1.a.Soit (u_n) la suite définie par u_0=-1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}9u_n-0{,}3. Démontrer par récurrence que, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n = 2\times0{,}9^n-3.
Initialisation : pour n=0, \begin{aligned}2\times0{,}9^0-3 &= 2-3 \\ &= -1 \\ &= u_0\end{aligned} La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que pour un entier n fixé, u_n=2\times0{,}9^n-3. Alors \begin{aligned}u_{n+1} &= 0{,}9u_n-0{,}3 \\ &= 0{,}9\left(2\times0{,}9^n-3\right)-0{,}3 \\ &= 2\times0{,}9^{n+1}-2{,}7-0{,}3 \\ &= 2\times0{,}9^{n+1}-3\end{aligned} La propriété est vraie au rang n+1.
Donc, la réponse est que, par le principe de récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n = 2\times0{,}9^n-3.
1.b.En déduire que, pour tout n\in\mathbb{N}, {-3 < u_n \leqslant -1}.
Comme {0<0{,}9<1}, on a pour tout n\in\mathbb{N} : {0 < 0{,}9^n \leqslant 1}.
En multipliant par 2 (positif) : {0 < 2\times0{,}9^n \leqslant 2}, puis en retranchant 3 à chaque membre : {-3 < 2\times0{,}9^n-3 \leqslant -1}.
Donc, la réponse est que, pour tout n\in\mathbb{N}, {-3 < u_n \leqslant -1}.
1.c.Démontrer que la suite (u_n) est strictement décroissante.
Pour tout n\in\mathbb{N} : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \left(0{,}9u_n-0{,}3\right)-u_n \\ &= -0{,}1u_n-0{,}3\end{aligned}
D'après la question précédente, {-3 < u_n \leqslant -1}, donc en multipliant par -0{,}1 (négatif, ce qui inverse les inégalités) : {0{,}1 \leqslant -0{,}1u_n < 0{,}3}.
En retranchant 0{,}3 à chaque membre : {-0{,}2 \leqslant -0{,}1u_n-0{,}3 < 0}, donc u_{n+1}-u_n < 0 pour tout n.
Donc, la réponse est que la suite (u_n) est strictement décroissante.
1.d.Démontrer que la suite (u_n) converge et préciser sa limite.
La suite (u_n) est décroissante et minorée par -3 (question 1.b) : elle converge donc vers une limite réelle. Comme u_n=2\times0{,}9^n-3 et \displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}9^n=0 (car {0<0{,}9<1}), on obtient \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-3. Donc, la réponse est que la suite (u_n) converge vers -3.
2.a.On étudie la fonction g définie sur ]-3~;~-1] par g(x)=\ln(0{,}5x+1{,}5)-x. Justifier les informations données par le tableau de variations de g (limites, sens de variation, valeur en -1).
Pour x\in]-3~;~-1] : {-1{,}5 < 0{,}5x \leqslant -0{,}5}, donc {0 < 0{,}5x+1{,}5 \leqslant 1} : g est bien définie (et dérivable) sur cet intervalle.
g'(x) = \dfrac{0{,}5}{0{,}5x+1{,}5}-1 = \dfrac{0{,}5-(0{,}5x+1{,}5)}{0{,}5x+1{,}5} = \dfrac{-0{,}5x-1}{0{,}5x+1{,}5}. Le dénominateur étant strictement positif, g'(x) a le signe de -0{,}5x-1, qui s'annule pour x=-2, est positif pour x<-2 et négatif pour x>-2.
Donc g est strictement croissante sur ]-3~;~-2] puis strictement décroissante sur [-2~;~-1].
En x\to-3 (par valeurs supérieures), 0{,}5x+1{,}5\to0^+ donc \ln(0{,}5x+1{,}5)\to-\infty, d'où \displaystyle\lim_{x\to-3}g(x)=-\infty.
Enfin \begin{aligned}g(-1) &= \ln(-0{,}5+1{,}5)-(-1) \\ &= \ln(1)+1 \\ &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}g(-2) &= \ln(-1+1{,}5)+2 \\ &= \ln(0{,}5)+2 \\ &= 2-\ln(2) \\ &\approx 1{,}307\end{aligned}
2.b.En déduire que l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha dans ]-3~;~-1], et donner un encadrement d'amplitude 10^{-3}.
Sur ]-3~;~-2], g est continue et strictement croissante, de limite -\infty en -3 jusqu'à g(-2)=2-\ln(2)\approx1{,}307>0 : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur cet intervalle.
Sur [-2~;~-1], g est décroissante avec g(-2)\approx1{,}307>0 et g(-1)=1>0 : g ne s'annule pas sur cet intervalle.
Donc, la réponse est que l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur ]-3~;~-1], et à la calculatrice on obtient l'encadrement {-2{,}889 < \alpha < -2{,}888}.
3.a.On considère la suite (v_n) définie pour tout n\in\mathbb{N} par v_n = \ln(0{,}5u_n+1{,}5). En utilisant la formule de la question 1.a, démontrer que (v_n) est arithmétique de raison \ln(0{,}9).
En remplaçant u_n par son expression 2\times0{,}9^n-3 : \begin{aligned}0{,}5u_n+1{,}5 &= 0{,}5\left(2\times0{,}9^n-3\right)+1{,}5 \\ &= 0{,}9^n-1{,}5+1{,}5 \\ &= 0{,}9^n\end{aligned}
Donc \begin{aligned}v_n &= \ln\left(0{,}9^n\right) \\ &= n\ln(0{,}9)\end{aligned}
Pour tout n\in\mathbb{N}, \begin{aligned}v_{n+1}-v_n &= (n+1)\ln(0{,}9)-n\ln(0{,}9) \\ &= \ln(0{,}9)\end{aligned} une constante.
Donc, la réponse est que (v_n) est arithmétique de raison \ln(0{,}9) (et de premier terme v_0=0).
3.b.Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_n=v_n équivaut à g(u_n)=0.
Par définition, \begin{aligned}u_n = v_n &\iff u_n = \ln(0{,}5u_n+1{,}5) \\ &\iff \ln(0{,}5u_n+1{,}5)-u_n = 0 \\ &\iff g(u_n) = 0 \end{aligned} (puisque g est précisément définie par g(x)=\ln(0{,}5x+1{,}5)-x). Donc, la réponse est que \begin{aligned}u_n = v_n &\iff g(u_n) = 0 \end{aligned}.
3.c.Démontrer qu'il n'existe aucun rang k\in\mathbb{N} pour lequel u_k=\alpha.
Supposons qu'il existe k\in\mathbb{N} tel que u_k=\alpha, c'est-à-dire 2\times0{,}9^k-3=\alpha. Comme {-2{,}889<\alpha<-2{,}888}, cela donnerait {0{,}111 < 2\times0{,}9^k < 0{,}112}, soit {0{,}0555 < 0{,}9^k < 0{,}056}.
En appliquant le logarithme népérien (strictement croissant) : {\ln(0{,}0555) < k\ln(0{,}9) < \ln(0{,}056)}. Comme \ln(0{,}9)<0, diviser inverse les inégalités : {\dfrac{\ln(0{,}056)}{\ln(0{,}9)} < k < \dfrac{\ln(0{,}0555)}{\ln(0{,}9)}}.
Le calcul donne \dfrac{\ln(0{,}056)}{\ln(0{,}9)}\approx27{,}36 et \dfrac{\ln(0{,}0555)}{\ln(0{,}9)}\approx27{,}44 : il faudrait donc un entier k strictement compris entre 27,36 et 27,44, ce qui est impossible.
Donc, la réponse est qu'il n'existe aucun rang k\in\mathbb{N} tel que u_k=\alpha.
3.d.En déduire qu'il n'existe aucun rang k\in\mathbb{N} pour lequel v_k=u_k.
D'après la question 3.b, \begin{aligned}u_k = v_k &\iff g(u_k) = 0 \end{aligned} ce qui équivaut (par définition de \alpha comme unique solution de g(x)=0 sur ]-3~;~-1], intervalle auquel appartient u_k) à u_k=\alpha. Or la question 3.c montre qu'aucun rang k ne vérifie u_k=\alpha. Donc, la réponse est qu'il n'existe aucun rang k\in\mathbb{N} tel que v_k=u_k.
