6{,}85] de f(0)=0 à f(6{,}85), puis décroissante sur [6{,}85~;~+\infty[ vers -\infty. 1.a Justifier la limite de f en +\infty.

Pour tout x>0, f(x) = 0{,}06x^2\left(-1+\dfrac{13{,}7}{x}\right).
Or \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{13{,}7}{x} = 0, donc \lim\limits_{x\to+\infty}\left(-1+\dfrac{13{,}7}{x}\right) = -1 ; de plus \lim\limits_{x\to+\infty}0{,}06x^2 = +\infty.
Par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty.

1.bJustifier les variations de la fonction f affichées dans le tableau.

f est une fonction polynôme, donc dérivable sur [0~;~+\infty[, avec f'(x) = 0{,}06\times(-2x+13{,}7) = -0{,}12x+0{,}822.
f'(x) > 0 \iff -0{,}12x+0{,}822 > 0 \iff x < \dfrac{0{,}822}{0{,}12} = 6{,}85, et de même f'(x) < 0 \iff x > 6{,}85.
Donc, f est croissante sur [0~;~6{,}85] et décroissante sur [6{,}85~;~+\infty[, conformément au tableau donné.

1.cRésoudre l'équation f(x)=0.

\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff 0{,}06\left(-x^2+13{,}7x\right) = 0 \\ &\iff -x^2+13{,}7x = 0 \\ &\iff x(13{,}7-x) = 0 \end{aligned}
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul, donc x=0 ou x=13{,}7.
Donc, l'ensemble des solutions est S=\{0~;~13{,}7\}.

2.aDéterminer la limite de g en +\infty.

\lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}15x+2{,}2) = -\infty et \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{0,2x} = +\infty (limite usuelle de la fonction exponentielle).
Par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}15x+2{,}2)\text{e}^{0,2x} = -\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}g(x) = -\infty.

2.bDémontrer que, pour tout réel x\in[0~;~+\infty[, g'(x) = (-0{,}03x+0{,}29)\text{e}^{0,2x}.

g est un produit de deux fonctions dérivables sur [0~;~+\infty[ : x\mapsto-0{,}15x+2{,}2, de dérivée -0{,}15, et x\mapsto\text{e}^{0,2x}, de dérivée x\mapsto0{,}2\text{e}^{0,2x} (la constante -2{,}2 ayant une dérivée nulle).
g'(x) = -0{,}15\,\text{e}^{0,2x} + (-0{,}15x+2{,}2)\times0{,}2\,\text{e}^{0,2x} = \text{e}^{0,2x}\left(-0{,}15-0{,}03x+0{,}44\right) = \text{e}^{0,2x}(-0{,}03x+0{,}29).
Donc, pour tout réel x\in[0~;~+\infty[, g'(x) = (-0{,}03x+0{,}29)\text{e}^{0,2x}.

2.cÉtudier les variations de g sur [0~;~+\infty[ et donner une valeur approchée à 10^{-2} près de son maximum.

Pour tout x\geqslant0, \text{e}^{0,2x} > 0, donc g'(x) est du signe de -0{,}03x+0{,}29.
-0{,}03x+0{,}29 > 0 \iff x < \dfrac{0{,}29}{0{,}03} = \dfrac{29}{3}, et de même g'(x) < 0 \iff x > \dfrac{29}{3}.
Donc, g est croissante sur \left[0~;~\dfrac{29}{3}\right] et décroissante sur \left[\dfrac{29}{3}~;~+\infty\right[ : g admet donc un maximum en \dfrac{29}{3}.
g\left(\dfrac{29}{3}\right) = \left(-0{,}15\times\dfrac{29}{3}+2{,}2\right)\text{e}^{0,2\times\frac{29}{3}}-2{,}2 \approx 2{,}98 (arrondi au centième).

2.dMontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution non nulle sur [0~;~+\infty[ et déterminer, à 10^{-2} près, une valeur approchée de cette solution.

On remarque déjà que g(0) = (0+2{,}2)\text{e}^0-2{,}2 = 2{,}2-2{,}2 = 0 : x=0 est donc une solution évidente.
Sur l'intervalle \left[\dfrac{29}{3}~;~+\infty\right[, la fonction g est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98 vers -\infty.
Comme 0 appartient à l'intervalle \left]-\infty~;~2{,}98\right[, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la stricte monotonie), l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur cet intervalle, avec \alpha\neq0 puisque {\alpha>\dfrac{29}{3}>0}.
À la calculatrice, on obtient \alpha\approx13{,}72 (arrondi au centième).

PartieB : On admet que 13{,}7 annule f et est une approximation de la valeur qui annule g. Pour x représentant, en dizaine de yards, la distance horizontale parcourue par une balle de golf après la frappe (avec 0<x<13{,}7), f(x) (ou g(x), selon le modèle choisi) représente la hauteur correspondante de la balle, dans la même unité. L'angle de décollage est l'angle d tel que \tan(d) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 ; l'angle d'atterrissage est l'angle a tel que \tan(a) est l'opposé du coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 13{,}7. Première modélisation (fonction f) ; 1.a Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle ?

D'après la Partie A, le maximum de f sur [0~;~+\infty[ est atteint en x=6{,}85, avec \begin{aligned}f(6{,}85) &= 0{,}06\left(-6{,}85^2+13{,}7\times6{,}85\right) \\ &= 2{,}81535\end{aligned}
Cette hauteur est exprimée en dizaine de yards, donc, en yards, la hauteur maximale atteinte par la balle vaut 28{,}1535 yards, soit environ 28,2 yards.

1.bVérifier que f'(0) = 0{,}822.

D'après la question 1.b de la Partie A, f'(x) = -0{,}12x+0{,}822, donc f'(0) = 0{,}822.

1.cDonner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle selon ce modèle, arrondie au dixième.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est f'(0) = 0{,}822, donc l'angle de décollage d vérifie \tan(d) = 0{,}822.
À l'aide de la calculatrice (ou du tableau fourni dans l'énoncé), d = \arctan(0{,}822) \approx 39{,}4^{\circ} (arrondi au dixième).

1.dQuelle propriété graphique de la courbe de f permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux, selon ce modèle ?

La courbe de f est un arc de parabole, symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x=6{,}85 (l'abscisse de son sommet, qui est le milieu de l'intervalle [0~;~13{,}7]). Cette symétrie échange les points d'abscisses 0 et 13{,}7 et transforme donc la tangente en 0 en la tangente en 13{,}7 (à une réflexion près), ce qui justifie que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux.

Seconde modélisation (fonction g) ; 2.a Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle selon ce modèle ? (On précise que g'(0)=0{,}29 et g'(13{,}7)\approx-1{,}87.)

D'après la question 2.c de la Partie A, le maximum de g sur [0~;~+\infty[ vaut g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98, exprimé en dizaine de yards.
Donc, en yards, la hauteur maximale atteinte par la balle vaut environ 29,8 yards selon ce modèle.

2.bDonner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle selon ce modèle, arrondie au dixième.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0 est g'(0) = 0{,}29, donc l'angle de décollage d vérifie \tan(d) = 0{,}29.
À l'aide de la calculatrice (ou du tableau fourni), d = \arctan(0{,}29) \approx 16{,}2^{\circ} (arrondi au dixième).

2.cJustifier que 62 est une valeur approchée, arrondie à l'unité, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle selon ce modèle.

L'angle d'atterrissage a vérifie \tan(a) = -g'(13{,}7), l'opposé du coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 13{,}7.
Comme g'(13{,}7)\approx-1{,}87, on a \tan(a) \approx 1{,}87, d'où \begin{aligned}a &= \arctan(1{,}87) \\ &\approx 61{,}9\end{aligned}^{\circ}, soit 62^{\circ} arrondi à l'unité.

PartieC : Des observations sur des joueurs professionnels donnent, en moyenne : angle de décollage 24^{\circ}, hauteur maximale 32 yards, angle d'atterrissage 52^{\circ}, distance horizontale au point de chute 137 yards (soit 13{,}7 dizaines de yards, cohérent avec les deux modèles). Quel modèle, parmi les deux étudiés, semble le plus adapté pour décrire la frappe d'un joueur professionnel ? Justifier.

Comparons les deux modèles aux observations professionnelles (angle de décollage 24^{\circ}, hauteur maximale 32 yards, angle d'atterrissage 52^{\circ}) :
Avec le modèle f : angle de décollage \approx39{,}4^{\circ} (net écart avec 24^{\circ}, surestimation), hauteur maximale \approx28{,}2 yards (sous-estimation), angles de décollage et d'atterrissage égaux entre eux (alors que les observations donnent 24^{\circ} et 52^{\circ}, très différents).
Avec le modèle g : angle de décollage \approx16{,}2^{\circ} (sous-estimation, mais ordre de grandeur plus proche que f), hauteur maximale \approx29{,}8 yards (sous-estimation, mais plus proche de 32 que le modèle f), angle d'atterrissage \approx62^{\circ} (surestimation, mais du même ordre que 52^{\circ}, et surtout nettement supérieur à l'angle de décollage comme dans les observations).
Le modèle g reproduit qualitativement le fait que l'angle d'atterrissage est bien plus grand que l'angle de décollage (comportement observé chez les professionnels), ce que le modèle f, de par sa symétrie, est structurellement incapable de reproduire.
Donc, même si aucun des deux modèles ne redonne exactement les valeurs observées, le modèle g semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel.

1.a.On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0~;~+\infty[ par f(x) = x^2 - 6x + 4\ln(x). Déterminer \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) et interpréter graphiquement ce résultat.

Quand x tend vers 0, on a \displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0 et \displaystyle\lim_{x \to 0} -6x = 0, tandis que \displaystyle\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty, donc \displaystyle\lim_{x \to 0} 4\ln(x) = -\infty.
Par somme de limites, on obtient \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty.
Graphiquement, cela signifie que la droite d'équation x=0 (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe \mathcal{C}_f.

1.b.Déterminer \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x).

Pour x>0, on factorise : x^2 - 6x = x^2\left(1-\dfrac{6}{x}\right).
Or \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6}{x} = 0, donc \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{6}{x}\right) = 1, et comme \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty, par produit de limites \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\left(1-\dfrac{6}{x}\right) = +\infty.
De plus \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 4\ln(x) = +\infty, donc, par somme de limites, \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.

2.a.Déterminer f'(x) pour tout réel x de ]0~;~+\infty[.

La fonction f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme de fonctions dérivables, et f'(x) = 2x - 6 + \dfrac{4}{x} = \dfrac{2x^2-6x+4}{x}.

2.b.Étudier le signe de f'(x) sur ]0~;~+\infty[ et en déduire le tableau de variations de f.

Comme x>0 sur l'intervalle d'étude, le signe de f'(x) = \dfrac{2x^2-6x+4}{x} est celui du numérateur 2x^2-6x+4, c'est-à-dire celui de x^2-3x+2 (même signe, car on divise par 2>0).
Ce trinôme a pour racines évidentes 1 et 2 (leur somme vaut 3 et leur produit 2, ce qui correspond bien aux coefficients), donc x^2-3x+2 = (x-1)(x-2).
Un trinôme du second degré de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines et positif à l'extérieur : f'(x)<0 sur ]1~;~2[ et f'(x)>0 sur ]0~;~1[\cup]2~;~+\infty[, avec f'(1)=f'(2)=0.
La fonction f est donc strictement croissante sur ]0~;~1], strictement décroissante sur [1~;~2], puis strictement croissante sur [2~;~+\infty[.
On calcule les valeurs aux bornes : \begin{aligned}f(1) &= 1-6+4\ln(1) \\ &= 1-6+0 \\ &= -5\end{aligned} et \begin{aligned}f(2) &= 4-12+4\ln(2) \\ &= 4\ln(2)-8 \\ &\approx -5{,}23\end{aligned}
Le tableau de variations de f sur ]0~;~+\infty[ part donc de -\infty (limite en 0), croît jusqu'à -5 en x=1, décroît jusqu'à 4\ln(2)-8 en x=2, puis croît vers +\infty (limite en +\infty).

3.Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans l'intervalle [4~;~5].

On calcule les images des bornes : \begin{aligned}f(4) &= 16-24+4\ln(4) \\ &= -8+8\ln(2) \\ &\approx -2{,}45\end{aligned} et \begin{aligned}f(5) &= 25-30+4\ln(5) \\ &= 4\ln(5)-5 \\ &\approx 1{,}44\end{aligned}
Ainsi f(4)<0<f(5). Or, d'après la question précédente, l'intervalle [4~;~5] est inclus dans [2~;~+\infty[, sur lequel f est continue (car dérivable) et strictement croissante.
Donc, d'après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha dans l'intervalle [4~;~5].

4.a.On admet que, pour tout x de ]0~;~+\infty[, f''(x) = \dfrac{2x^2-4}{x^2}. Étudier la convexité de f sur ]0~;~+\infty[ et préciser les coordonnées exactes des éventuels points d'inflexion de \mathcal{C}_f.

Comme x>0, le dénominateur x^2 est strictement positif, donc le signe de f''(x) est celui du numérateur 2x^2-4.
On résout \begin{aligned}2x^2-4 = 0 &\iff x^2 = 2 \\ &\iff x = \sqrt{2} \end{aligned} ou x=-\sqrt{2} ; seule la solution x=\sqrt{2} appartient à ]0~;~+\infty[.
Le trinôme 2x^2-4 est négatif entre ses racines et positif à l'extérieur, donc, restreint à ]0~;~+\infty[ : f''(x)<0 sur ]0~;~\sqrt{2}[ et f''(x)>0 sur ]\sqrt{2}~;~+\infty[.
Donc f est concave sur ]0~;~\sqrt{2}] et convexe sur [\sqrt{2}~;~+\infty[.
Comme f'' s'annule en x=\sqrt{2} en changeant de signe, la courbe \mathcal{C}_f admet un unique point d'inflexion, d'abscisse \sqrt{2}.
Son ordonnée vaut \begin{aligned}f(\sqrt{2}) &= 2 - 6\sqrt{2} + 4\ln(\sqrt{2}) \\ &= 2-6\sqrt{2}+4\times\dfrac12\ln(2) \\ &= 2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\end{aligned}
Donc, le point d'inflexion de \mathcal{C}_f a pour coordonnées exactes \left(\sqrt{2}~;~2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\right).

4.b.On note A le point de coordonnées \left(\sqrt{2}~;~f(\sqrt{2})\right). Soit t un réel strictement positif tel que t\ne\sqrt{2} et M le point de coordonnées (t~;~f(t)). En utilisant la question 4.a., indiquer, selon la valeur de t, les positions relatives du segment [AM] et de la courbe \mathcal{C}_f.

Le segment [AM] est une corde de la courbe \mathcal{C}_f joignant le point d'inflexion A au point M.
Si t \in ]0~;~\sqrt{2}[, les points A et M sont tous deux situés sur la partie de \mathcal{C}_f où f est concave : une corde d'une courbe concave est toujours située en dessous de la courbe, donc le segment [AM] est en dessous de \mathcal{C}_f.
Si t \in ]\sqrt{2}~;~+\infty[, les points A et M sont tous deux situés sur la partie de \mathcal{C}_f où f est convexe : une corde d'une courbe convexe est toujours située au-dessus de la courbe, donc le segment [AM] est au-dessus de \mathcal{C}_f.

Dansun pays, 7 % de la population est atteinte d'une certaine maladie. Un test de dépistage a été mis au point : chez les personnes malades, le test est négatif dans 20 % des cas ; chez les personnes saines, le test est positif dans 1 % des cas. On choisit une personne au hasard dans la population et on la teste. On note M l'évènement « la personne est malade » et T l'évènement « le test est positif ». 1. Calculer la probabilité de l'évènement M\cap T (un arbre pondéré peut aider).

On construit un arbre pondéré à deux niveaux. Le premier niveau distingue M (probabilité P(M)=0{,}07) et \overline{M}, probabilité \begin{aligned}P(\overline{M}) &= 1-0{,}07 \\ &= 0{,}93\end{aligned}
Chez les malades, le test est négatif dans 20 % des cas, donc positif dans les 80 % restants : P_M(T)=0{,}8 et P_M(\overline{T})=0{,}2.
Chez les personnes saines, le test est positif dans 1 % des cas : P_{\overline{M}}(T)=0{,}01 et P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}99.
D'après la définition des probabilités conditionnelles sur une branche de l'arbre : P(M\cap T) = P(M)\times P_M(T) = 0{,}07\times0{,}8 = 0,056.

2.Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie soit positif vaut 0{,}0653.

Les évènements M et \overline{M} forment une partition de l'univers (chaque personne est soit malade, soit saine). D'après la formule des probabilités totales : P(T) = P(M\cap T) + P(\overline{M}\cap T).
On calcule la seconde branche : \begin{aligned}P(\overline{M}\cap T) &= P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T) \\ &= 0{,}93\times0{,}01 \\ &= 0{,}0093\end{aligned}
D'où P(T) = 0{,}056 + 0{,}0093 = 0,0653, ce qui est le résultat annoncé.

3.Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître P_M(T) ou P_T(M) ?

P_M(T) est la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade : c'est une caractéristique technique du test, fixée à l'avance et connue avant tout dépistage.
P_T(M) est la probabilité que la personne soit réellement malade sachant que son test est positif : c'est l'information qui intéresse un patient ou un médecin une fois le résultat du test obtenu.
Donc, la réponse est que, dans un contexte de dépistage, il est plus pertinent de connaître P_T(M), qui répond directement à la question « ce test positif signifie-t-il vraiment que je suis malade ? ».

4.On considère que la personne choisie a eu un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? (arrondir au centième)

D'après la définition de la probabilité conditionnelle : \begin{aligned}P_T(M) &= \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\ &= \dfrac{0{,}056}{0{,}0653}\end{aligned}
Donc, la réponse est P_T(M)\approx 0,86 au centième près.

5.aOn choisit, avec remise, 10 personnes au hasard dans la population, et X compte parmi elles le nombre de tests positifs. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par X.

Le tirage avec remise assure l'indépendance des 10 tirages, chacun ayant deux issues possibles (test positif ou non) avec la même probabilité de succès \begin{aligned}p &= P(T) \\ &= 0{,}0653\end{aligned} à chaque tirage. Donc, la réponse est que X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}0653.

5.bDéterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif (arrondir au centième).

D'après la formule de la loi binomiale : P(X=2) = \dbinom{10}{2}\times0{,}0653^2\times(1-0{,}0653)^8.
Donc, la réponse est P(X=2)\approx 0,11 au centième près.

6.Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif soit supérieure à 99 %.

Soit n le nombre de personnes testées et Y la variable aléatoire qui compte, parmi elles, le nombre de tests positifs. Le tirage avec remise assure que Y suit la loi binomiale de paramètres n et p=0{,}0653.
L'évènement contraire de « au moins un test positif » est « aucun test positif », c'est-à-dire Y=0. On cherche donc le plus petit entier n tel que \begin{aligned}P(Y\geqslant1) &= 1-P(Y=0) \\ &\geqslant 0{,}99\end{aligned}
Or \begin{aligned}P(Y=0) &= (1-0{,}0653)^n \\ &= 0{,}9347^n\end{aligned} donc l'inégalité devient \begin{aligned}1-0{,}9347^n \geqslant 0{,}99 &\iff 0{,}9347^n \leqslant 0{,}01 \end{aligned}
En appliquant le logarithme népérien, strictement croissant, des deux côtés : n\ln(0{,}9347) \leqslant \ln(0{,}01). Comme \ln(0{,}9347)<0, diviser par ce nombre inverse le sens de l'inégalité : n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9347)}.
À la calculatrice, \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9347)}\approx68{,}19. Le plus petit entier n vérifiant cette inégalité est donc n=69, on vérifie qu'avec n=68, 1-0{,}9347^{68}\approx0{,}9899<0{,}99, alors qu'avec n=69, \begin{aligned}1-0{,}9347^{69} &\approx 0{,}9905 \\ &\geqslant 0{,}99\end{aligned}
Donc, la réponse est qu'il faut tester au minimum 69 personnes.