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PartieA ; 1.a Une donnée binaire (0 ou 1) est transmise de machine en machine, fidèlement (90 %) ou de façon contraire (10 %). V_n : « la n-ième machine détient 1 ». Compléter l'arbre de probabilité.

Chaque transmission fidèle a une probabilité 0,9 et chaque transmission contraire 0,1 : l'arbre a pour branches P_{V_n}(V_{n+1})=0{,}9, P_{V_n}(\overline{V_{n+1}})=0{,}1, P_{\overline{V_n}}(V_{n+1})=0{,}1, P_{\overline{V_n}}(\overline{V_{n+1}})=0{,}9.

PartieA ; 1.b Démontrer que P(V_3) = 0,82 et interpréter.

\{V_2,\overline{V_2}\} forme une partition, donc, d'après la formule des probabilités totales : P(V_3) = P(V_2)\times P_{V_2}(V_3)+P(\overline{V_2})\times P_{\overline{V_2}}(V_3).
P(V_2)=0{,}9 (car P(V_1)=1), donc \begin{aligned}P(V_3) &= 0{,}9\times0{,}9+0{,}1\times0{,}1 \\ &= 0{,}81+0{,}01 \\ &= 0{,}82\end{aligned}
Cela signifie qu'il y a 82 % de chances que la troisième machine détienne la valeur 1.

PartieA ; 1.c Sachant que la troisième machine a reçu 1, calculer la probabilité que la deuxième ait aussi reçu 1.

P_{V_3}(V_2) = \dfrac{P(V_2\cap V_3)}{P(V_3)} = \dfrac{0{,}9\times0{,}9}{0{,}82} = \dfrac{81}{82} \approx 0,988.

PartieA ; 2.a On note p_n=P(V_n), p_1=1. Démontrer que, pour tout entier n \geq 1, p_{n+1} = 0,8p_n + 0,1.

\{V_n,\overline{V_n}\} forme une partition, donc \begin{aligned}p_{n+1} &= P(V_n)\times P_{V_n}(V_{n+1})+P(\overline{V_n})\times P_{\overline{V_n}}(V_{n+1}) \\ &= 0{,}9p_n+0{,}1(1-p_n)\end{aligned}
\begin{aligned}p_{n+1} &= 0{,}9p_n+0{,}1-0{,}1p_n \\ &= 0{,}8p_n+0{,}1\end{aligned}

PartieA ; 2.b Démontrer par récurrence que, pour tout entier n \geq 1, p_n = 0,5 \times 0,8^{n-1} + 0,5.

Initialisation : pour n=1, \begin{aligned}0{,}5\times0{,}8^{0}+0{,}5 &= 0{,}5+0{,}5 \\ &= 1 \\ &= p_1\end{aligned} La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : on suppose que, pour un entier n\geqslant1, p_n=0{,}5\times0{,}8^{n-1}+0{,}5. Alors : \begin{aligned}p_{n+1} &= 0{,}8p_n+0{,}1 \\ &= 0{,}8(0{,}5\times0{,}8^{n-1}+0{,}5)+0{,}1 \\ &= 0{,}5\times0{,}8^{n}+0{,}4+0{,}1 \\ &= 0{,}5\times0{,}8^{n}+0{,}5\end{aligned} La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n\geqslant1, p_n=0{,}5\times0{,}8^{n-1}+0{,}5.

PartieA ; 2.c Calculer la limite de p_n et interpréter.

Comme {-1<0{,}8<1}, \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}8^{n-1}=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}p_n = 0{,}5.
Quand le nombre de machines tend vers l'infini, la probabilité que la dernière détienne la valeur 1 tend vers 0,5 (la donnée devient totalement aléatoire).

PartieB ; 1. On donne un script Python simulation(n) (donnee=1 ; puis pour chaque étape : if rand()<0.1: donnee=1-donnee). Déterminer le rôle des lignes « if rand()<0.1 » et « donnee=1-donnee ».

rand() renvoie un nombre aléatoire de [0~;~1[ ; la condition rand()<0.1 est donc vraie avec une probabilité de 0{,}1 (proportionnelle à la longueur de l'intervalle [0~;~0{,}1[).
Cette ligne simule donc l'évènement « transmission contraire » (probabilité 0,1) ; la ligne donnee = 1 - donnee inverse alors la valeur (0 devient 1, 1 devient 0), simulant cette transmission contraire.

PartieB ; 2. Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie [1,1,1,1,1] et que simulation(6) renvoie [1,0,1,0,0,1,1].

[1,1,1,1,1] correspond à 4 transmissions fidèles successives : P = 0{,}9^{4} = 0{,}6561 \approx 0,656.
[1,0,1,0,0,1,1] correspond à 3 transmissions contraires, puis fidèle, puis contraire, puis fidèle : P = 0{,}1^{3}\times0{,}9\times0{,}1\times0{,}9 = 0{,}9^{2}\times0{,}1^{4} = 8{,}1\times10^{-5} \approx 0,000 (au millième).

Affirmation 1. Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0. Vraie ou fausse ?

Une telle suite converge vers une limite \ell\geqslant0, mais pas nécessairement 0 : par exemple, la suite u_n = 1+\dfrac1n est décroissante, minorée par 0, et converge vers 1. L'affirmation est fausse.

Affirmation 2. Si, pour tout entier n, u_n\leqslant\dfrac{-9^n+3^n}{7^n}, alors \lim u_n = -\infty. Vraie ou fausse ?

\dfrac{-9^n+3^n}{7^n} = -\left(\dfrac97\right)^n\left(1-\left(\dfrac13\right)^n\right) ; comme \left(\dfrac97\right)^n\to+\infty et 1-\left(\dfrac13\right)^n\to1, le majorant tend vers -\infty.
Par comparaison, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = -\infty. L'affirmation est vraie.

Affirmation 3. La fonction Python terme(N) initialise U=1 puis effectue U=U+i pour i dans range(N). L'appel terme(4) renvoie 7. Vraie ou fausse ?

Les valeurs successives de U sont : 1+0=1, puis 1+1=2, puis 2+2=4, puis 4+3=7. L'affirmation est vraie.

Affirmation 4. Prix A : 1 000 € par jour pendant 15 jours. Prix B : 1 € le 1er jour, la somme double chaque jour pendant 15 jours. Le prix A vaut plus que le prix B. Vraie ou fausse ?

Prix A : 1\,000\times15 = 15\,000 €.
Prix B : somme des 15 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2, soit \begin{aligned}\dfrac{1-2^{15}}{1-2} &= 2^{15}-1 \\ &= 32\,767\end{aligned} €.
32\,767 > 15\,000 : l'affirmation est fausse, le prix B est nettement plus avantageux.

Affirmation 5. La suite \displaystyle v_n = \displaystyle\int\limits_1^{n}\ln(x)\,\mathrm{d}x (pour n\geqslant1) est croissante. Vraie ou fausse ?

Par la relation de Chasles : \displaystyle v_{n+1}-v_n = \displaystyle\int\limits_n^{n+1}\ln(x)\,\mathrm{d}x.
Sur [n~;~n+1]\subset[1~;~+\infty[, \ln(x)\geqslant0 : cette intégrale est positive, donc v_{n+1}\geqslant v_n. L'affirmation est vraie.

PartieA ; 1. Soit f(x) = x^2-x\ln(x) sur ]0~;~+\infty[. Déterminer les limites de f en 0 et en +\infty.

En 0 : x^2\to0 et, par croissances comparées, x\ln(x)\to0 : \lim\limits_{x\to0}f(x) = 0.
En +\infty : f(x) = x^2\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right), avec \dfrac{\ln(x)}{x}\to0 : le facteur entre parenthèses tend vers 1, et x^2\to+\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.

PartieA ; 2. Calculer f'(x) pour tout réel x>0.

f'(x) = 2x-\ln(x)-x\times\dfrac1x = 2x-1-\ln(x).

PartieA ; 3. Montrer que f''(x) = \dfrac{2x-1}{x}.

f''(x) = 2-\dfrac1x = \dfrac{2x-1}{x}.

PartieA ; 4. Étudier les variations de f' sur ]0~;~+\infty[ et dresser son tableau de variations (avec la valeur exacte de l'extremum).

Sur ]0~;~+\infty[, x>0, donc f''(x) est du signe de 2x-1 : négatif sur \left]0~;~\dfrac12\right[, positif au-delà.
f' décroît puis croît, avec un minimum en x=\dfrac12 : f'\left(\dfrac12\right) = 1-1-\ln\left(\dfrac12\right) = \ln(2).

PartieA ; 5. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur ]0~;~+\infty[.

Le minimum de f' vaut \ln(2)>0 : f'(x)>0 sur tout l'intervalle, donc f est strictement croissante sur ]0~;~+\infty[.

PartieB ; 1. Soit g(x) = x-\ln(x) sur ]0~;~+\infty[. Calculer g'(x) et dresser le tableau des variations de g.

g'(x) = 1-\dfrac1x = \dfrac{x-1}{x}, du signe de x-1 : g décroît sur ]0~;~1] puis croît sur [1~;~+\infty[, avec un minimum \begin{aligned}g(1) &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

PartieB ; 2. Sachant que 1 est l'unique solution de g(x)=1, résoudre l'équation f(x)=x sur ]0~;~+\infty[.

\begin{aligned}f(x) = x &\iff x^2-x\ln(x)-x = 0 \\ &\iff x\big(x-1-\ln(x)\big) = 0 \end{aligned} comme x>0, cela équivaut à x-\ln(x) = 1, soit g(x)=1.
L'unique solution est donc x=1.

PartieC ; 1. Soit (u_n) définie par u_0=\dfrac12 et u_{n+1}=f(u_n). Montrer par récurrence que, pour tout n, {\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant1}.

Initialisation : \begin{aligned}u_1 &= f\left(\dfrac12\right) \\ &= \dfrac14+\dfrac{\ln(2)}{2} \\ &\approx 0{,}597\end{aligned} donc {\dfrac12\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant1} : vrai au rang 0.
Hérédité : si {\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant1}, la stricte croissance de f donne f\left(\dfrac12\right)\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant f(1)=1 ; comme \begin{aligned}f\left(\dfrac12\right) &\approx 0{,}6 \\ &\geqslant \dfrac12\end{aligned} l'encadrement est vrai au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, {\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant1}.

PartieC ; 2. Justifier que la suite (u_n) converge.

(u_n) est croissante et majorée par 1 : elle converge vers une limite \ell avec {\dfrac12\leqslant\ell\leqslant1}.

PartieC ; 3. Sachant que la limite vérifie f(\ell)=\ell, déterminer \ell.

D'après la partie B, l'équation f(x)=x a pour unique solution 1 sur ]0~;~+\infty[ : \ell=1.

1.Léa estime que si elle gagne une partie, elle gagne la suivante dans 70 % des cas ; si elle perd, elle gagne la suivante avec probabilité 0,2 ; et g_1=0{,}5. Quelle est la valeur de P_{G_1}(D_2) ?

Si Léa gagne la première partie, elle perd la deuxième dans 1-0{,}7 = 0{,}3 des cas : P_{G_1}(D_2) = 0{,}3.

2.Compléter l'arbre de probabilités des deux premières parties.

P(G_1)=0{,}5, P(D_1)=0{,}5 ; P_{G_1}(G_2)=0{,}7, P_{G_1}(D_2)=0{,}3 ; P_{D_1}(G_2)=0{,}2, P_{D_1}(D_2)=0{,}8.

3.Calculer g_2.

Par les probabilités totales : \begin{aligned}g_2 &= 0{,}5\times0{,}7+0{,}5\times0{,}2 \\ &= 0{,}35+0{,}1 \\ &= 0{,}45\end{aligned}

4.aCompléter l'arbre pour les parties n et n+1.

Depuis G_n (probabilité g_n) : P_{G_n}(G_{n+1})=0{,}7, P_{G_n}(D_{n+1})=0{,}3 ; depuis D_n (probabilité 1-g_n) : P_{D_n}(G_{n+1})=0{,}2, P_{D_n}(D_{n+1})=0{,}8.

4.bJustifier que, pour tout entier naturel n non nul, g_{n+1} = 0{,}5g_n+0{,}2.

\{G_n,D_n\} forme une partition : \begin{aligned}g_{n+1} &= g_n\times0{,}7+(1-g_n)\times0{,}2 \\ &= 0{,}7g_n+0{,}2-0{,}2g_n \\ &= 0{,}5g_n+0{,}2\end{aligned}

5.aOn pose v_n = g_n-0{,}4. Montrer que (v_n) est géométrique, en précisant premier terme et raison.

\begin{aligned}v_{n+1} &= g_{n+1}-0{,}4 \\ &= 0{,}5g_n-0{,}2 \\ &= 0{,}5(v_n+0{,}4)-0{,}2 \\ &= 0{,}5v_n\end{aligned} (v_n) est géométrique de raison 0,5, de premier terme \begin{aligned}v_1 &= 0{,}5-0{,}4 \\ &= 0{,}1\end{aligned}

5.bMontrer que, pour tout n non nul, g_n = 0{,}1\times0{,}5^{n-1}+0{,}4.

\begin{aligned}v_n &= v_1\times0{,}5^{n-1} \\ &= 0{,}1\times0{,}5^{n-1}\end{aligned} donc \begin{aligned}g_n &= v_n+0{,}4 \\ &= 0{,}1\times0{,}5^{n-1}+0{,}4\end{aligned}

6.Étudier les variations de la suite (g_n).

g_{n+1}-g_n = 0{,}1\times0{,}5^{n-1}(0{,}5-1) = -0{,}1\times0{,}5^n < 0 : la suite (g_n) est strictement décroissante.

7.Donner la limite de la suite (g_n) et interpréter.

Comme {-1<0{,}5<1}, 0{,}5^{n-1}\to0 : \lim\limits_{n\to+\infty}g_n = 0{,}4. Sur le long terme, Léa gagne environ 40 % de ses parties.

8.Déterminer, par le calcul, le plus petit entier n tel que g_n-0{,}4\leqslant0{,}001.

\begin{aligned}0{,}1\times0{,}5^{n-1} \leqslant 0{,}001 &\iff 0{,}5^{n-1} \leqslant 0{,}01 \\ &\iff (n-1)\ln(0{,}5) \leqslant \ln(0{,}01) \end{aligned}
\begin{aligned}n-1 &\geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} \\ &\approx 6{,}64\end{aligned} (le sens change car \ln(0{,}5)<0), donc n\geqslant7{,}64 : le plus petit entier est n=8.

9.Compléter la fonction Python seuil(e) (initialisée avec g=0.5, n=1) pour qu'elle renvoie le plus petit rang à partir duquel g_n\leqslant0{,}4+e.

Ligne 4 : while g > 0.4 + e : ; ligne 6 : n = n + 1.

1.Un sac contient 8 jetons numérotés de 1 à 8 ; on pioche trois fois avec remise et on note la liste ordonnée des numéros. Déterminer le nombre de tirages possibles.

Chaque pioche offre 8 possibilités, avec remise : il y a 8^3 = 512 tirages possibles.

2.aDéterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.

Sans répétition, on a 8 choix pour le premier numéro, 7 pour le deuxième, 6 pour le troisième : 8\times7\times6 = 336 tirages.

2.bEn déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition.

512-336 = 176 tirages avec au moins une répétition (complémentaire des tirages sans répétition).

3.On note X_1 le numéro du premier jeton pioché. Établir la loi de probabilité de X_1.

Les jetons étant indiscernables, la loi est équirépartie : P(X_1=k) = \dfrac18 pour chaque k de 1 à 8.

4.Déterminer l'espérance de X_1.

E(X_1) = \dfrac{1+2+\dots+8}{8} = \dfrac{36}{8} = 4,5.

5.On pose S = X_1+X_2+X_3. Déterminer l'espérance de S.

Par linéarité, et les trois variables suivant la même loi : E(S) = 3\times E(X_1) = 3\times4{,}5 = 13,5.

6.Déterminer P(S=24).

La somme 24 n'est réalisée que par le tirage (8 ; 8 ; 8), une issue sur 512 : P(S=24) = \dfrac{1}{512}.

7.aUn joueur gagne un lot si S\geqslant22. Justifier qu'il existe exactement 10 tirages gagnants.

S=24 : uniquement (8;8;8), soit 1 tirage. S=23 : la somme 7+8+8, avec 3 positions possibles pour le 7, soit 3 tirages.
S=22 : les sommes 6+8+8 et 7+7+8, chacune donnant 3 tirages (3 positions du numéro isolé), soit 6 tirages.
Total : 1+3+6 = 10 tirages gagnants.

7.bEn déduire la probabilité de gagner un lot.

\begin{aligned}P(S\geqslant22) &= \dfrac{10}{512} \\ &= \dfrac{5}{256}\end{aligned}

PartieA ; 1. Soit f(x) = \sqrt{x+1} sur [0~;~+\infty[. Démontrer que f est croissante sur cet intervalle.

f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} > 0 sur [0~;~+\infty[ : f est croissante.

PartieA ; 2. Démontrer que, pour tout x\geqslant0, f(x)-x = \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}.

En multipliant par la quantité conjuguée : \begin{aligned}\sqrt{x+1}-x &= \dfrac{(\sqrt{x+1}-x)(\sqrt{x+1}+x)}{\sqrt{x+1}+x} \\ &= \dfrac{(x+1)-x^2}{\sqrt{x+1}+x} \\ &= \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}\end{aligned}

PartieA ; 3. En déduire que l'équation f(x)=x admet pour unique solution \ell = \dfrac{1+\sqrt5}{2} sur [0~;~+\infty[.

Le dénominateur étant strictement positif, \begin{aligned}f(x) = x &\iff -x^2+x+1 = 0 \end{aligned} de discriminant \Delta = 5.
Les racines sont \dfrac{1+\sqrt5}{2}>0 et \dfrac{1-\sqrt5}{2}<0 : seule la première appartient à [0~;~+\infty[. \ell = \dfrac{1+\sqrt5}{2} (le nombre d'or).

PartieB ; 1. Soit (u_n) définie par u_0=5 et u_{n+1}=f(u_n). Démontrer par récurrence que, pour tout n, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.

Initialisation : \begin{aligned}u_1 &= \sqrt6 \\ &\approx 2{,}45\end{aligned} donc 1\leqslant u_1\leqslant u_0=5 : vrai au rang 0.
Hérédité : si {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}, la croissance de f donne f(1)=\sqrt2\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}, et \sqrt2\geqslant1 : vrai au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.

PartieB ; 2. En déduire que la suite (u_n) converge.

(u_n) est décroissante et minorée par 1 : elle converge.

PartieB ; 3. Démontrer que la suite (u_n) converge vers \ell = \dfrac{1+\sqrt5}{2}.

f étant continue sur [0~;~+\infty[, la limite vérifie f(\ell)=\ell ; d'après la partie A, l'unique solution de cette équation est \dfrac{1+\sqrt5}{2} : c'est la limite de la suite.

PartieB ; 4.a Un script Python seuil(n) compte les itérations nécessaires pour que |u_i-\ell|<10^{-n}. Donner la valeur renvoyée par seuil(2).

À la calculatrice, \begin{aligned}|u_4-\ell| &\approx 0{,}02 \\ &\geqslant 10^{-2}\end{aligned} et |u_5-\ell|\approx0{,}007<10^{-2} : la fonction renvoie 5.

PartieB ; 4.b La valeur renvoyée par seuil(4) est 9. Interpréter.

u_9 est le premier terme de la suite qui approche le nombre d'or \ell à moins de 10^{-4} près : il faut 9 itérations pour obtenir une valeur approchée de \ell à 10^{-4} près.

PartieA ; 1. La piscine d'Alain contient 50 m^{3} d'eau ; il ajoute chaque jour 15 g de chlore. Justifier que cet ajout fait augmenter le taux de 0,3 mg/L.

15 g = 15\,000 mg répartis dans 50\,000 L : \dfrac{15\,000}{50\,000} = 0{,}3 mg/L.

PartieA ; 2.a Le taux v_n vérifie v_0=0{,}7 et v_{n+1} = 0{,}92v_n+0{,}3. Montrer par récurrence que, pour tout n, {v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4}.

Initialisation : \begin{aligned}v_1 &= 0{,}92\times0{,}7+0{,}3 \\ &= 0{,}944\end{aligned} donc {v_0\leqslant v_1\leqslant4} : vrai au rang 0.
Hérédité : si {v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4}, en multipliant par 0,92 puis en ajoutant 0,3 : {v_{n+1}\leqslant v_{n+2}\leqslant3{,}98\leqslant4} : vrai au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n, {v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant4}.

PartieA ; 2.b Montrer que la suite (v_n) est convergente et calculer sa limite.

(v_n) est croissante et majorée par 4 : elle converge.
La fonction de récurrence x\longmapsto0{,}92x+0{,}3 étant continue, la limite vérifie \begin{aligned}\ell = 0{,}92\ell+0{,}3 &\iff 0{,}08\ell = 0{,}3 \\ &\iff \ell = 3{,}75 \end{aligned}

PartieA ; 3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation (entre 1 et 3 mg/L) ?

La suite converge vers 3,75 : à partir d'un certain rang, le taux dépasse strictement 3 mg/L. Le taux ne sera pas conforme à long terme.

PartieA ; 4. Compléter l'algorithme Python alerte_chlore(s) qui renvoie le plus petit entier n tel que v_n>s.

while u <= s :, puis n = n + 1 et u = 0.92*u + 0.3.

PartieA ; 5. Quelle valeur renvoie alerte_chlore(3) ? Interpréter.

\begin{aligned}v_{16} &\approx 2{,}95 \\ &\leqslant 3\end{aligned} et v_{17}\approx3{,}01>3 : la fonction renvoie 17. Avec ce protocole, le taux de chlore dépassera 3 mg/L au bout de 17 jours.

PartieB ; 1. Un modèle continu vérifie (E) : y' = -0{,}08y+\dfrac{q}{50}. Justifier que f est de la forme f(x) = Ce^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}.

Les solutions de y'=ay+b sont x\longmapsto Ce^{ax}-\dfrac ba ; ici a=-0{,}08 et b=\dfrac{q}{50}, donc \begin{aligned}-\dfrac ba &= \dfrac{q}{50\times0{,}08} \\ &= \dfrac{q}{4}\end{aligned} D'où f(x) = Ce^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}.

PartieB ; 2.a Exprimer, en fonction de q, la limite de f en +\infty.

e^{-0,08x}\to0 : \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = \dfrac{q}{4}.

PartieB ; 2.b Sachant que le taux initial est 0,7 mg/L et que l'on veut une stabilisation à 2 mg/L, déterminer C et q.

Stabilisation à 2 : \begin{aligned}\dfrac q4 = 2 &\iff q = 8 \end{aligned} (grammes de chlore par jour).
\begin{aligned}f(0) = 0{,}7 &\iff C+2 = 0{,}7 \\ &\iff C = -1{,}3 \end{aligned} La fonction est f(x) = -1{,}3e^{-0,08x}+2.

1.On considère la liste L des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme 7 et de raison 3, du type L = [7, 10, …, 2023]. Déterminer le nombre de termes de cette liste.

Le terme de rang n (en indexant à partir de 1) de cette suite arithmétique s'écrit 7+3(n-1). On cherche n tel que 7+3(n-1)=2023.
\begin{aligned}3(n-1) = 2016 &\iff n-1 = 672 \\ &\iff n = 673 \end{aligned}
Donc, la réponse est 673 termes.

2.On choisit au hasard un nombre de cette liste. Déterminer la probabilité de tirer un nombre pair.

Un terme de la liste s'écrit 7+3(n-1)=3n+4, pour n entier de 1 à 673. Ce nombre est pair si et seulement si 3n+4 est pair, c'est-à-dire si et seulement si 3n est pair, donc si et seulement si n est pair (3 étant impair).
Parmi les entiers n de 1 à 673 (673 valeurs), les entiers pairs sont 2,4,\dots,672, soit 336 valeurs.
Donc, la réponse est P(\text{nombre pair}) = \dfrac{336}{673}.

3.On note A l'évènement « obtenir un multiple de 4 » et B l'évènement « obtenir un nombre dont le chiffre des unités est 6 », sachant que P(A)=\dfrac{168}{673} et P(A\cap B)=\dfrac{34}{673} (valeurs obtenues par dénombrement direct dans la liste). Donner la probabilité d'obtenir un multiple de 4 se terminant par 6.

Un nombre qui est à la fois un multiple de 4 et qui se termine par 6 est exactement un élément de A\cap B. Donc, la réponse est P(A\cap B) = \dfrac{34}{673} (donnée directement par l'énoncé, qui correspond bien à un dénombrement des multiples de 4 de la liste se terminant par 6).

4.Sachant de plus que P(\overline{A}\cap B) = \dfrac{505}{673}\times\dfrac{33}{505}, calculer P_B(A).

D'abord \begin{aligned}P(B) &= P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B) \\ &= \dfrac{34}{673}+\dfrac{505}{673}\times\dfrac{33}{505} \\ &= \dfrac{34}{673}+\dfrac{33}{673} \\ &= \dfrac{67}{673}\end{aligned} (le facteur \dfrac{505}{673} se simplifie avec le 505 du numérateur).
Par définition de la probabilité conditionnelle : \begin{aligned}P_B(A) &= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\ &= \dfrac{\frac{34}{673}}{\frac{67}{673}} \\ &= \dfrac{34}{67}\end{aligned}
Donc, la réponse est P_B(A)=\dfrac{34}{67}.

5.On choisit successivement et au hasard 10 nombres de la liste (un même nombre pouvant être choisi plusieurs fois). Déterminer la probabilité qu'aucun des 10 nombres tirés ne soit un multiple de 4.

La probabilité de ne pas tirer un multiple de 4 en un seul tirage vaut \begin{aligned}P(\overline{A}) &= 1-\dfrac{168}{673} \\ &= \dfrac{505}{673}\end{aligned}
Les 10 tirages sont indépendants et identiques (tirage avec remise) : la probabilité qu'aucun des 10 ne soit un multiple de 4 est donc \left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}.
Donc, la réponse est P \approx 0,057 (au millième).

1.On considère la suite \left(u_n\right) définie pour tout entier naturel n par u_n = \dfrac{1+2^n}{3+5^n}. Quel est son comportement : diverge vers +\infty, converge vers \dfrac25, converge vers 0, ou converge vers \dfrac13 ?

En factorisant numérateur et dénominateur par 5^n : \begin{aligned}u_n &= \dfrac{5^n\left(\frac{1}{5^n}+\left(\frac25\right)^n\right)}{5^n\left(\frac{3}{5^n}+1\right)} \\ &= \dfrac{\left(\frac25\right)^n+\frac{1}{5^n}}{1+\frac{3}{5^n}}\end{aligned}
Les suites géométriques de raisons \dfrac25 et \dfrac15, toutes deux strictement comprises entre -1 et 1, convergent vers 0 : par limite de somme puis de quotient, u_n converge vers \dfrac{0+0}{1+0}=0.
Réponse : la suite converge vers 0.

2.Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=x^2\ln(x). Quelle est l'expression de f'(x) ?

f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
f'(x) = 2x\times\ln(x) + x^2\times\dfrac1x = 2x\ln(x)+x = x\big(2\ln(x)+1\big).
Réponse : f'(x) = x(2\ln(x)+1).

3.Une fonction h, continue sur \mathbb{R}, admet le tableau de variations suivant : h décroît de +\infty (en -\infty) jusqu'à -\infty... en réalité h croît de -\infty vers +\infty, en s'annulant en x=1. On note H la primitive de h sur \mathbb{R} qui s'annule en 0. Que peut-on affirmer : H positive sur ]-\infty~;~0], H croissante sur ]-\infty~;~1], H négative sur ]-\infty~;~1], ou H croissante sur \mathbb{R} ?

h est strictement croissante sur \mathbb{R} et s'annule en 1, donc h(x)<0 pour tout x<1.
H étant une primitive de h, on a H'=h : ainsi H'(x)<0 sur ]-\infty~;~1[, donc H est strictement décroissante sur cet intervalle.
Pour tout x\leqslant 0, x et 0 appartiennent à ]-\infty~;~1[ où H décroît, donc {x\leqslant 0 \implies H(x)\geqslant H(0)}. Or H(0)=0 par définition de H, donc H(x)\geqslant 0 sur ]-\infty~;~0].
Réponse : H est positive sur ]-\infty~;~0].

4.Soit a<b deux réels et f une fonction définie, continue et strictement croissante sur [a~;~b], qui s'annule en un réel \alpha. Parmi quatre fonctions Python proposées (méthode de dichotomie), laquelle donne bien une valeur approchée de \alpha à 0{,}001 près ?

Le programme correct doit recalculer le milieu m=\dfrac{a+b}{2} à chaque tour de boucle (et non une seule fois avant la boucle), avec un test d'arrêt \og tant que l'écart dépasse 0{,}001 \fg{} correctement écrit.
Comme f est strictement croissante sur [a~;~b] et s'annule en \alpha, on a f(a)<0 et f(b)>0. Si f(m)<0, alors \alpha se trouve entre m et b : il faut donc remplacer a par m (et garder b) pour l'itération suivante ; sinon, on remplace b par m.
Seule la version qui recalcule m à l'intérieur de la boucle, avec la condition while abs(b-a) >= 0.001, et l'affectation a = m quand f(m)<0, respecte ce principe.
Réponse : le programme qui recalcule m dans la boucle et affecte a=m lorsque f(m)<0.

5.Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, dont 7 bleues et 3 vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. Quelle expression donne la probabilité d'obtenir exactement deux boules vertes ?

Chaque tirage est une épreuve à deux issues (\og verte \fg{} ou pas), de probabilité de succès p=\dfrac{3}{10}, répétée n=3 fois de façon identique et indépendante (tirages avec remise).
En notant X le nombre de boules vertes obtenues, X suit la loi binomiale \mathcal{B}\left(3~;~\dfrac{3}{10}\right).
\begin{aligned}P(X=2) &= \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{3}{10}\right)^2\left(\dfrac{7}{10}\right)^{1} \\ &= \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2\end{aligned}
Réponse : \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2.

PartieA ; 1. Une entreprise loue des trottinettes électriques et contrôle leur état chaque lundi. On admet que si une trottinette est en bon état un lundi donné, la probabilité qu'elle le soit encore le lundi suivant est 0{,}9 ; si elle est en mauvais état, la probabilité qu'elle passe en bon état la semaine suivante est 0{,}4. On note B_n l'événement « la trottinette est en bon état n semaines après sa mise en service » et p_n=P(B_n), avec p_0=1. Donner p_1 et montrer que p_2=0{,}85.

Comme la trottinette est en bon état à l'instant 0 (p_0=1), on a directement \begin{aligned}p_1 &= P_{B_0}(B_1) \\ &= 0{,}9\end{aligned}
En construisant l'arbre pondéré sur les deux premières semaines (issues B_1 ou \overline{B_1}, puis B_2 ou \overline{B_2} à chaque fois), la formule des probabilités totales donne : \begin{aligned}p_2 &= P(B_1)\times P_{B_1}(B_2) + P(\overline{B_1})\times P_{\overline{B_1}}(B_2) \\ &= 0{,}9\times0{,}9+0{,}1\times0{,}4 \\ &= 0{,}81+0{,}04 \\ &= 0{,}85\end{aligned}
On obtient bien p_1=0{,}9 et p_2=0{,}85.

PartieA ; 2. Reproduire et compléter l'arbre pondéré traduisant le passage de la semaine n à la semaine n+1.

L'arbre a pour première branche B_n avec probabilité p_n (puis B_{n+1} avec probabilité 0{,}9 et \overline{B_{n+1}} avec probabilité 0{,}1), et pour seconde branche \overline{B_n} avec probabilité 1-p_n (puis B_{n+1} avec probabilité 0{,}4 et \overline{B_{n+1}} avec probabilité 0{,}6).

PartieA ; 3. En déduire que, pour tout entier naturel n, p_{n+1}=0{,}5p_n+0{,}4.

Les événements B_n et \overline{B_n} forment une partition de l'univers, donc la formule des probabilités totales donne : \begin{aligned}p_{n+1} &= P(B_n)\times0{,}9 + P(\overline{B_n})\times0{,}4 \\ &= 0{,}9p_n + 0{,}4(1-p_n) \\ &= 0{,}9p_n+0{,}4-0{,}4p_n\end{aligned}
Donc, la réponse est p_{n+1} = 0{,}5p_n+0{,}4.

PartieA ; 4.a Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, p_n\geqslant0{,}8.

Initialisation : \begin{aligned}p_0 &= 1 \\ &\geqslant 0{,}8\end{aligned} la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que pour un entier naturel n donné, p_n\geqslant0{,}8. Alors, en multipliant par 0{,}5>0 : 0{,}5p_n\geqslant0{,}4, puis en ajoutant 0{,}4 : 0{,}5p_n+0{,}4\geqslant0{,}8, c'est-à-dire p_{n+1}\geqslant0{,}8. La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, p_n\geqslant0{,}8.

PartieA ; 4.b Quelle communication l'entreprise peut-elle envisager à partir de ce résultat ?

En interprétant p_n comme la proportion de trottinettes en bon état, l'entreprise peut communiquer sur le fait qu'au moins 80 % de son parc reste en permanence en bon état, quelle que soit la semaine considérée.

PartieA ; 5.a On pose, pour tout entier naturel n, u_n=p_n-0{,}8. Montrer que \left(u_n\right) est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1} &= p_{n+1}-0{,}8 \\ &= (0{,}5p_n+0{,}4)-0{,}8 \\ &= 0{,}5p_n-0{,}4 \\ &= 0{,}5(p_n-0{,}8) \\ &= 0{,}5\,u_n\end{aligned}
La suite \left(u_n\right) est donc géométrique de raison q=0{,}5, de premier terme \begin{aligned}u_0 &= p_0-0{,}8 \\ &= 1-0{,}8 \\ &= 0{,}2\end{aligned}

PartieA ; 5.b En déduire l'expression de u_n puis de p_n en fonction de n.

D'après la forme explicite d'une suite géométrique : \begin{aligned}u_n &= u_0\times q^n \\ &= 0{,}2\times0{,}5^n\end{aligned} pour tout entier naturel n. Comme p_n=u_n+0{,}8, on obtient p_n = 0{,}2\times0{,}5^n+0{,}8.

PartieA ; 5.c En déduire la limite de la suite \left(p_n\right).

La raison 0{,}5 est strictement comprise entre -1 et 1, donc \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}5^n=0, puis \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0. Par limite de somme, \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}p_n &= 0+0{,}8 \\ &= 0{,}8\end{aligned}

PartieB ; 1. On modélise désormais l'état des trottinettes du parc par une probabilité de bon état égale à 0{,}8, indépendamment d'une trottinette à l'autre. On note X le nombre de trottinettes en bon état dans un lot de 15, ce prélèvement pouvant être assimilé à un tirage avec remise. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

On répète 15 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (« la trottinette est en bon état », de probabilité 0{,}8) : X compte le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale \mathcal{B}(15~;~0{,}8).

PartieB ; 2. Calculer la probabilité que les 15 trottinettes du lot soient toutes en bon état.

P(X=15) = 0{,}8^{15} \approx 0,0352 (arrondi au dix-millième).

PartieB ; 3. Calculer la probabilité qu'au moins 10 trottinettes du lot soient en bon état.

À la calculatrice, P(X\geqslant10) = 1-P(X\leqslant9) \approx 0,9389 (arrondi au dix-millième).

PartieB ; 4. On admet que E(X)=12. Interpréter ce résultat.

Pour une loi binomiale \mathcal{B}(n~;~p), on a \begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 15\times0{,}8 \\ &= 12\end{aligned} Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de lots de 15 trottinettes prélevées dans le parc, 12 d'entre elles sont en bon état.

PartieA ; 1. On considère la suite (u_n) définie par u_0=3 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = \dfrac12u_n+\dfrac12n+1. Que vaut u_2 ? a) \dfrac{11}{4} b) \dfrac{13}{2} c) 3,5 d) 2,7

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac12u_0+\dfrac12\times0+1 \\ &= \dfrac12\times3+1 \\ &= \dfrac52\end{aligned}
\begin{aligned}u_2 &= \dfrac12u_1+\dfrac12\times1+1 \\ &= \dfrac12\times\dfrac52+\dfrac12+1 \\ &= \dfrac54+\dfrac24+\dfrac44 \\ &= \dfrac{11}{4}\end{aligned}
Donc, la réponse est a.

PartieA ; 2. On pose, pour tout entier naturel n, v_n = u_n-n. La suite (v_n) est : a) arithmétique de raison \dfrac12 b) géométrique de raison \dfrac12 c) constante d) ni arithmétique ni géométrique

Pour tout n : \begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-(n+1) \\ &= \dfrac12u_n+\dfrac12n+1-n-1 \\ &= \dfrac12u_n-\dfrac12n \\ &= \dfrac12(u_n-n) \\ &= \dfrac12v_n\end{aligned}
La relation v_{n+1}=\dfrac12v_n montre que (v_n) est géométrique de raison \dfrac12.
Donc, la réponse est b.

PartieA ; 3. Un script Python incomplet doit renvoyer u_n à partir de \begin{aligned}U &= u_0 \\ &= 3\end{aligned} avec une boucle for i in range(n): (où i varie de 0 à n-1). Quelle instruction compléter à l'intérieur de la boucle ? a) U = U/2 + (i+1)/2 + 1 b) U = U/2 + n/2 + 1 c) U = U/2 + (i-1)/2 + 1 d) U = U/2 + i/2 + 1

Au premier passage dans la boucle, i=0 et le script doit calculer u_1 à partir de u_0, c'est-à-dire appliquer la relation avec l'indice 0 : U \leftarrow \dfrac{U}{2}+\dfrac{0}{2}+1, donc l'instruction doit utiliser i (l'indice courant), pas i+1 ni n.
Seule la formule U = U/2 + i/2 + 1 reproduit exactement u_{i+1}=\dfrac12u_i+\dfrac12i+1 à chaque tour.
Donc, la réponse est d.

PartieB ; 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {n\leqslant u_n\leqslant n+3}.

PartieB ; 2. En déduire la limite de la suite (u_n).

D'après la question précédente, u_n\geqslant n pour tout n, et \lim\limits_{n\to+\infty}n=+\infty. Par comparaison, on en déduit que \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty.

PartieB ; 3. Déterminer la limite de la suite \left(\dfrac{u_n}{n}\right).

Pour tout entier n\geqslant1, l'encadrement {n\leqslant u_n\leqslant n+3} donne, en divisant par n>0 : {1\leqslant\dfrac{u_n}{n}\leqslant1+\dfrac3n}.
Or \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac3n=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac3n\right)=1, et la limite de la suite constante égale à 1 est bien sûr 1.
D'après le théorème des gendarmes, la suite \left(\dfrac{u_n}{n}\right) converge et \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}=1.

1.On définit la suite (u_n) par u_0=8 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = \dfrac{6u_n+2}{u_n+5}. Calculer u_1.

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac{6\times8+2}{8+5} \\ &= \dfrac{50}{13}\end{aligned}

2.aSoit f la fonction définie sur [0~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{6x+2}{x+5} (de sorte que u_{n+1}=f(u_n) pour tout n). Montrer que f est strictement croissante sur [0~;~+\infty[, puis en déduire que f(x)>2 pour tout réel x>2.

Le dénominateur x+5 ne s'annule pas sur [0~;~+\infty[ (il vaut au moins 5), donc f y est dérivable, avec f'(x) = \dfrac{6(x+5)-(6x+2)}{(x+5)^2} = \dfrac{28}{(x+5)^2}.
Ce quotient est strictement positif sur [0~;~+\infty[, donc f est strictement croissante sur cet intervalle.
Par ailleurs \begin{aligned}f(2) &= \dfrac{6\times2+2}{2+5} \\ &= \dfrac{14}{7} \\ &= 2\end{aligned} La stricte croissance de f donne alors : pour tout x>2, f(x)>f(2)=2.

2.bDémontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n>2.

Initialisation : u_0=8>2, la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons u_n>2 pour un entier n fixé. D'après la question précédente, f(u_n)>2, c'est-à-dire u_{n+1}>2 puisque u_{n+1}=f(u_n).
Conclusion : la propriété est initialisée et héréditaire, donc par récurrence, u_n>2 pour tout entier naturel n.

3.On admet que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_n = \dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+5}. Montrer que (u_n) est décroissante, puis en déduire qu'elle converge.

Comme u_n>2 pour tout n (question 2.b), on a {u_n+1>3>0} et {u_n+5>7>0} : le dénominateur et le second facteur du numérateur sont strictement positifs.
Le signe de u_{n+1}-u_n est donc celui de 2-u_n, qui est strictement négatif puisque u_n>2. Ainsi u_{n+1}-u_n<0 pour tout n : la suite (u_n) est strictement décroissante.
Étant décroissante et minorée par 2, la suite (u_n) converge, vers une limite \ell vérifiant \ell\geqslant2.

4.aOn pose v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1} pour tout entier naturel n. Calculer v_0.

\begin{aligned}v_0 &= \dfrac{u_0-2}{u_0+1} \\ &= \dfrac{8-2}{8+1} \\ &= \dfrac{6}{9} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned}

4.bMontrer que (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac47.

En remplaçant u_{n+1} par son expression : \begin{aligned}v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+1} \\ &= \dfrac{\frac{6u_n+2}{u_n+5}-2}{\frac{6u_n+2}{u_n+5}+1}\end{aligned}
En réduisant chaque étage au même dénominateur u_n+5 : \begin{aligned}v_{n+1} &= \dfrac{(6u_n+2)-2(u_n+5)}{(6u_n+2)+(u_n+5)} \\ &= \dfrac{4u_n-8}{7u_n+7} \\ &= \dfrac{4(u_n-2)}{7(u_n+1)} \\ &= \dfrac47\,v_n\end{aligned}
La relation v_{n+1} = \dfrac47\,v_n, valable pour tout entier naturel n, montre que (v_n) est géométrique de raison \dfrac47.

4.cDéterminer, en justifiant, la limite de (v_n), puis en déduire celle de (u_n).

Comme (v_n) est géométrique de raison \dfrac47 et de premier terme v_0=\dfrac23, on a v_n = \dfrac23\left(\dfrac47\right)^n pour tout n.
Or {-1<\dfrac47<1}, donc \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac47\right)^n = 0, et par produit de limites, \lim\limits_{n\to+\infty}v_n = 0.
De v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1} et u_n+1>3, on tire u_n-2 = v_n(u_n+1), quantité qui tend vers 0. Donc \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 2 : la limite \ell de (u_n) vaut 2.

5.On considère la fonction Python seuil(A) ci-dessous, où A est un réel strictement supérieur à 2, qui simule la suite (u_n) jusqu'à ce que le terme calculé descende à A ou en dessous, et renvoie le rang atteint.

5.Donner, sans justification, la valeur renvoyée par seuil(2.001), puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

En simulant la suite terme à terme, on obtient u_{13}\approx2{,}00139 (encore supérieur à 2,001) puis u_{14}\approx2{,}00079 (passé sous 2,001) : la fonction renvoie donc 14.
Cela signifie que u_{14} est le premier terme de la suite strictement inférieur à 2,001.

PartieA ; 1. Des biologistes suivent une population d'insectes qui compte 100 000 individus au départ. En laboratoire, sans prédateur, cette population augmente de 60 % chaque mois. On modélise le nombre d'insectes, en millions, au bout de n mois par une suite (u_n) avec u_0=0{,}1. Justifier que, pour tout entier naturel n, u_n = 0{,}1\times 1{,}6^{n}.

Augmenter de 60 % chaque mois revient à multiplier l'effectif par 1+\dfrac{60}{100} = 1{,}6 d'un mois sur l'autre : la suite (u_n) est donc géométrique de raison q=1{,}6 et de premier terme u_0=0{,}1.
Or le terme général d'une suite géométrique est u_n = u_0\times q^{n}. Donc, la réponse est u_n = 0{,}1\times 1{,}6^{n} pour tout entier naturel n.

PartieA ; 2. Déterminer la limite de la suite (u_n).

Comme 1{,}6>1, on a \lim\limits_{n\to+\infty} 1{,}6^{n} = +\infty, donc \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty} u_n &= \lim\limits_{n\to+\infty} 0{,}1\times 1{,}6^{n} \\ &= +\infty\end{aligned}

PartieA ; 3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel n à partir duquel u_n>0{,}4.

u_n>0{,}4 \iff 0{,}1\times 1{,}6^{n}>0{,}4 \iff 1{,}6^{n}>4.
En passant au logarithme népérien, qui est strictement croissant : 1{,}6^{n}>4 \iff n\ln(1{,}6)>\ln(4) \iff n>\dfrac{\ln(4)}{\ln(1{,}6)} (l'inégalité garde son sens car \ln(1{,}6)>0).
Or \dfrac{\ln(4)}{\ln(1{,}6)}\approx 2{,}946. Donc, la réponse est n=3.

PartieA ; 4. Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel (qui impose de ne pas dépasser 400 000 insectes) sera-t-il préservé ?

Comme u_3>0{,}4, le nombre d'insectes dépasse 400 000 dès le 3e mois selon ce modèle : l'équilibre du milieu naturel n'est donc pas préservé.

PartieB ; 1. Un second modèle, tenant compte des contraintes du milieu, définit une suite (v_n) par v_0=0{,}1 et, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=1{,}6v_n-1{,}6v_n^{2} (nombre d'insectes en millions). Déterminer le nombre d'insectes au bout d'un mois.

\begin{aligned}v_1 &= 1{,}6\times v_0 - 1{,}6\times v_0^{2} \\ &= 1{,}6\times 0{,}1 - 1{,}6\times 0{,}01 \\ &= 0{,}16-0{,}016 \\ &= 0{,}144\end{aligned} Donc, la réponse est 144 000 insectes.

PartieB ; 2.a On considère la fonction f définie sur \left[0~;~\dfrac12\right] par f(x) = 1{,}6x-1{,}6x^{2}. Résoudre l'équation f(x)=x.

\begin{aligned}f(x) = x &\iff 1{,}6x-1{,}6x^{2} = x \\ &\iff 0{,}6x-1{,}6x^{2} = 0 \\ &\iff x(0{,}6-1{,}6x) = 0 \end{aligned}
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul, donc x=0 ou 0{,}6-1{,}6x=0, c'est-à-dire \begin{aligned}x &= \dfrac{0{,}6}{1{,}6} \\ &= \dfrac{3}{8}\end{aligned}
Ces deux valeurs appartiennent bien à \left[0~;~\dfrac12\right]. Donc, la réponse est : l'équation f(x)=x admet deux solutions, 0 et \dfrac{3}{8}.

PartieB ; 2.b Montrer que f est croissante sur \left[0~;~\dfrac12\right].

f'(x) = 1{,}6-1{,}6\times 2x = 1{,}6(1-2x).
Pour x\in\left[0~;~\dfrac12\right], on a x\leqslant\dfrac12, donc 2x\leqslant 1 et donc 1-2x\geqslant 0, d'où f'(x)\geqslant 0.
Donc, la réponse est : f est croissante sur \left[0~;~\dfrac12\right].

PartieB ; 3.a Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant\dfrac12}.

Initialisation : v_0=0{,}1 et v_1=0{,}144 (question précédente), donc {0\leqslant v_0\leqslant v_1\leqslant\dfrac12} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que {0\leqslant v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant\dfrac12} pour un entier n donné. Comme f est croissante sur \left[0~;~\dfrac12\right] (question 2.b), on peut appliquer f aux trois membres de l'encadrement : {f(0)\leqslant f(v_n)\leqslant f(v_{n+1})\leqslant f\left(\dfrac12\right)}.
Or f(0)=0, f(v_n)=v_{n+1}, f(v_{n+1})=v_{n+2} et \begin{aligned}f\left(\dfrac12\right) &= 1{,}6\times\dfrac12-1{,}6\times\dfrac14 \\ &= 0{,}8-0{,}4 \\ &= 0{,}4\end{aligned}
On obtient donc {0\leqslant v_{n+1}\leqslant v_{n+2}\leqslant 0{,}4}, et comme 0{,}4\leqslant\dfrac12, cela entraîne {0\leqslant v_{n+1}\leqslant v_{n+2}\leqslant\dfrac12} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n.

PartieB ; 3.b Montrer que la suite (v_n) est convergente.

D'après la question précédente, pour tout n, v_n\leqslant v_{n+1} : la suite (v_n) est croissante.
Toujours d'après la question précédente, pour tout n, v_n\leqslant\dfrac12 : la suite (v_n) est majorée par \dfrac12.
Une suite croissante et majorée converge, d'après le théorème de la convergence monotone. Donc, la réponse est : (v_n) converge.

PartieB ; 3.c On note \ell la limite de (v_n), solution de f(x)=x. Déterminer la valeur de \ell et conclure sur la préservation de l'équilibre du milieu naturel.

La suite (v_n) est croissante de limite \ell, donc tous ses termes sont inférieurs ou égaux à \ell ; en particulier v_1\leqslant\ell, soit 0{,}144\leqslant\ell, donc \ell\neq 0.
Comme \ell est solution de f(x)=x, elle vaut donc nécessairement \dfrac{3}{8} (l'autre solution possible étant 0, exclue). Donc \begin{aligned}\ell &= \dfrac{3}{8} \\ &= 0{,}375\end{aligned}
Pour tout n, \begin{aligned}v_n &\leqslant \ell \\ &= 0{,}375\end{aligned} donc le nombre d'insectes restera toujours inférieur à 375 000, valeur qui ne dépasse jamais le seuil de 400 000. Donc, la réponse est : selon ce second modèle, l'équilibre du milieu naturel sera préservé.

PartieB ; 4.a On donne la fonction Python ci-dessous, qui simule l'évolution de (v_n) à partir de v_0=0{,}1 tant que v<a.

PartieB ; 4.b Qu'observe-t-on si l'on exécute seuil(0.4) ?

La fonction seuil(a) renvoie le premier rang n à partir duquel v_n\geqslant a. Or on a montré que v_n\leqslant 0{,}375 pour tout n : il n'existe donc aucun rang n pour lequel v_n\geqslant 0{,}4. Donc, la réponse est : le programme ne s'arrête jamais (boucle infinie).

PartieB ; 4.c Déterminer la valeur renvoyée par seuil(0.35) et interpréter ce résultat.

À la calculatrice, en itérant v_{n+1}=1{,}6v_n-1{,}6v_n^{2} à partir de v_0=0{,}1, on obtient v_5\approx 0{,}338<0{,}35 et \begin{aligned}v_6 &\approx 0{,}358 \\ &\geqslant 0{,}35\end{aligned}
Donc, la réponse est : seuil(0.35) renvoie 6, ce qui signifie que c'est au bout du 6e mois que le nombre d'insectes dépasse pour la première fois 350 000, selon ce second modèle.

1.Soit (u_n) définie par u_0=0 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac{-u_n-4}{u_n+3}. Calculer les valeurs exactes de u_1 et u_2.

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac{-u_0-4}{u_0+3} \\ &= \dfrac{0-4}{0+3} \\ &= -\dfrac{4}{3}\end{aligned}
\begin{aligned}u_2 &= \dfrac{-u_1-4}{u_1+3} \\ &= \dfrac{\frac{4}{3}-4}{-\frac{4}{3}+3} \\ &= \dfrac{-\frac{8}{3}}{\frac{5}{3}} \\ &= -\dfrac{8}{5}\end{aligned}

2.Compléter la fonction Python terme(n), écrite de façon incomplète, pour qu'elle renvoie u_n pour tout entier naturel n.

3.Soit f définie sur ]-3~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{-x-4}{x+3}, de sorte que u_{n+1}=f(u_n) pour tout n. Démontrer que f est strictement croissante sur ]-3~;~+\infty[.

f est une fonction rationnelle, donc dérivable sur son ensemble de définition ]-3~;~+\infty[, avec (formule \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}) :
f'(x) = \dfrac{-1\times(x+3)-(-x-4)\times1}{(x+3)^2} = \dfrac{-x-3+x+4}{(x+3)^2} = \dfrac{1}{(x+3)^2}.
Sur ]-3~;~+\infty[, (x+3)^2>0 donc f'(x)>0 : donc, la réponse est que f est strictement croissante sur ]-3~;~+\infty[.

4.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, -2<u_{n+1}\leqslant u_n.

Initialisation. Pour n=0 : u_0=0 et u_1=-\dfrac{4}{3}, donc {-2<-\dfrac{4}{3}\leqslant0}, soit -2<u_1\leqslant u_0. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité. Supposons que, pour un entier n\geqslant0, -2<u_{n+1}\leqslant u_n (hypothèse de récurrence).
Comme -2 et u_{n+1}, u_n appartiennent à ]-3~;~+\infty[ et que f y est strictement croissante (question 3), on peut appliquer f aux trois membres de l'inégalité : f(-2)<f(u_{n+1})\leqslant f(u_n).
Or \begin{aligned}f(-2) &= \dfrac{-(-2)-4}{-2+3} \\ &= \dfrac{-2}{1} \\ &= -2\end{aligned} f(u_{n+1})=u_{n+2} et f(u_n)=u_{n+1} : on obtient donc -2<u_{n+2}\leqslant u_{n+1}, ce qui est la propriété au rang n+1.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir de ce rang : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, -2<u_{n+1}\leqslant u_n.

5.En déduire que la suite (u_n) converge.

D'après la question 4, (u_n) est décroissante (car u_{n+1}\leqslant u_n) et minorée par -2 : d'après le théorème de la convergence monotone, (u_n) converge.

6.aSoit (v_n) définie par v_n=\dfrac{1}{u_n+2} pour tout entier naturel n. Donner v_0.

\begin{aligned}v_0 &= \dfrac{1}{u_0+2} \\ &= \dfrac{1}{0+2} \\ &= \dfrac{1}{2} \\ &= 0{,}5\end{aligned}

6.bDémontrer que (v_n) est arithmétique de raison 1.

Comme u_n>-2 pour tout n (question 4), u_n+2>0 donc v_n est bien défini et strictement positif pour tout n.
\begin{aligned}v_{n+1} &= \dfrac{1}{u_{n+1}+2} \\ &= \dfrac{1}{\frac{-u_n-4}{u_n+3}+2} \\ &= \dfrac{1}{\frac{-u_n-4+2(u_n+3)}{u_n+3}} \\ &= \dfrac{u_n+3}{u_n+2}\end{aligned}
\begin{aligned}v_{n+1}-v_n &= \dfrac{u_n+3}{u_n+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\ &= \dfrac{u_n+2}{u_n+2} \\ &= 1\end{aligned}
Donc, la réponse est : (v_n) est arithmétique de raison 1 (et de premier terme v_0=0{,}5).

6.cEn déduire que, pour tout entier naturel n\geqslant1, u_n=\dfrac{1}{n+0{,}5}-2.

(v_n) étant arithmétique de raison 1 et de premier terme 0{,}5 : v_n = 0{,}5+n pour tout n.
De v_n=\dfrac{1}{u_n+2}, on tire u_n+2=\dfrac{1}{v_n}, donc \begin{aligned}u_n &= \dfrac{1}{v_n}-2 \\ &= \dfrac{1}{n+0{,}5}-2\end{aligned}
Donc, la réponse est : pour tout n\geqslant1 (et en fait dès n=0), u_n=\dfrac{1}{n+0{,}5}-2.

6.dDéterminer la limite de la suite (u_n).

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n+0{,}5)=+\infty donc \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+0{,}5}=0, d'où \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-2.

1.a.Soit (u_n) la suite définie par u_0=-1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}9u_n-0{,}3. Démontrer par récurrence que, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n = 2\times0{,}9^n-3.

Initialisation : pour n=0, \begin{aligned}2\times0{,}9^0-3 &= 2-3 \\ &= -1 \\ &= u_0\end{aligned} La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que pour un entier n fixé, u_n=2\times0{,}9^n-3. Alors \begin{aligned}u_{n+1} &= 0{,}9u_n-0{,}3 \\ &= 0{,}9\left(2\times0{,}9^n-3\right)-0{,}3 \\ &= 2\times0{,}9^{n+1}-2{,}7-0{,}3 \\ &= 2\times0{,}9^{n+1}-3\end{aligned} La propriété est vraie au rang n+1.
Donc, la réponse est que, par le principe de récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n = 2\times0{,}9^n-3.

1.b.En déduire que, pour tout n\in\mathbb{N}, {-3 < u_n \leqslant -1}.

Comme {0<0{,}9<1}, on a pour tout n\in\mathbb{N} : {0 < 0{,}9^n \leqslant 1}.
En multipliant par 2 (positif) : {0 < 2\times0{,}9^n \leqslant 2}, puis en retranchant 3 à chaque membre : {-3 < 2\times0{,}9^n-3 \leqslant -1}.
Donc, la réponse est que, pour tout n\in\mathbb{N}, {-3 < u_n \leqslant -1}.

1.c.Démontrer que la suite (u_n) est strictement décroissante.

Pour tout n\in\mathbb{N} : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \left(0{,}9u_n-0{,}3\right)-u_n \\ &= -0{,}1u_n-0{,}3\end{aligned}
D'après la question précédente, {-3 < u_n \leqslant -1}, donc en multipliant par -0{,}1 (négatif, ce qui inverse les inégalités) : {0{,}1 \leqslant -0{,}1u_n < 0{,}3}.
En retranchant 0{,}3 à chaque membre : {-0{,}2 \leqslant -0{,}1u_n-0{,}3 < 0}, donc u_{n+1}-u_n < 0 pour tout n.
Donc, la réponse est que la suite (u_n) est strictement décroissante.

1.d.Démontrer que la suite (u_n) converge et préciser sa limite.

La suite (u_n) est décroissante et minorée par -3 (question 1.b) : elle converge donc vers une limite réelle. Comme u_n=2\times0{,}9^n-3 et \displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}9^n=0 (car {0<0{,}9<1}), on obtient \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-3. Donc, la réponse est que la suite (u_n) converge vers -3.

2.a.On étudie la fonction g définie sur ]-3~;~-1] par g(x)=\ln(0{,}5x+1{,}5)-x. Justifier les informations données par le tableau de variations de g (limites, sens de variation, valeur en -1).

Pour x\in]-3~;~-1] : {-1{,}5 < 0{,}5x \leqslant -0{,}5}, donc {0 < 0{,}5x+1{,}5 \leqslant 1} : g est bien définie (et dérivable) sur cet intervalle.
g'(x) = \dfrac{0{,}5}{0{,}5x+1{,}5}-1 = \dfrac{0{,}5-(0{,}5x+1{,}5)}{0{,}5x+1{,}5} = \dfrac{-0{,}5x-1}{0{,}5x+1{,}5}. Le dénominateur étant strictement positif, g'(x) a le signe de -0{,}5x-1, qui s'annule pour x=-2, est positif pour x<-2 et négatif pour x>-2.
Donc g est strictement croissante sur ]-3~;~-2] puis strictement décroissante sur [-2~;~-1].
En x\to-3 (par valeurs supérieures), 0{,}5x+1{,}5\to0^+ donc \ln(0{,}5x+1{,}5)\to-\infty, d'où \displaystyle\lim_{x\to-3}g(x)=-\infty.
Enfin \begin{aligned}g(-1) &= \ln(-0{,}5+1{,}5)-(-1) \\ &= \ln(1)+1 \\ &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}g(-2) &= \ln(-1+1{,}5)+2 \\ &= \ln(0{,}5)+2 \\ &= 2-\ln(2) \\ &\approx 1{,}307\end{aligned}

2.b.En déduire que l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha dans ]-3~;~-1], et donner un encadrement d'amplitude 10^{-3}.

Sur ]-3~;~-2], g est continue et strictement croissante, de limite -\infty en -3 jusqu'à g(-2)=2-\ln(2)\approx1{,}307>0 : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur cet intervalle.
Sur [-2~;~-1], g est décroissante avec g(-2)\approx1{,}307>0 et g(-1)=1>0 : g ne s'annule pas sur cet intervalle.
Donc, la réponse est que l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur ]-3~;~-1], et à la calculatrice on obtient l'encadrement {-2{,}889 < \alpha < -2{,}888}.

3.a.On considère la suite (v_n) définie pour tout n\in\mathbb{N} par v_n = \ln(0{,}5u_n+1{,}5). En utilisant la formule de la question 1.a, démontrer que (v_n) est arithmétique de raison \ln(0{,}9).

En remplaçant u_n par son expression 2\times0{,}9^n-3 : \begin{aligned}0{,}5u_n+1{,}5 &= 0{,}5\left(2\times0{,}9^n-3\right)+1{,}5 \\ &= 0{,}9^n-1{,}5+1{,}5 \\ &= 0{,}9^n\end{aligned}
Donc \begin{aligned}v_n &= \ln\left(0{,}9^n\right) \\ &= n\ln(0{,}9)\end{aligned}
Pour tout n\in\mathbb{N}, \begin{aligned}v_{n+1}-v_n &= (n+1)\ln(0{,}9)-n\ln(0{,}9) \\ &= \ln(0{,}9)\end{aligned} une constante.
Donc, la réponse est que (v_n) est arithmétique de raison \ln(0{,}9) (et de premier terme v_0=0).

3.b.Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_n=v_n équivaut à g(u_n)=0.

Par définition, \begin{aligned}u_n = v_n &\iff u_n = \ln(0{,}5u_n+1{,}5) \\ &\iff \ln(0{,}5u_n+1{,}5)-u_n = 0 \\ &\iff g(u_n) = 0 \end{aligned} (puisque g est précisément définie par g(x)=\ln(0{,}5x+1{,}5)-x). Donc, la réponse est que \begin{aligned}u_n = v_n &\iff g(u_n) = 0 \end{aligned}.

3.c.Démontrer qu'il n'existe aucun rang k\in\mathbb{N} pour lequel u_k=\alpha.

Supposons qu'il existe k\in\mathbb{N} tel que u_k=\alpha, c'est-à-dire 2\times0{,}9^k-3=\alpha. Comme {-2{,}889<\alpha<-2{,}888}, cela donnerait {0{,}111 < 2\times0{,}9^k < 0{,}112}, soit {0{,}0555 < 0{,}9^k < 0{,}056}.
En appliquant le logarithme népérien (strictement croissant) : {\ln(0{,}0555) < k\ln(0{,}9) < \ln(0{,}056)}. Comme \ln(0{,}9)<0, diviser inverse les inégalités : {\dfrac{\ln(0{,}056)}{\ln(0{,}9)} < k < \dfrac{\ln(0{,}0555)}{\ln(0{,}9)}}.
Le calcul donne \dfrac{\ln(0{,}056)}{\ln(0{,}9)}\approx27{,}36 et \dfrac{\ln(0{,}0555)}{\ln(0{,}9)}\approx27{,}44 : il faudrait donc un entier k strictement compris entre 27,36 et 27,44, ce qui est impossible.
Donc, la réponse est qu'il n'existe aucun rang k\in\mathbb{N} tel que u_k=\alpha.

3.d.En déduire qu'il n'existe aucun rang k\in\mathbb{N} pour lequel v_k=u_k.

D'après la question 3.b, \begin{aligned}u_k = v_k &\iff g(u_k) = 0 \end{aligned} ce qui équivaut (par définition de \alpha comme unique solution de g(x)=0 sur ]-3~;~-1], intervalle auquel appartient u_k) à u_k=\alpha. Or la question 3.c montre qu'aucun rang k ne vérifie u_k=\alpha. Donc, la réponse est qu'il n'existe aucun rang k\in\mathbb{N} tel que v_k=u_k.

PartieA ; 1. Un athlète doit franchir une haie chaque jour d'entraînement. S'il réussit un jour donné, il réussit à nouveau le lendemain avec une probabilité de 90\,\% ; s'il échoue un jour donné, il échoue encore le lendemain avec une probabilité de 70\,\%. On note R_n l'événement « l'athlète franchit la haie à la n-ième séance », p_n=P(R_n), et p_0=0{,}6. Reproduire l'arbre pondéré à deux niveaux en complétant les probabilités manquantes.

Sur la branche partant de R_n (de probabilité p_n), les probabilités conditionnelles sont 0{,}9 vers R_{n+1} et 0{,}1 vers \overline{R_{n+1}}. Sur la branche partant de \overline{R_n} (de probabilité 1-p_n), elles sont 0{,}3 vers R_{n+1} et 0{,}7 vers \overline{R_{n+1}}.

PartieA ; 2. En s'appuyant sur l'arbre, justifier que pour tout entier naturel n, p_{n+1}=0{,}6p_n+0{,}3.

Les événements R_n et \overline{R_n} forment une partition de l'univers, donc, par la formule des probabilités totales : \begin{aligned}p_{n+1} &= P(R_n\cap R_{n+1})+P(\overline{R_n}\cap R_{n+1}) \\ &= p_n\times0{,}9+(1-p_n)\times0{,}3\end{aligned}
En développant : \begin{aligned}p_{n+1} &= 0{,}9p_n+0{,}3-0{,}3p_n \\ &= 0{,}6p_n+0{,}3\end{aligned} Donc, la réponse est p_{n+1}=0{,}6p_n+0{,}3.

PartieA ; 3.a On pose, pour tout entier naturel n, u_n=p_n-0{,}75. Montrer que (u_n) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1} &= p_{n+1}-0{,}75 \\ &= (0{,}6p_n+0{,}3)-0{,}75 \\ &= 0{,}6p_n-0{,}45\end{aligned}
Or p_n=u_n+0{,}75, donc \begin{aligned}u_{n+1} &= 0{,}6(u_n+0{,}75)-0{,}45 \\ &= 0{,}6u_n+0{,}45-0{,}45 \\ &= 0{,}6u_n\end{aligned}
La suite (u_n) est donc géométrique de raison q=0{,}6, de premier terme \begin{aligned}u_0 &= p_0-0{,}75 \\ &= 0{,}6-0{,}75 \\ &= -0{,}15\end{aligned}

PartieA ; 3.b En déduire que, pour tout entier naturel n, p_n=0{,}75-0{,}15\times0{,}6^n.

Comme (u_n) est géométrique de premier terme -0{,}15 et de raison 0{,}6, on a u_n=-0{,}15\times0{,}6^n pour tout n. Comme p_n=u_n+0{,}75, on obtient p_n=0{,}75-0{,}15\times0{,}6^n. Donc, la réponse est p_n=0{,}75-0{,}15\times0{,}6^n.

PartieA ; 3.c En déduire que (p_n) converge et donner sa limite \ell.

La raison 0{,}6 vérifie {-1<0{,}6<1}, donc 0{,}6^n tend vers 0 quand n tend vers +\infty. Par somme de limites, p_n=0{,}75-0{,}15\times0{,}6^n tend vers \ell=0{,}75.

PartieA ; 3.d Interpréter la valeur de \ell dans le contexte de l'exercice.

En assimilant la limite d'une probabilité à une proportion sur le long terme, cela signifie qu'après un grand nombre de séances, l'athlète franchit la haie dans environ 75\,\% des cas.

PartieB ; 1. Après beaucoup d'entraînement, l'entraîneur considère que l'athlète franchit chaque haie avec une probabilité de 0{,}75, indépendamment des haies précédentes. On note X le nombre de haies franchies sur un 400 mètres haies comportant 10 haies. Préciser la loi suivie par X et ses paramètres.

On répète 10 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (« franchir » avec probabilité 0{,}75, « ne pas franchir » avec probabilité 0{,}25) : X compte le nombre de succès. X suit donc la loi binomiale \mathcal{B}(10~;~0{,}75).

PartieB ; 2. Déterminer, à 10^{-3} près, la probabilité que l'athlète franchisse les 10 haies.

P(X=10)=\dbinom{10}{10}\times0{,}75^{10}\times0{,}25^{0}=0{,}75^{10}\approx 0,056.

PartieB ; 3. Calculer P(X\geqslant9) à 10^{-3} près.

P(X\geqslant9)=P(X=9)+P(X=10). À la calculatrice, \begin{aligned}P(X=9) &= \dbinom{10}{9}\times0{,}75^{9}\times0{,}25 \\ &\approx 0{,}188\end{aligned} et P(X=10)\approx0{,}056, d'où P(X\geqslant9)\approx 0,244.

PartieA ; 1. Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse. Après une première injection de 1 mg, le patient est placé sous perfusion : toutes les 30 minutes, l'organisme élimine 10 % de la quantité présente et reçoit 0,25 mg supplémentaire. Pour tout entier naturel n, on note u_n la quantité (en mg) au bout de n périodes de 30 minutes, avec u_0=1. Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure.

En 30 minutes, 10 % de u_0=1 mg disparaissent : il reste 0{,}9\times1=0{,}9 mg, auxquels s'ajoutent 0,25 mg supplémentaires. Donc u_1 = 0{,}9+0{,}25 = 1,15 mg.

PartieA ; 2. Justifier que, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0{,}9u_n+0{,}25.

Au bout de n périodes, la quantité présente est u_n. Pendant la période suivante, 10 % de cette quantité disparaît, il en reste donc 0{,}9u_n, puis 0,25 mg supplémentaires sont administrés. D'où, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0{,}9u_n+0{,}25.

PartieA ; 3.a Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier naturel n, {u_n \leqslant u_{n+1} < 5}.

Initialisation : u_0=1 et u_1=1{,}15, donc {u_0\leqslant u_1 < 5}. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : soit n\in\mathbb{N} tel que {u_n\leqslant u_{n+1}<5}. En multipliant par 0{,}9>0 : {0{,}9u_n \leqslant 0{,}9u_{n+1} < 4{,}5}. En ajoutant 0,25 à chaque membre : {0{,}9u_n+0{,}25 \leqslant 0{,}9u_{n+1}+0{,}25 < 4{,}75}, soit {u_{n+1}\leqslant u_{n+2} < 4{,}75 < 5}. La propriété est donc vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {u_n\leqslant u_{n+1}<5}.

PartieA ; 3.b En déduire que la suite (u_n) est convergente.

L'inégalité u_n\leqslant u_{n+1} montre que (u_n) est croissante, et l'inégalité u_{n+1}<5 montre qu'elle est majorée par 5. Une suite croissante et majorée étant convergente, la suite (u_n) converge vers une limite \ell\leqslant5.

PartieA ; 4.a Le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang est supérieure ou égale à 1,8 mg. Recopier et compléter le script Python suivant afin de déterminer au bout de combien de périodes de 30 minutes le médicament devient réellement efficace : def efficace(): / u = 1 / n = 0 / while ... : / u = ... / n = n + 1 / return n.

PartieA ; 4.b Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

En itérant la relation u_{n+1}=0{,}9u_n+0{,}25 à partir de u_0=1, on obtient u_7\approx1{,}783<1{,}8 et \begin{aligned}u_8 &\approx 1{,}854 \\ &\geqslant 1{,}8\end{aligned}
Le script renvoie donc n=8 : le médicament devient réellement efficace au bout de 8 périodes de 30 minutes, soit 4 heures après le début de la perfusion.

PartieA ; 5.a Soit (v_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v_n = 2{,}5-u_n. Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Pour tout entier naturel n, \begin{aligned}v_{n+1} &= 2{,}5-u_{n+1} \\ &= 2{,}5-(0{,}9u_n+0{,}25) \\ &= 2{,}25-0{,}9u_n\end{aligned}
Or u_n = 2{,}5-v_n, donc \begin{aligned}v_{n+1} &= 2{,}25-0{,}9(2{,}5-v_n) \\ &= 2{,}25-2{,}25+0{,}9v_n \\ &= 0{,}9v_n\end{aligned}
La relation v_{n+1}=0{,}9v_n étant vraie pour tout entier naturel n, (v_n) est une suite géométrique de raison 0{,}9, de premier terme v_0 = 2{,}5-u_0 = 2{,}5-1 = 1,5.

PartieA ; 5.b Montrer que, pour tout entier naturel n, u_n = 2{,}5-1{,}5\times0{,}9^n.

(v_n) étant géométrique de raison 0{,}9 et de premier terme v_0=1{,}5, on a, pour tout entier naturel n, v_n = 1{,}5\times0{,}9^n. Comme u_n = 2{,}5-v_n, on en déduit que, pour tout entier naturel n, u_n = 2{,}5-1{,}5\times0{,}9^n.

PartieA ; 5.c Le médicament devient toxique lorsque sa quantité dans le sang dépasse 3 mg. D'après ce modèle, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.

Comme {-1<0{,}9<1}, on a \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n = 0, donc \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}u_n &= 2{,}5-1{,}5\times0 \\ &= 2{,}5\end{aligned}
De plus, pour tout entier naturel n, 0{,}9^n>0, donc u_n = 2{,}5-1{,}5\times0{,}9^n < 2{,}5 < 3 : la quantité de médicament reste toujours strictement inférieure à 2,5 mg.
Donc, la réponse est que le traitement ne présente aucun risque de toxicité pour le patient, la quantité de médicament restant en permanence inférieure à 3 mg.

PartieB ; 1. Après une injection initiale de 1 mg, le patient est placé sous perfusion à un débit de 0,5 mg par heure. La quantité de médicament dans le sang, en fonction du temps t (en heures), est modélisée par f(t) = 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}2t} sur [0~;~+\infty[. Le médicament est-il réellement efficace au bout de 3 h 45 min ?

3 h 45 min = 3+\dfrac{45}{60} = 3+0{,}75 = 3{,}75 heures.
f(3{,}75) = 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}2\times3{,}75} = 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}75} \approx 1{,}791.
Comme 1{,}791<1{,}8, le médicament n'est pas encore réellement efficace au bout de 3 h 45 min selon ce modèle.

PartieB ; 2. Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.

On cherche t\geqslant0 tel que f(t)\geqslant1{,}8, soit 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}2t}\geqslant1{,}8 \iff 1{,}5\text{e}^{-0{,}2t}\leqslant0{,}7 \iff \text{e}^{-0{,}2t}\leqslant\dfrac{7}{15}.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante, cette inégalité équivaut à -0{,}2t\leqslant\ln\left(\dfrac{7}{15}\right), soit, en divisant par -0{,}2<0 (ce qui inverse le sens), t\geqslant -5\ln\left(\dfrac{7}{15}\right).
Or -5\ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \approx 3{,}811 heures, soit 3 heures et 0{,}811\times60\approx48{,}6 minutes. Donc, la réponse est que le médicament devient réellement efficace au bout d'environ 3 h 49 min.

PartieB ; 3. Comparer le résultat obtenu avec celui de la question 4.b du modèle discret de la Partie A.

Dans le modèle discret, le médicament devient efficace au bout de 4 heures, alors que dans le modèle continu il le devient au bout d'environ 3 h 49 min, un délai plus court. Le modèle continu prévoit donc une efficacité un peu plus rapide que le modèle discret.

1.aOn étudie le développement d'une bactérie, qui a une probabilité 0{,}3 de mourir sans descendance et 0{,}7 de se diviser en deux bactéries filles, ces probabilités étant les mêmes à chaque génération. On note p_n la probabilité d'obtenir au plus n descendances pour une bactérie, avec p_0=0{,}3 et p_{n+1}=0{,}3+0{,}7p_n^2 pour tout entier naturel n. Déterminer les valeurs exactes de p_1 et p_2, et interpréter ces valeurs dans le contexte de l'énoncé.

\begin{aligned}p_1 &= 0{,}3+0{,}7\times p_0^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}3^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}09 \\ &= 0{,}3+0{,}063 \\ &= 0{,}363\end{aligned}
\begin{aligned}p_2 &= 0{,}3+0{,}7\times p_1^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}363^2 \\ &= 0{,}3+0{,}7\times0{,}131769 \\ &= 0{,}3+0{,}0922383 \\ &= 0{,}3922383\end{aligned}
Donc, la réponse est p_1=0{,}363 et p_2=0{,}3922383 : p_1 est la probabilité d'obtenir au plus une descendance (c'est-à-dire de mourir sans descendance, ou de se diviser puis que les deux bactéries filles meurent sans descendance), et p_2 celle d'obtenir au plus deux descendances.

1.bSachant que p_{10}\approx0{,}42802018 (valeur fournie par une feuille de calcul), quelle est la probabilité, arrondie à 10^{-3} près, d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type ?

L'évènement « obtenir au moins 11 descendances » est l'évènement contraire de « obtenir au plus 10 descendances », de probabilité p_{10}.
La probabilité cherchée vaut donc \begin{aligned}1-p_{10} &\approx 1-0{,}42802018 \\ &\approx 0{,}57198\end{aligned}
Donc, la réponse est environ 0{,}572 (à 10^{-3} près).

1.cEn observant que les valeurs successives de p_n (fournies par une feuille de calcul) augmentent progressivement de 0{,}3 vers une valeur proche de 0{,}4285, formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite (p_n).

Au vu de ces valeurs, la suite (p_n) semble croissante, et semble converger vers une limite proche de 0{,}4285 (les derniers termes calculés se rapprochant de plus en plus les uns des autres autour de cette valeur).

2.aDémontrer par récurrence sur n que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant p_n\leqslant p_{n+1}\leqslant0{,}5}.

Initialisation : on a p_0=0{,}3 et p_1=0{,}363 (question 1.a), donc {0\leqslant0{,}3\leqslant0{,}363\leqslant0{,}5}, c'est-à-dire {0\leqslant p_0\leqslant p_1\leqslant0{,}5} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : soit n\in\mathbb{N}, supposons que {0\leqslant p_n\leqslant p_{n+1}\leqslant0{,}5}.
La fonction carré étant croissante sur [0~;~+\infty[, on en déduit {0\leqslant p_n^2\leqslant p_{n+1}^2\leqslant0{,}5^2}, puis en multipliant chaque membre par 0{,}7>0 : {0\leqslant0{,}7p_n^2\leqslant0{,}7p_{n+1}^2\leqslant0{,}7\times0{,}25}.
En ajoutant 0{,}3 à chaque membre : {0{,}3\leqslant0{,}3+0{,}7p_n^2\leqslant0{,}3+0{,}7p_{n+1}^2\leqslant0{,}3+0{,}175}, c'est-à-dire {0{,}3\leqslant p_{n+1}\leqslant p_{n+2}\leqslant0{,}475}.
Comme 0\leqslant0{,}3 et 0{,}475\leqslant0{,}5, on obtient {0\leqslant p_{n+1}\leqslant p_{n+2}\leqslant0{,}5} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {0\leqslant p_n\leqslant p_{n+1}\leqslant0{,}5}.

2.bJustifier que la suite (p_n) est convergente.

D'après la question précédente, la suite (p_n) est croissante (car p_n\leqslant p_{n+1} pour tout n) et majorée par 0{,}5. Donc, la réponse est que, d'après le théorème de convergence monotone, la suite (p_n) est convergente.

3.aOn note L la limite de la suite (p_n). Justifier que L est solution de l'équation 0{,}7x^2-x+0{,}3=0.

Comme (p_n) converge vers L, la suite (p_{n+1}) converge aussi vers L (suite extraite en décalant les indices).
En passant à la limite dans la relation de récurrence p_{n+1}=0{,}3+0{,}7p_n^2 (la fonction carré étant continue), on obtient L=0{,}3+0{,}7L^2, soit 0{,}7L^2-L+0{,}3=0.
Donc, la réponse est que L est bien solution de l'équation 0{,}7x^2-x+0{,}3=0.

3.bDéterminer la limite de la suite (p_n).

Le discriminant de l'équation 0{,}7x^2-x+0{,}3=0 vaut \Delta = (-1)^2-4\times0{,}7\times0{,}3 = 1-0{,}84=0{,}16=0{,}4^2>0 : l'équation admet donc deux solutions distinctes.
\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{1+0{,}4}{2\times0{,}7} \\ &= \dfrac{1{,}4}{1{,}4} \\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{1-0{,}4}{2\times0{,}7} \\ &= \dfrac{0{,}6}{1{,}4} \\ &= \dfrac{6}{14} \\ &= \dfrac37\end{aligned}
D'après la question 2.a, la suite (p_n) est majorée par 0{,}5, donc sa limite L vérifie L\leqslant0{,}5 : la solution x_1=1 est donc à exclure.
Donc, la réponse est L=\dfrac37 (soit environ 0{,}4286, cohérent avec la conjecture de la question 1.c).

4.La fonction Python ci-dessous doit renvoyer, sous forme de liste, les n premiers termes de la suite (p_n) : def suite(n): puis, en corps de fonction, une ligne d'initialisation de p, une ligne s=[p], une boucle for i in range(...) contenant une ligne de mise à jour de p et une ligne s.append(p), puis return(s). Recopier cette fonction en complétant les lignes d'initialisation, de boucle et de mise à jour.