Statistiques descriptives : Tous les exercices

1.Dans la population française, 45 % sont du groupe A (85 % rhésus+), 10 % du groupe B (84 % rhésus+), 3 % du groupe AB (82 % rhésus+), le reste du groupe O. Compléter l'arbre pondéré.

Le reste correspond au groupe O : 1-0{,}45-0{,}10-0{,}03=0{,}42. L'arbre a pour première branche P(A)=0{,}45, P(B)=0{,}10, P(AB)=0{,}03, P(O)=0{,}42, puis sur chaque branche P_A(R)=0{,}85, P_B(R)=0{,}84, P_{AB}(R)=0{,}82 (les probabilités P_O(R) ne sont pas encore connues à ce stade).

2.Montrer que P(B\cap R) = 0,084 et interpréter.

\begin{aligned}P(B\cap R) &= P(B)\times P_B(R) \\ &= 0{,}10\times0{,}84 \\ &= 0{,}084\end{aligned}
Cela signifie que 8,4 % de la population française est à la fois de groupe sanguin B et de rhésus positif.

3.On précise que P(R) = 0,8397. Montrer que P_O(R) = 0,83.

Les évènements A, B, AB, O forment une partition, donc, d'après la formule des probabilités totales :
P(R) = P(A\cap R)+P(B\cap R)+P(AB\cap R)+P(O\cap R), soit \begin{aligned}P(O\cap R) &= 0{,}8397-0{,}45\times0{,}85-0{,}084-0{,}03\times0{,}82 \\ &= 0{,}3486\end{aligned}
\begin{aligned}P_O(R) &= \dfrac{P(O\cap R)}{P(O)} \\ &= \dfrac{0{,}3486}{0{,}42} \\ &= 0{,}83\end{aligned}

4.Un donneur universel est de groupe O et de rhésus négatif. Montrer que la probabilité qu'un individu soit donneur universel est 0,0714.

On cherche \begin{aligned}P(O\cap\overline{R}) &= P(O)\times P_O(\overline{R}) \\ &= P(O)\times(1-P_O(R))\end{aligned}
\begin{aligned}P(O\cap\overline{R}) &= 0{,}42\times(1-0{,}83) \\ &= 0{,}42\times0{,}17 \\ &= 0{,}0714\end{aligned}

5.aSur un échantillon de 100 personnes (tirage avec remise), X compte le nombre de donneurs universels. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

L'épreuve « être donneur universel », de probabilité p=0{,}0714, est répétée 100 fois de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise) : X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0{,}0714.

5.bDéterminer, à 10^{-3} près, la probabilité qu'il y ait au plus 7 donneurs universels dans l'échantillon.

À la calculatrice, P(X\leqslant7) \approx 0,577.

5.cMontrer que E(X) = 7,14 et V(X) \approx 6,63 (à 10^{-2} près).

\begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 100\times0{,}0714 \\ &= 7{,}14\end{aligned} et \begin{aligned}V(X) &= np(1-p) \\ &= 100\times0{,}0714\times0{,}9286 \\ &\approx 6{,}63\end{aligned}

6.On organise une collecte dans N villes ; X_1,\dots,X_N (indépendantes, même loi que X) comptent les donneurs universels par ville, avec E=7,14 et V=6,63. On pose M_N=(X_1+\dots+X_N)/N. Que représente M_N ?

M_N représente le nombre moyen de donneurs universels par collecte, sur les N collectes organisées.

7.Calculer E(M_N).

M_N étant la moyenne empirique de variables de même loi que X : \begin{aligned}E(M_N) &= E(X) \\ &= 7{,}14\end{aligned}

8.Montrer que V(M_N) = 6,63/N.

\begin{aligned}V(M_N) &= \dfrac{V(X)}{N} \\ &= \dfrac{6{,}63}{N}\end{aligned}

9.Déterminer la plus petite valeur de N pour laquelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que P(7 < M_N < 7,28) \geq 0,95.

L'évènement « 7<M_N<7{,}28 » équivaut à |M_N-7{,}14|<0{,}14, donc P(|M_N-7{,}14|<0{,}14) = 1-P(|M_N-7{,}14|\geqslant0{,}14).
On veut P(|M_N-7{,}14|\geqslant0{,}14)\leqslant0{,}05. D'après Bienaymé-Tchebychev, avec t=0{,}14 : P(|M_N-7{,}14|\geqslant0{,}14) \leqslant \dfrac{6{,}63}{N\times0{,}14^{2}}.
On veut donc \begin{aligned}\dfrac{6{,}63}{0{,}0196\,N} \leqslant 0{,}05 &\iff N \geqslant \dfrac{6{,}63}{0{,}05\times0{,}0196} \\ &\approx 6\,765{,}3\end{aligned}
La plus petite valeur qui convient est donc N=6\,766.

PartieA ; 1. Dans un centre multisports, une personne peut chuter en séance 1 (A, P(A)=0,6) puis en séance 2 (B) ; P_A(B)=0,3 et P_{\overline{A}}(B)=0,4. Représenter la situation par un arbre pondéré.

L'arbre a pour première branche P(A)=0{,}6, P(\overline{A})=0{,}4, puis P_A(B)=0{,}3, P_A(\overline{B})=0{,}7, P_{\overline{A}}(B)=0{,}4, P_{\overline{A}}(\overline{B})=0{,}6.

PartieA ; 2. Calculer P(\overline{A} \cap \overline{B}) et interpréter.

\begin{aligned}P(\overline{A}\cap\overline{B}) &= P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(\overline{B}) \\ &= 0{,}4\times0{,}6 \\ &= 0{,}24\end{aligned}
Cela signifie que 24 % des personnes ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance.

PartieA ; 3. Montrer que P(B) = 0,34.

\{A,\overline{A}\} forme une partition, donc, d'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(B) &= P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \\ &= 0{,}6\times0{,}3+0{,}4\times0{,}4 \\ &= 0{,}18+0{,}16 \\ &= 0{,}34\end{aligned}

PartieA ; 4. Sachant que la personne n'a pas chuté à la deuxième séance, calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté à la première.

P_{\overline{B}}(\overline{A}) = \dfrac{P(\overline{A}\cap\overline{B})}{P(\overline{B})} = \dfrac{0{,}24}{1-0{,}34} = \dfrac{0{,}24}{0{,}66} \approx 0,364.

PartieA ; 5.a Sur un échantillon de 100 personnes (tirage avec remise), X compte celles n'ayant chuté ni à la première ni à la deuxième séance (probabilité 0,24). Justifier la loi de X et ses paramètres.

L'épreuve « ne pas chuter » (probabilité 0{,}24) est répétée 100 fois de façon indépendante : X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0{,}24.

PartieA ; 5.b Quelle est la probabilité d'avoir au moins 20 personnes sur 100 n'ayant chuté à aucune des deux séances ?

P(X\geqslant20) = 1-P(X\leqslant19) \approx 1-0{,}145 \approx 0,855.

PartieA ; 5.c Calculer E(X) et interpréter.

\begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 100\times0{,}24 \\ &= 24\end{aligned} En moyenne, sur 100 personnes, 24 ne chuteront ni lors de la première ni lors de la deuxième séance.

PartieB ; 1. T_1 (temps d'attente samedi, E=40, écart-type=10) et T_2 (dimanche, E=60, écart-type=16) sont indépendantes ; T=T_1+T_2. Déterminer E(T) et interpréter.

Par linéarité de l'espérance : \begin{aligned}E(T) &= E(T_1)+E(T_2) \\ &= 40+60 \\ &= 100\end{aligned} Il faut attendre en moyenne 100 minutes sur les deux jours.

PartieB ; 2. Montrer que V(T) = 356.

T_1 et T_2 étant indépendantes : \begin{aligned}V(T) &= V(T_1)+V(T_2) \\ &= \sigma(T_1)^{2}+\sigma(T_2)^{2} \\ &= 10^{2}+16^{2} \\ &= 100+256 \\ &= 356\end{aligned}

PartieB ; 3. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que P(60 < T < 140) > 0,77.

L'évènement « 60<T<140 » équivaut à |T-100|<40 (en centrant sur E(T)=100).
D'après Bienaymé-Tchebychev, avec t=40 : \begin{aligned}P(|T-100|\geqslant40) &\leqslant \dfrac{V(T)}{40^{2}} \\ &= \dfrac{356}{1\,600}\end{aligned}
Donc P(|T-100|<40) \geqslant 1-\dfrac{356}{1\,600} = \dfrac{1\,244}{1\,600} \approx 0{,}7775 > 0{,}77.

1.Un magasin relève les prix de cinq vêtements : 12 €, 15 €, 10 €, 7 € et 13 €. Affirmation A : la moyenne des prix est 11,40 €. Affirmation B : la médiane des prix est 10 €. Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?

Affirmation A : la moyenne vaut \begin{aligned}\dfrac{12+15+10+7+13}{5} &= \dfrac{57}{5} \\ &= 11{,}4\end{aligned} €. L'affirmation A est vraie.
Affirmation B : en rangeant les prix dans l'ordre croissant, on obtient 7~;~10~;~12~;~13~;~15. La valeur centrale (la 3e sur 5) est 12 €, donc la médiane est 12 € et non 10 €. L'affirmation B est fausse.

2.Lors d'un entraînement, une élève parcourt 20 m en 6 secondes. Affirmation C : sa vitesse moyenne est de 14 km/h. Vrai ou faux ?

La vitesse moyenne est \begin{aligned}v &= \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}} \\ &= \dfrac{20}{6} \\ &\approx 3{,}33\end{aligned} m/s.
Pour convertir en km/h, on multiplie par 3,6 (puisque 1 m/s = 3{,}6 km/h) : 3{,}33\times3{,}6 \approx 12 km/h.
La vitesse moyenne de l'élève est donc d'environ 12 km/h, et non 14 km/h. L'affirmation C est fausse.

3.Une urne contient 15 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 15. Affirmation D : la probabilité de tirer une boule portant un nombre premier est \dfrac{7}{15}. Vrai ou faux ?

Les nombres premiers compris entre 1 et 15 sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13 : il y en a 6.
La probabilité de tirer un nombre premier est donc \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}, et non \dfrac{7}{15}. L'affirmation D est fausse.

4.Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport (-3). Affirmation E : l'aire du triangle A'B'C' est égale à 3 fois l'aire du triangle ABC. Vrai ou faux ?

Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k|, et donc les aires par k^2.
Ici k=-3, donc les aires sont multipliées par (-3)^2 = 9, et non par 3.
L'aire du triangle A'B'C' est donc égale à 9 fois celle du triangle ABC, et non à 3 fois. L'affirmation E est fausse.

QCM(une seule réponse exacte par question, aucune justification n'était demandée sur la copie). 1. Parmi les nombres 1, 21, 37 et 54, lequel est un nombre premier ? Réponses proposées : A. 1 B. 21 C. 37 D. 54

1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur (lui-même).
21 est divisible par 1, 3, 7 et 21 : il a donc plus de deux diviseurs.
54 est divisible par 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 et 54 : il a lui aussi plus de deux diviseurs.
37 n'admet que deux diviseurs : 1 et 37. C'est donc le seul nombre premier de la liste. Réponse C.

2.Un cube a pour arête 5 cm. Quelle est l'aire totale de son patron ? Réponses proposées : A. 125 cm^{2} B. 150 cm^{2} C. 120 cm^{2} D. 100 cm^{2}

Le patron d'un cube est constitué de 6 faces carrées, chacune de côté 5 cm.
L'aire d'une face est 5^2 = 25 cm^{2}, donc l'aire totale du patron est 6\times25 = 150 cm^{2}. Réponse B.

3.Quelle est une forme factorisée de l'expression 4x^2-9 ? Réponses proposées : A. (4x-3)(4x+3) B. (2x-3)(2x+3) C. (2x-3)^2 D. (4x-9)(4x+9)

On reconnaît une différence de deux carrés : 4x^2-9 = (2x)^2 - 3^2.
D'après l'identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b), on obtient (2x-3)(2x+3). Réponse B.

4.Un écran de télévision est au format 16:9 (rapport longueur/largeur). Sa longueur mesure 110 cm. Quelle est sa largeur, arrondie ? Réponses proposées : A. 62 cm B. 103 cm C. 196 cm D. 94 cm

On cherche la largeur \ell telle que \dfrac{110}{\ell} = \dfrac{16}{9}, ce qui revient à résoudre le tableau de proportionnalité longueur/largeur = \dfrac{16}{9} = 110/\ell.
Par produit en croix : \ell = \dfrac{110\times9}{16} = 61,875, soit environ 62 cm. Réponse A.

5.On donne la série de valeurs : 4,1 ; 3,67 ; 4,23 ; 4,5 ; 3,4. Quelle est la médiane de cette série ? Réponses proposées : A. 0,83 B. 4,1 C. 4,23 D. 3,98

On range d'abord les valeurs dans l'ordre croissant : 3,4 ; 3,67 ; 4,1 ; 4,23 ; 4,5.
Il y a 5 valeurs (nombre impair), la médiane est donc la valeur du milieu, en position \dfrac{5+1}{2}=3 : c'est 4,1. Réponse B.

PartieA ; 1. Au 11 mai 2020, 5,7 % des adultes français avaient été infectés par la COVID-19. On prélève un individu au hasard ; quelle est la probabilité qu'il ait déjà été infecté (évènement I) ?

Par équiprobabilité, P(I) = 0{,}057.

PartieA ; 2.a On prélève 100 personnes (tirage assimilé avec remise) ; X compte les personnes déjà infectées. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

L'épreuve « être déjà infecté » (probabilité 0,057) est répétée 100 fois de façon indépendante : X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0{,}057.

PartieA ; 2.b Calculer son espérance et interpréter.

\begin{aligned}E(X) &= 100\times0{,}057 \\ &= 5{,}7\end{aligned} En moyenne, un échantillon de 100 adultes contient 5,7 personnes déjà infectées.

PartieA ; 2.c Quelle est la probabilité qu'aucune personne de l'échantillon ne soit infectée (à 10^{-4} près) ?

P(X=0) = 0{,}943^{100} \approx 0,0028.

PartieA ; 2.d Quelle est la probabilité qu'au moins 2 personnes soient infectées (à 10^{-4} près) ?

P(X\geqslant2) = 1-P(X\leqslant1) \approx 0,9801.

PartieA ; 2.e Déterminer le plus petit entier n tel que P(X\leqslant n)>0{,}9, et interpréter.

À la calculatrice, P(X\leqslant8)\approx0{,}883 et P(X\leqslant9)\approx0{,}941 : le plus petit entier est n=9. Il y a plus de 9 chances sur 10 que l'échantillon contienne au plus 9 personnes déjà infectées.

PartieB ; 1. Un test a une sensibilité de 0,8 (P_I(T), test positif sachant infecté) et une spécificité de 0,99 (P_{\overline{I}}(\overline{T})). Compléter l'arbre de probabilités.

P(I)=0{,}057, P(\overline{I})=0{,}943 ; P_I(T)=0{,}8, P_I(\overline{T})=0{,}2 ; P_{\overline{I}}(T)=0{,}01, P_{\overline{I}}(\overline{T})=0{,}99.

PartieB ; 2. Montrer que P(T) = 0{,}05503.

Par les probabilités totales : \begin{aligned}P(T) &= P(I\cap T)+P(\overline{I}\cap T) \\ &= 0{,}057\times0{,}8+0{,}943\times0{,}01 \\ &= 0{,}0456+0{,}00943 \\ &= 0{,}05503\end{aligned}

PartieB ; 3. Quelle est la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif (à 10^{-4} près) ?

P_T(I) = \dfrac{P(I\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}0456}{0{,}05503} \approx 0,8286.

PartieC. Dans un autre pays, avec le même test, la proportion de tests positifs est de 29,44 %. Quelle est la probabilité qu'un individu choisi au hasard ait été infecté ?

En notant x la proportion d'infectés : \begin{aligned}P(T) &= 0{,}8x+0{,}01(1-x) \\ &= 0{,}79x+0{,}01\end{aligned}
\begin{aligned}0{,}79x+0{,}01 = 0{,}2944 &\iff 0{,}79x = 0{,}2844 \\ &\iff x = 0{,}36 \end{aligned} La probabilité d'avoir été infecté est 0,36 (36 % de la population).

1.À l'issue d'un examen, 91,7 % des étudiants ont répondu « oui » à la question « Pensez-vous avoir réussi ? » ; 65 % des étudiants ayant échoué ont répondu « non », et 98 % de ceux ayant réussi ont répondu « oui ». Préciser P(Q) et P_{\overline{R}}(\overline{Q}).

P(Q) = 0{,}917 (proportion de « oui ») et P_{\overline{R}}(\overline{Q}) = 0{,}65 (probabilité d'avoir répondu « non » sachant qu'on a échoué).

2.aEn notant x = P(R), compléter l'arbre pondéré.

P(R)=x, P(\overline{R})=1-x ; P_R(Q)=0{,}98, P_R(\overline{Q})=0{,}02 ; P_{\overline{R}}(Q)=0{,}35, P_{\overline{R}}(\overline{Q})=0{,}65.

2.bMontrer que x=0{,}9.

Par les probabilités totales : \begin{aligned}P(Q) &= 0{,}98x+0{,}35(1-x) \\ &= 0{,}63x+0{,}35\end{aligned}
\begin{aligned}0{,}63x+0{,}35 = 0{,}917 &\iff 0{,}63x = 0{,}567 \\ &\iff x = 0{,}9 \end{aligned}

3.L'étudiant interrogé a répondu « oui ». Quelle est la probabilité qu'il ait réussi l'examen (à 10^{-3} près) ?

P_Q(R) = \dfrac{P(Q\cap R)}{P(Q)} = \dfrac{0{,}9\times0{,}98}{0{,}917} \approx 0,962.

4.La note N suit la loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615). À partir de quelle note la directrice doit-elle récompenser pour que 65 % des étudiants le soient ?

À la calculatrice : P(N\geqslant11)\approx0{,}797 et P(N\geqslant12)\approx0{,}649 : en récompensant à partir de la note 11, environ 80 % des étudiants sont récompensés, ce qui est le premier seuil garantissant au moins 65 %.

5.Les notes N_1,\dots,N_{10} de dix étudiants sont indépendantes et suivent la même loi binomiale (20 ; 0,615). Calculer E(S) et V(S) pour S = N_1+\dots+N_{10}.

Pour chaque note : \begin{aligned}E(N_i) &= 20\times0{,}615 \\ &= 12{,}3\end{aligned} et \begin{aligned}V(N_i) &= 20\times0{,}615\times0{,}385 \\ &= 4{,}7355\end{aligned}
\begin{aligned}E(S) &= 10\times12{,}3 \\ &= 123\end{aligned} et, par indépendance, \begin{aligned}V(S) &= 10\times4{,}7355 \\ &= 47{,}355\end{aligned}

6.aOn pose M = \dfrac{S}{10}. Que modélise cette variable aléatoire ?

M modélise la moyenne des notes obtenues par les dix étudiants choisis au hasard.

6.bJustifier que E(M)=12{,}3 et V(M)=0{,}47355.

\begin{aligned}E(M) &= \dfrac{1}{10}E(S) \\ &= 12{,}3\end{aligned} et \begin{aligned}V(M) &= \dfrac{1}{100}V(S) \\ &= 0{,}47355\end{aligned}

6.cÀ l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier que la probabilité que la moyenne de dix étudiants soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d'au moins 80 %.

L'intervalle ]10{,}3~;~14{,}3[ est centré sur E(M)=12{,}3 : l'évènement s'écrit |M-12{,}3|<2.
Bienaymé-Tchebychev : \begin{aligned}P(|M-12{,}3|\geqslant2) &\leqslant \dfrac{0{,}47355}{4} \\ &\approx 0{,}118\end{aligned} donc {P(|M-12{,}3|<2)\geqslant0{,}88\geqslant0{,}8}. L'affirmation est justifiée.

1.aLa suite (u_n) est définie par u_0=8 et u_{n+1}=u_n-\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right). Donner les valeurs arrondies au centième de u_1 et u_2.

u_1 = 8-\ln\left(\dfrac84\right) = 8-\ln(2) \approx 7,31.
u_2 = u_1-\ln\left(\dfrac{u_1}{4}\right) \approx 7{,}3069-\ln(1{,}8267) \approx 6,70.

1.bUne fonction Python mystere(k) initialise u = 8 et S = 0, puis répète k fois S = S + u suivi de u = u - log(u/4), avant de renvoyer S. L'appel mystere(10) renvoie 58,440... Que représente ce résultat ?

À chaque tour de boucle, S accumule la valeur courante de u avant sa mise à jour : après 10 tours, S contient donc u_0+u_1+\cdots+u_9, c'est-à-dire la somme des dix premiers termes de la suite (u_n), de u_0 à u_9.

1.cModifier la fonction pour qu'elle renvoie la moyenne des k premiers termes de la suite.

2.Soit f(x) = x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right) définie et dérivable sur ]0~;~+\infty[. Étudier les variations de f et préciser la valeur exacte de son minimum.

f'(x) = 1-\dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}. Comme x>0, f'(x) est du signe de x-1 : f'(x)<0 sur ]0~;~1[ et f'(x)>0 sur ]1~;~+\infty[.
f est donc strictement décroissante sur ]0~;~1] puis strictement croissante sur [1~;~+\infty[, avec un minimum en x=1 valant \begin{aligned}f(1) &= 1-\ln\left(\dfrac14\right) \\ &= 1+\ln(4)\end{aligned}

3.aOn admet que u_{n+1}=f(u_n) pour tout n. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.

Initialisation : u_0=8 et u_1\approx7{,}31, donc {1\leqslant u_1\leqslant u_0} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n} pour un certain n. Comme f est croissante sur [1~;~+\infty[, on a {f(1)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)}, soit {f(1)\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}}. Or \begin{aligned}f(1) &= 1+\ln(4) \\ &\approx 2{,}39 \\ &\geqslant 1\end{aligned} donc {1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.

3.bEn déduire que (u_n) converge, et noter \ell sa limite.

L'encadrement précédent montre que (u_n) est décroissante (car u_{n+1}\leqslant u_n) et minorée par 1 : elle converge donc vers une limite réelle \ell\geqslant1.

3.cRésoudre l'équation f(x)=x sur ]0~;~+\infty[.

\begin{aligned}f(x) = x &\iff x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right) = x \\ &\iff \ln\left(\dfrac{x}{4}\right) = 0 \\ &\iff \dfrac{x}{4} = 1 \\ &\iff x = 4 \end{aligned} L'unique solution est 4.

3.dEn déduire la valeur de \ell.

f est continue sur ]0~;~+\infty[ (car dérivable) ; en passant à la limite dans u_{n+1}=f(u_n), \ell vérifie f(\ell)=\ell. D'après la question précédente, la seule solution possible est \ell=4 : \ell=4.

1.Un QCM propose trois listes de nombres pour la question « citer trois diviseurs de 84 » : (84, 168, 252), (2, 3, 4) et (2, 5, 7). Laquelle est correcte ?

84 se décompose en 84 = 2^{2}\times3\times7, donc ses diviseurs comprennent notamment 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 et 84.
On vérifie que 84 \div 2 = 42, 84 \div 3 = 28 et 84 \div 4 = 21 : ce sont bien trois diviseurs entiers de 84.
En revanche 168 et 252 sont des multiples de 84 (et non des diviseurs), et 5 ne divise pas 84 : la liste correcte est (2, 3, 4).

2.La pyramide SABCD est un agrandissement de coefficient 2 de la pyramide SA'B'C'D'. Par quel nombre doit-on multiplier le volume de SA'B'C'D' pour obtenir celui de SABCD ?

Dans un agrandissement (ou une réduction) de coefficient k, les longueurs sont multipliées par k, mais les volumes sont multipliés par k^{3}.
Ici k = 2, donc le volume est multiplié par 2^{3} = 8.

3.Quelle est la valeur de l'expression x^{2} + 3x - 5 pour x = -2 ?

On remplace x par -2 : (-2)^{2} + 3\times(-2) - 5 = 4 - 6 - 5.
Soit 4 - 6 - 5 = -7.

4.Un sac opaque contient huit boules numérotées de 1 à 8. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 2 ?

Parmi les nombres de 1 à 8, les multiples de 2 sont 2, 4, 6 et 8, soit 4 boules favorables sur 8 au total.
La probabilité cherchée est donc \dfrac{4}{8} = \dfrac12.

5.Le triangle DEF est l'image du triangle ABC par une homothétie de centre O. Sur la figure, DEF est situé de l'autre côté de O par rapport à ABC, et ses dimensions sont doublées par rapport à ABC. Quel est le rapport de cette homothétie ?

Une homothétie de rapport positif conserve le côté de O sur lequel se trouve la figure, tandis qu'un rapport négatif la fait basculer de l'autre côté du centre.
Ici DEF se trouve bien de l'autre côté de O par rapport à ABC : le rapport est donc négatif.
De plus, DEF est environ deux fois plus grand qu'ABC : la valeur absolue du rapport est 2.
Le rapport de l'homothétie est donc -2.

PartieA (évolution du nombre de visiteurs). 1.a D'après le diagramme en barres du nombre de visiteurs annuels sur un site touristique entre 2010 et 2021, quel a été le nombre de visiteurs en 2010 (aucune justification attendue) ?

D'après la hauteur de la première barre du diagramme, le nombre de visiteurs en 2010 était de 300 000.

1.bEn quelle année le nombre de visiteurs a-t-il été le plus élevé (aucune justification attendue) ?

La barre la plus haute du diagramme, avant la baisse marquée des deux dernières années, correspond à l'année 2019.

2.En 2020, le site a compté 187 216 visiteurs, puis 219 042 en 2021. Le maire de la ville souhaitait une progression d'au moins 15 % entre 2020 et 2021. Cet objectif a-t-il été atteint ?

Une progression de 15 % correspond à un nombre de visiteurs multiplié par 1+\dfrac{15}{100}=1{,}15.
Le nombre de visiteurs qu'il aurait fallu atteindre est donc 1{,}15\times187\,216 = 215\,298{,}4.
Or le nombre de visiteurs réellement observé en 2021, 219\,042, est supérieur à 215\,298{,}4 : l'objectif du maire a bien été atteint.

PartieB (prix des hôtels). Le tableau des prix facturés pour une nuit (en euro) et de leurs effectifs est : 60 € (1 200 nuits), 80 € (1 350), 85 € (1 000), 90 € (1 100), 110 € (1 200), 120 € (1 300), 350 € (900), 500 € (300). 3. Déterminer l'étendue des prix facturés.

L'étendue d'une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.
Ici, le prix maximal est 500 € et le prix minimal est 60 €, donc l'étendue vaut 500-60 = 440 euros.

4.Quelle est la moyenne des prix facturés pour une nuit, arrondie à l'euro près ?

Le nombre total de nuits facturées est 1\,200+1\,350+1\,000+1\,100+1\,200+1\,300+900+300 = 8\,350.
La somme totale facturée est 60\times1\,200+80\times1\,350+85\times1\,000+90\times1\,100+110\times1\,200+120\times1\,300+350\times900+500\times300 = 1\,117\,000 euros.
La moyenne est donc \dfrac{1\,117\,000}{8\,350}\approx133{,}77, soit environ 134 euros.

5.L'association des hôteliers affirme : « dans les hôtels de cette ville, au moins la moitié des nuits est facturée à moins de 100 € ». Cette affirmation est-elle vraie ?

Il y a 8 350 nuits au total, dont la moitié représente \dfrac{8\,350}{2} = 4\,175 nuits.
Les nuits facturées strictement en dessous de 100 € correspondent aux prix 60 €, 80 €, 85 € et 90 €, soit 1\,200+1\,350+1\,000+1\,100 = 4\,650 nuits.
Comme 4\,650 > 4\,175, plus de la moitié des nuits sont bien facturées à moins de 100 € : l'affirmation de l'association est vraie.

1.La piste d'un hippodrome est composée de deux lignes droites de 850 m chacune et de deux virages en demi-cercle de rayon 40 m. Montrer que la longueur d'un tour de piste est d'environ 1 951 m.

Les deux virages en demi-cercle, mis bout à bout, forment un cercle complet de rayon 40 m, de périmètre 2\times\pi\times40\approx251{,}33 m.
La longueur d'un tour de piste est la somme des deux lignes droites et de ce cercle complet : 850\times2+251{,}33 = 1\,951{,}33 m.
La longueur d'un tour de piste est donc bien d'environ 1 951 m.

2.aUn cheval parcourt un tour de piste (1 951 m) en 2 min 9 s. Calculer sa vitesse moyenne en mètre par seconde, arrondie à l'unité.

On convertit d'abord la durée en secondes : 2\ \text{min}\ 9\ \text{s} = 2\times60+9 = 129 s.
La vitesse moyenne est \begin{aligned}v &= \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}} \\ &= \dfrac{1\,951}{129} \\ &\approx 15{,}13\end{aligned} soit environ 15 m/s.

2.bConvertir cette vitesse moyenne en kilomètre par heure.

Pour convertir une vitesse de m/s en km/h, on multiplie par 3,6 (puisque 1 m/s = \dfrac{3\,600}{1\,000} km/h =3{,}6 km/h).
En reprenant la valeur exacte, \begin{aligned}v &= \dfrac{1\,951}{129}\times3{,}6 \\ &\approx 54{,}5\end{aligned} soit environ 54 km/h (à comparer à l'arrondi de la question précédente, 15\times3{,}6=54 km/h).

3.La surface de la piste a une aire d'environ 73 027 m^{2} et on souhaite y semer du gazon en totalité. Trois marques de sacs sont disponibles : marque A (500 m^{2} par sac, 141,95 €), marque B (400 m^{2} par sac, 87,90 €), marque C (300 m^{2} par sac, 66,50 €). Quelle marque doit-on choisir pour dépenser le moins possible ?

Marque A : 73\,027\div500\approx146{,}05, il faut donc 147 sacs entiers, pour un coût de 147\times141{,}95 = 20\,866{,}65 €.
Marque B : 73\,027\div400\approx182{,}57, il faut donc 183 sacs entiers, pour un coût de 183\times87{,}90 = 16\,085{,}70 €.
Marque C : 73\,027\div300\approx243{,}42, il faut donc 244 sacs entiers, pour un coût de 244\times66{,}50 = 16\,226 €.
Le coût le plus faible est celui de la marque B, avec 16 085,70 € : il faut choisir la marque B.

1.D'après des chercheurs, la probabilité qu'une personne subisse une attaque mortelle de requin au cours de sa vie est l'une des trois valeurs suivantes : 2,7\times10^{-7}, 2,7\times10^{0} ou 2,7\times10^{7}. Laquelle ?

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Or 2,7\times10^{0}=2,7 et 2,7\times10^{7} sont bien supérieurs à 1 : seule 2,7\times10^{-7} (un nombre très petit, proche de 0) peut être une probabilité.

2.Calculer \dfrac35 - \dfrac25\times\dfrac74.

On commence par le produit : \begin{aligned}\dfrac25\times\dfrac74 &= \dfrac{2\times7}{5\times4} \\ &= \dfrac{14}{20} \\ &= \dfrac{7}{10}\end{aligned}
On met ensuite les deux fractions au même dénominateur : \dfrac35 = \dfrac{6}{10}, donc \begin{aligned}\dfrac35-\dfrac25\times\dfrac74 &= \dfrac{6}{10}-\dfrac{7}{10} \\ &= -\dfrac{1}{10}\end{aligned}

3.Un pantalon vendu 80 € est affiché à 60 € sur un site. Quel est le pourcentage de réduction ?

La réduction représente 80-60=20 € sur un prix de départ de 80 €.
Le taux de réduction est donc \begin{aligned}\dfrac{20}{80} &= \dfrac{1}{4} \\ &= \dfrac{25}{100}\end{aligned} soit 25 %.

4.ABCD est un parallélogramme de centre E. Que peut-on dire de l'homothétie de centre A qui transforme B en F, où F est le milieu de [AB] ?

Dans un parallélogramme ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu commun E : E est donc le milieu de [AC].
F étant le milieu de [AB], l'homothétie de centre A qui envoie B sur son milieu F a pour rapport \dfrac12 ; cette même homothétie envoie alors C, par le même rapport, sur le milieu de [AC], c'est-à-dire sur E.

5.Déterminer la médiane de la série de valeurs : 11 ; 17 ; 8 ; 14 ; 3 ; 20 ; 5 ; 10 ; 12.

On range d'abord les 9 valeurs par ordre croissant : 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 17 ; 20.
Comme il y a 9 valeurs (nombre impair), la médiane est la 5e valeur de cette liste triée, soit 11.

1.Le parcours de la randonnée est schématisé par le triangle DMV, avec N sur [DM] et P sur [DV] tels que (NP) et (VM) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (DM). Justifier que (PN) et (VM) sont parallèles.

Les droites (PN) et (VM) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (DM) : deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles, donc (PN) et (VM) sont parallèles.

2.On donne DM = 3,8 km (distance totale de la randonnée), MV = 741 m (altitude maximale) et Fabienne, partie de D, atteint le panneau P après avoir parcouru DP = 3 km. Déterminer l'altitude de Fabienne au panneau P.

3.Fabienne a parcouru les 3 km du trajet [DP] en 2 heures. Quelle est sa vitesse moyenne, en km/h, sur ce trajet ?

La vitesse moyenne est la distance parcourue divisée par la durée : \dfrac{3}{2}= 1,5 km/h.

4.Sur la fin du parcours [PV], Fabienne marche à une vitesse moyenne de 1,2 km/h. La durée totale estimée de la randonnée est de 2 h 30 min. A-t-elle dépassé cette durée ?

PartieA ; 1. Une entreprise loue des trottinettes électriques et contrôle leur état chaque lundi. On admet que si une trottinette est en bon état un lundi donné, la probabilité qu'elle le soit encore le lundi suivant est 0{,}9 ; si elle est en mauvais état, la probabilité qu'elle passe en bon état la semaine suivante est 0{,}4. On note B_n l'événement « la trottinette est en bon état n semaines après sa mise en service » et p_n=P(B_n), avec p_0=1. Donner p_1 et montrer que p_2=0{,}85.

Comme la trottinette est en bon état à l'instant 0 (p_0=1), on a directement \begin{aligned}p_1 &= P_{B_0}(B_1) \\ &= 0{,}9\end{aligned}
En construisant l'arbre pondéré sur les deux premières semaines (issues B_1 ou \overline{B_1}, puis B_2 ou \overline{B_2} à chaque fois), la formule des probabilités totales donne : \begin{aligned}p_2 &= P(B_1)\times P_{B_1}(B_2) + P(\overline{B_1})\times P_{\overline{B_1}}(B_2) \\ &= 0{,}9\times0{,}9+0{,}1\times0{,}4 \\ &= 0{,}81+0{,}04 \\ &= 0{,}85\end{aligned}
On obtient bien p_1=0{,}9 et p_2=0{,}85.

PartieA ; 2. Reproduire et compléter l'arbre pondéré traduisant le passage de la semaine n à la semaine n+1.

L'arbre a pour première branche B_n avec probabilité p_n (puis B_{n+1} avec probabilité 0{,}9 et \overline{B_{n+1}} avec probabilité 0{,}1), et pour seconde branche \overline{B_n} avec probabilité 1-p_n (puis B_{n+1} avec probabilité 0{,}4 et \overline{B_{n+1}} avec probabilité 0{,}6).

PartieA ; 3. En déduire que, pour tout entier naturel n, p_{n+1}=0{,}5p_n+0{,}4.

Les événements B_n et \overline{B_n} forment une partition de l'univers, donc la formule des probabilités totales donne : \begin{aligned}p_{n+1} &= P(B_n)\times0{,}9 + P(\overline{B_n})\times0{,}4 \\ &= 0{,}9p_n + 0{,}4(1-p_n) \\ &= 0{,}9p_n+0{,}4-0{,}4p_n\end{aligned}
Donc, la réponse est p_{n+1} = 0{,}5p_n+0{,}4.

PartieA ; 4.a Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, p_n\geqslant0{,}8.

Initialisation : \begin{aligned}p_0 &= 1 \\ &\geqslant 0{,}8\end{aligned} la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que pour un entier naturel n donné, p_n\geqslant0{,}8. Alors, en multipliant par 0{,}5>0 : 0{,}5p_n\geqslant0{,}4, puis en ajoutant 0{,}4 : 0{,}5p_n+0{,}4\geqslant0{,}8, c'est-à-dire p_{n+1}\geqslant0{,}8. La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, p_n\geqslant0{,}8.

PartieA ; 4.b Quelle communication l'entreprise peut-elle envisager à partir de ce résultat ?

En interprétant p_n comme la proportion de trottinettes en bon état, l'entreprise peut communiquer sur le fait qu'au moins 80 % de son parc reste en permanence en bon état, quelle que soit la semaine considérée.

PartieA ; 5.a On pose, pour tout entier naturel n, u_n=p_n-0{,}8. Montrer que \left(u_n\right) est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1} &= p_{n+1}-0{,}8 \\ &= (0{,}5p_n+0{,}4)-0{,}8 \\ &= 0{,}5p_n-0{,}4 \\ &= 0{,}5(p_n-0{,}8) \\ &= 0{,}5\,u_n\end{aligned}
La suite \left(u_n\right) est donc géométrique de raison q=0{,}5, de premier terme \begin{aligned}u_0 &= p_0-0{,}8 \\ &= 1-0{,}8 \\ &= 0{,}2\end{aligned}

PartieA ; 5.b En déduire l'expression de u_n puis de p_n en fonction de n.

D'après la forme explicite d'une suite géométrique : \begin{aligned}u_n &= u_0\times q^n \\ &= 0{,}2\times0{,}5^n\end{aligned} pour tout entier naturel n. Comme p_n=u_n+0{,}8, on obtient p_n = 0{,}2\times0{,}5^n+0{,}8.

PartieA ; 5.c En déduire la limite de la suite \left(p_n\right).

La raison 0{,}5 est strictement comprise entre -1 et 1, donc \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}5^n=0, puis \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0. Par limite de somme, \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}p_n &= 0+0{,}8 \\ &= 0{,}8\end{aligned}

PartieB ; 1. On modélise désormais l'état des trottinettes du parc par une probabilité de bon état égale à 0{,}8, indépendamment d'une trottinette à l'autre. On note X le nombre de trottinettes en bon état dans un lot de 15, ce prélèvement pouvant être assimilé à un tirage avec remise. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

On répète 15 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (« la trottinette est en bon état », de probabilité 0{,}8) : X compte le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale \mathcal{B}(15~;~0{,}8).

PartieB ; 2. Calculer la probabilité que les 15 trottinettes du lot soient toutes en bon état.

P(X=15) = 0{,}8^{15} \approx 0,0352 (arrondi au dix-millième).

PartieB ; 3. Calculer la probabilité qu'au moins 10 trottinettes du lot soient en bon état.

À la calculatrice, P(X\geqslant10) = 1-P(X\leqslant9) \approx 0,9389 (arrondi au dix-millième).

PartieB ; 4. On admet que E(X)=12. Interpréter ce résultat.

Pour une loi binomiale \mathcal{B}(n~;~p), on a \begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 15\times0{,}8 \\ &= 12\end{aligned} Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de lots de 15 trottinettes prélevées dans le parc, 12 d'entre elles sont en bon état.

Unechaîne de télévision hésite à programmer un jeu réunissant quatre candidats en deux phases : une phase de qualification où chaque candidat est qualifié avec une probabilité de 0{,}6 indépendamment des autres, puis une phase finale qui n'a lieu que si au moins deux candidats sont qualifiés, et dont la durée (en minutes) dépend du nombre de qualifiés selon le tableau : 0 qualifié \rightarrow 0 min, 1 \rightarrow 0 min, 2 \rightarrow 5 min, 3 \rightarrow 9 min, 4 \rightarrow 11 min. Le jeu n'est retenu que si la phase finale a lieu dans au moins 80 % des cas ET si sa durée moyenne ne dépasse pas 6 minutes. Le jeu peut-il être retenu ?

Condition 1. Chaque candidat est qualifié ou non de façon indépendante avec la même probabilité 0{,}6 : en notant X le nombre de candidats qualifiés parmi les quatre, X suit la loi binomiale \mathcal{B}(4~;~0{,}6).
La phase finale a lieu dès que X\geqslant2. À la calculatrice, \begin{aligned}P(X\geqslant2) &= 1-P(X=0)-P(X=1) \\ &\approx 1-0{,}0256-0{,}1536 \\ &\approx 0{,}821\end{aligned}
Comme 0{,}821\geqslant0{,}8, la condition 1 est vérifiée.
Condition 2. Notons T la variable aléatoire égale à la durée de la phase finale ; elle prend les valeurs 0, 5, 9 et 11.
\begin{aligned}P(T=11) &= P(X=4) \\ &= 0{,}6^4 \\ &\approx 0{,}1296\end{aligned} \begin{aligned}P(T=9) &= P(X=3) \\ &= \dbinom43\times0{,}6^3\times0{,}4 \\ &\approx 0{,}3456\end{aligned} \begin{aligned}P(T=5) &= P(X=2) \\ &= \dbinom42\times0{,}6^2\times0{,}4^2 \\ &\approx 0{,}3456\end{aligned} \begin{aligned}P(T=0) &= P(X=0)+P(X=1) \\ &\approx 0{,}0256+0{,}1536 \\ &= 0{,}1792\end{aligned}
L'espérance de T vaut \begin{aligned}E(T) &= 0\times0{,}1792+5\times0{,}3456+9\times0{,}3456+11\times0{,}1296 \\ &= 1{,}728+3{,}1104+1{,}4256 \\ &= 6{,}264\end{aligned} minutes.
Comme 6{,}264>6, la durée moyenne dépasse 6 minutes : la condition 2 n'est pas vérifiée.
Donc, la réponse est : la condition 1 est remplie mais pas la condition 2, donc le jeu ne peut pas être retenu en l'état.

PartieA ; 1. Un télévendeur relance une personne au premier appel : la probabilité qu'elle ne décroche pas vaut 0,6, et si elle décroche, la probabilité qu'elle achète vaut 0,3. Si elle n'a pas décroché, on tente un second appel : la probabilité qu'elle ne décroche toujours pas vaut 0,3, et si elle décroche cette fois, la probabilité d'achat vaut 0,2. On note D_1, D_2 et A les évènements « décroche au 1er appel », « décroche au 2e appel » et « achète le produit ». Compléter l'arbre pondéré.

L'arbre comporte deux niveaux : sur la première branche, P(D_1)=0{,}4 et P(\overline{D_1})=0{,}6, avec P_{D_1}(A)=0{,}3 et P_{D_1}(\overline{A})=0{,}7 ; sur la seconde branche (issue de \overline{D_1}), P_{\overline{D_1}}(D_2)=0{,}7 et P_{\overline{D_1}}(\overline{D_2})=0{,}3, avec P_{\overline{D_1}\cap D_2}(A)=0{,}2 et P_{\overline{D_1}\cap D_2}(\overline{A})=0{,}8.

PartieA ; 2. En utilisant l'arbre, montrer que P(A) = 0{,}204.

D'après la formule des probabilités totales, l'achat se produit soit dès le premier appel, soit après le second : P(A) = P(D_1\cap A) + P(\overline{D_1}\cap D_2\cap A) = 0{,}4\times0{,}3 + 0{,}6\times0{,}7\times0{,}2 = 0{,}12+0{,}084 = 0,204.

PartieA ; 3. Sachant que la personne a acheté le produit, quelle est la probabilité qu'elle ait décroché dès le premier appel ?

Il s'agit de calculer P_A(D_1) = \dfrac{P(D_1\cap A)}{P(A)} = \dfrac{0{,}4\times0{,}3}{0{,}204} = \dfrac{0{,}12}{0{,}204} \approx 0,588.

PartieB ; 1.a On prélève un échantillon aléatoire de 30 personnes ; X compte le nombre d'entre elles qui achètent le produit (on admet l'indépendance des situations). Donner, sans justification, la loi suivie par X et ses paramètres.

X suit la loi binomiale de paramètres n=30 et p=0{,}204.

PartieB ; 1.b Déterminer, au millième près, la probabilité que 6 personnes exactement de l'échantillon achètent le produit.

P(X=6) = \dbinom{30}{6}\times0{,}204^{6}\times\left(1-0{,}204\right)^{30-6} \approx 0,179.

PartieB ; 1.c Calculer l'espérance de X et interpréter le résultat.

E(X) = np = 30\times0{,}204 = 6,12. Cela signifie que, sur un grand nombre d'échantillons de 30 personnes contactées, le nombre d'acheteurs est en moyenne de 6,12 par échantillon.

PartieB ; 2. Pour un échantillon de n personnes, déterminer la plus petite valeur de n telle que la probabilité qu'au moins une personne achète le produit soit supérieure ou égale à 0,99.

Notons toujours X le nombre d'acheteurs parmi les n personnes, de loi binomiale de paramètres n et p=0{,}204. On veut le plus petit n tel que P(X\geqslant1)\geqslant0{,}99, c'est-à-dire 1-P(X=0)\geqslant0{,}99, soit P(X=0)\leqslant0{,}01.
Or \begin{aligned}P(X=0) &= \dbinom{n}{0}\times0{,}204^{0}\times\left(1-0{,}204\right)^{n} \\ &= 0{,}796^{n}\end{aligned} L'inéquation devient 0{,}796^{n}\leqslant0{,}01.
En passant au logarithme népérien (croissant) : n\ln(0{,}796)\leqslant\ln(0{,}01), puis, comme \ln(0{,}796)<0, on divise en changeant le sens de l'inégalité : \begin{aligned}n &\geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}796)} \\ &\approx 20{,}18\end{aligned}
Le plus petit entier convenable est donc n=21, on vérifie que n=20 donne P(X\geqslant1)\approx0{,}9896<0{,}99, tandis que n=21 donne \begin{aligned}P(X\geqslant1) &\approx 0{,}9917 \\ &\geqslant 0{,}99\end{aligned}

1.L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le point A(1 ; 1 ; 0) et le vecteur \vec{u}\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}, ainsi que la droite (d) passant par A et de vecteur directeur \vec{u}. Déterminer une représentation paramétrique de (d).

Un point M(x~;~y~;~z) appartient à (d) si et seulement si \overrightarrow{AM} = t\vec{u} pour un certain réel t, ce qui donne la représentation paramétrique \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1+2t \\ z = -t \end{array}\right.,\ t\in\mathbb{R}.

2.On considère le plan \mathcal{P} d'équation x+4y+2z+1=0. Justifier que la droite (d) et le plan \mathcal{P} sont sécants en un point B de coordonnées (1 ; -1 ; 1).

En substituant les coordonnées paramétriques de (d) dans l'équation de \mathcal{P} : 1+4(1+2t)+2(-t)+1=0, soit 1+4+8t-2t+1=0, c'est-à-dire 6t+6=0, d'où t=-1.
En reportant t=-1 dans la représentation paramétrique de (d) : x=1, \begin{aligned}y &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned} z=1. Le système admet donc une unique solution, ce qui montre que (d) et \mathcal{P} sont sécants, au point B(1~;~-1~;~1).

3.aOn considère le point C(1 ; -1 ; -1). Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix} ont la même première et la même deuxième coordonnée mais des troisièmes coordonnées différentes (1\neq-1) : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont donc pas alignés et définissent bien un plan (ABC).

3.bMontrer que le vecteur \vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} est normal au plan (ABC).

On calcule \begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} &= 1\times0+0\times(-2)+0\times1 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} &= 1\times0+0\times(-2)+0\times(-1) \\ &= 0\end{aligned} Le vecteur \vec{n} est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il lui est normal.

3.cDéterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Le plan (ABC) admet \vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} pour vecteur normal, donc une équation de la forme x+d=0 avec d\in\mathbb{R}. Comme A(1~;~1~;~0) appartient au plan : 1+d=0, soit d=-1. Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc x-1=0.

4.aJustifier que le triangle ABC est isocèle en A.

On a \text{AB}^2 = \|\overrightarrow{AB}\|^2 = 0^2+(-2)^2+1^2 = 5 et \text{AC}^2 = \|\overrightarrow{AC}\|^2 = 0^2+(-2)^2+(-1)^2 = 5. Donc \text{AB}^2=\text{AC}^2, c'est-à-dire AB = AC : le triangle ABC est isocèle en A.

4.bSoit H le milieu du segment [BC]. Calculer la longueur AH puis l'aire du triangle ABC.

Les coordonnées de H sont la moyenne de celles de B et C : H\left(\dfrac{1+1}{2}~;~\dfrac{-1-1}{2}~;~\dfrac{1-1}{2}\right), soit H(1~;~-1~;~0).
On obtient \text{AH}^2 = (1-1)^2+(-1-1)^2+(0-0)^2 = 4, d'où \text{AH}=2.
Le triangle ABC étant isocèle en A, la médiane issue de A est aussi la hauteur relative au côté [BC], donc \mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{\text{BC}\times\text{AH}}{2}. Or \text{BC}^2 = (1-1)^2+(-1+1)^2+(-1-1)^2 = 4, d'où \text{BC}=2.
Donc, la réponse est \begin{aligned}\mathcal{A}(\text{ABC}) &= \dfrac{2\times2}{2} \\ &= 2\end{aligned} unité d'aire.

5.aSoit D le point de coordonnées (0 ; -1 ; 1). Montrer que la droite (BD) est une hauteur de la pyramide ABCD.

On calcule \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, donc \overrightarrow{BD} = -\vec{n}. Comme \vec{n} est normal au plan (ABC), \overrightarrow{BD} l'est aussi : la droite (BD), orthogonale au plan de base (ABC) et passant par le sommet D, est donc bien une hauteur de la pyramide ABCD.

5.bEn déduire le volume de la pyramide ABCD (on rappelle que le volume d'une pyramide vaut V=\dfrac13\mathcal{B}\times h, où \mathcal{B} est l'aire d'une base et h la hauteur associée).

On prend pour base le triangle (ABC), d'aire \mathcal{A}(\text{ABC})=2, et pour hauteur la longueur BD.
\text{BD}^2 = \|\overrightarrow{BD}\|^2 = (-1)^2+0^2+0^2 = 1, donc \text{BD}=1.
Donc, la réponse est \begin{aligned}V(\text{ABCD}) &= \dfrac13\times2\times1 \\ &= \dfrac23\end{aligned} unité de volume.

1.On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1, muni du repère orthonormé (A~;~\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}). Donner les coordonnées des points E, C et G dans ce repère.

En suivant les arêtes du cube depuis A : \text{E}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \text{C}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} et \text{G}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}.

2.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

Le vecteur \overrightarrow{EC} a pour coordonnées \begin{pmatrix}1-0 \\ 1-0 \\ 0-1\end{pmatrix}, soit \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} : c'est un vecteur directeur de la droite (EC), qui passe par \text{E}(0~;~0~;~1).
Donc, la réponse est : (EC) a pour représentation paramétrique \begin{cases}x = t\\y = t\\z = 1-t\end{cases} avec t\in\mathbb{R}.

3.Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).

Les points G, B, D ne sont pas alignés, donc (GBD) est un plan, dirigé par exemple par \overrightarrow{GB}\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix} et \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{GB} &= 1\times0 + 1\times(-1) + (-1)\times(-1) \\ &= 0-1+1 \\ &= 0\end{aligned} donc \overrightarrow{EC}\perp\overrightarrow{GB}.
\begin{aligned}\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{BD} &= 1\times(-1) + 1\times1 + (-1)\times0 \\ &= -1+1+0 \\ &= 0\end{aligned} donc \overrightarrow{EC}\perp\overrightarrow{BD}.
Le vecteur \overrightarrow{EC} est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan (GBD), donc la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).

4.aJustifier qu'une équation cartésienne du plan (GBD) est x+y-z-1=0.

Comme (EC) est orthogonale à (GBD), tout vecteur directeur de (EC) est un vecteur normal à (GBD) ; en particulier \overrightarrow{EC}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} convient.
Le plan (GBD) a donc une équation de la forme x+y-z+d=0. En écrivant que \text{B}(1~;~0~;~0) appartient à ce plan : 1+0-0+d=0, donc d=-1.
Donc, la réponse est : le plan (GBD) a pour équation x+y-z-1=0.

4.bMontrer que le point I, intersection de (EC) et (GBD), a pour coordonnées \left(\dfrac23~;~\dfrac23~;~\dfrac13\right).

Les coordonnées de I vérifient à la fois la représentation paramétrique de (EC) et l'équation de (GBD) : x=t, y=t, z=1-t et x+y-z-1=0.
En substituant : \begin{aligned}t+t-(1-t)-1 = 0 &\iff 3t-2 = 0 \\ &\iff t = \dfrac23 \end{aligned}
Donc, la réponse est : \text{I}\left(\dfrac23~;~\dfrac23~;~\dfrac13\right), car \begin{aligned}x_I &= t \\ &= \dfrac23\end{aligned} \begin{aligned}y_I &= t \\ &= \dfrac23\end{aligned} et \begin{aligned}z_I &= 1-t \\ &= 1-\dfrac23 \\ &= \dfrac13\end{aligned}

4.cEn déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à \dfrac{2\sqrt3}{3}.

La droite (EC) étant orthogonale au plan (GBD) et le coupant en I, la distance de E au plan (GBD) est la longueur EI.
\text{EI}^2 = \left(\dfrac23-0\right)^2+\left(\dfrac23-0\right)^2+\left(\dfrac13-1\right)^2 = \dfrac49+\dfrac49+\dfrac49 = \dfrac{12}{9} = \dfrac43.
\text{EI} = \sqrt{\dfrac43} = \dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}. Donc, la réponse est : la distance de E au plan (GBD) vaut \dfrac{2\sqrt3}{3}.

5.aDémontrer que le triangle BDG est équilatéral.

Les segments [BD], [DG] et [GB] sont chacun la diagonale d'une face du cube (respectivement ABCD, CDHG et BCGF), qui sont trois carrés de même côté 1, donc superposables. Leurs diagonales ont donc toutes la même longueur \sqrt2 : le triangle BDG, ayant ses trois côtés égaux, est équilatéral.

5.bCalculer l'aire du triangle BDG, en utilisant le point J milieu de [BD].

Dans un triangle équilatéral, la médiane issue d'un sommet est aussi la hauteur : [GJ] est donc la hauteur issue de G, et l'aire du triangle vaut \mathcal{A} = \dfrac{\text{BD}\times\text{GJ}}{2}.
\text{B}(1~;~0~;~0) et \text{D}(0~;~1~;~0) donnent \text{J}\left(\dfrac12~;~\dfrac12~;~0\right), milieu de [BD].
\text{GJ}^2 = \left(\dfrac12-1\right)^2+\left(\dfrac12-1\right)^2+(0-1)^2 = \dfrac14+\dfrac14+1 = \dfrac32, donc \text{GJ} = \sqrt{\dfrac32} = \dfrac{\sqrt6}{2}.
[BD] est la diagonale d'un carré de côté 1, donc \text{BD} = \sqrt2.
Donc, la réponse est : \begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{\sqrt2\times\frac{\sqrt6}{2}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{12}}{4} \\ &= \dfrac{2\sqrt3}{4} \\ &= \dfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

6.Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à \dfrac13.

En prenant le triangle BDG comme base, d'aire \mathcal{A}=\dfrac{\sqrt3}{2}, et EI comme hauteur associée (E est le sommet opposé, et EI est la distance de E au plan de la base), le volume vaut V = \dfrac13\times\mathcal{A}\times\text{EI} = \dfrac13\times\dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{2\sqrt3}{3} = \dfrac13\times\dfrac{2\times3}{6} = \dfrac13\times1 = \dfrac13. Donc, la réponse est : le volume du tétraèdre EGBD vaut \dfrac13.

1.Dans un tableur, les cellules A1, B1 et C1 contiennent des nombres. Quelle formule saisie en D1 affiche leur somme ?

C'est la formule « =SOMME(A1:C1) » qui additionne le contenu des cellules de A1 à C1.

2.Une série de six nombres est 15 ; 10 ; 13 ; 9 ; 10 ; x. Pour quelle valeur de x la moyenne de la série vaut-elle 11 ?

La moyenne s'écrit \dfrac{15+10+13+9+10+x}{6} = \dfrac{57+x}{6}.
On résout \dfrac{57+x}{6} = 11, soit 57+x = 66, d'où x = 9.

3.Sur la Terre, l'équateur est-il un méridien, un demi-cercle ou un parallèle ?

L'équateur est un cercle qui entoure la Terre perpendiculairement à l'axe des pôles : c'est un parallèle (les méridiens, eux, passent par les pôles).

4.Quel est le volume exact, en cm^{3}, d'une boule de 6 cm de diamètre ? (rappel : V = \dfrac{4\pi R^3}{3})

Un diamètre de 6 cm correspond à un rayon R = 3 cm.
V = \dfrac{4\pi\times3^3}{3} = \dfrac{4\pi\times27}{3} = 4\pi\times9 = 36\pi cm^{3}.

PartieA ; 1.a Chaque jour travaillé, Paul rejoint la gare à vélo avec probabilité \dfrac23, sinon en voiture. À vélo, il rate son train avec probabilité \dfrac{1}{50} ; en voiture, avec probabilité \dfrac{1}{10}. On note V l'évènement « Paul prend son vélo » et R l'évènement « Paul rate son train ». Représenter la situation par un arbre pondéré.

L'arbre part de la racine avec les branches V (probabilité \dfrac23) et \overline{V} (probabilité \dfrac13) ; sous V, les branches R (\dfrac{1}{50}) et \overline{R} (\dfrac{49}{50}) ; sous \overline{V}, les branches R (\dfrac{1}{10}) et \overline{R} (\dfrac{9}{10}).

PartieA ; 1.b Montrer que la probabilité que Paul rate son train vaut \dfrac{7}{150}.

D'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(R) &= P(V)\times P_V(R) + P(\overline{V})\times P_{\overline{V}}(R) \\ &= \dfrac23\times\dfrac{1}{50} + \dfrac13\times\dfrac{1}{10} \\ &= \dfrac{2}{150}+\dfrac{5}{150} \\ &= \dfrac{7}{150}\end{aligned}

PartieA ; 1.c Sachant que Paul a raté son train, déterminer la valeur exacte de la probabilité qu'il ait pris son vélo.

P_R(V) = \dfrac{P(R\cap V)}{P(R)} = \dfrac{\dfrac23\times\dfrac{1}{50}}{\dfrac{7}{150}} = \dfrac{\dfrac{2}{150}}{\dfrac{7}{150}} = \dfrac{2}{7}.

PartieA ; 2.a Sur un mois, Paul se rend 20 fois à la gare selon les mêmes modalités, les choix des différents jours étant indépendants. X compte le nombre de jours où il prend son vélo. Déterminer la loi suivie par X et ses paramètres.

La répétition de 20 épreuves identiques et indépendantes à deux issues (vélo ou non, avec probabilité \dfrac23 de prendre le vélo) est un schéma de Bernoulli répété : X suit la loi binomiale de paramètres n=20 et p=\dfrac23, notée X\sim\mathcal{B}\left(20~;~\dfrac23\right).

PartieA ; 2.b Calculer la probabilité que Paul prenne son vélo exactement 10 jours sur les 20 (arrondi au millième).

P(X=10) = \dbinom{20}{10}\left(\dfrac23\right)^{10}\left(\dfrac13\right)^{10} \approx 0,054 (à la calculatrice).

PartieA ; 2.c Calculer la probabilité que Paul prenne son vélo au moins 10 jours sur les 20 (arrondi au millième).

P(X\geqslant10) = 1-P(X\leqslant9) \approx 0,962 (à la calculatrice).

PartieA ; 2.d En moyenne, sur une période de 20 jours, combien de fois Paul prend-il son vélo pour rejoindre la gare (arrondi à l'entier) ?

L'espérance de X vaut \begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 20\times\dfrac23 \\ &= \dfrac{40}{3} \\ &\approx 13{,}33\end{aligned} En moyenne, Paul prend donc son vélo environ 13 jours sur 20.

PartieA ; 3. Quand Paul se rend à la gare en voiture, le temps de trajet T (en minutes, arrondi à la minute) suit la loi donnée par le tableau : k de 10 à 18 minutes avec P(T=k) valant respectivement 0,14 ; 0,13 ; 0,13 ; 0,12 ; 0,12 ; 0,11 ; 0,10 ; 0,08 ; 0,07. Déterminer l'espérance de T et l'interpréter.

\begin{aligned}E(T) &= 10\times0{,}14+11\times0{,}13+12\times0{,}13+13\times0{,}12+14\times0{,}12+15\times0{,}11+16\times0{,}10+17\times0{,}08+18\times0{,}07 \\ &= 13{,}5\end{aligned}
Donc, sur un grand nombre de trajets en voiture, la durée moyenne du trajet est de 13,5 minutes, soit 13 minutes et 30 secondes.

Partie1 ; 1. Julien doit prendre l'avion et a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport. S'il prend le bus de 8 h, il est sûr d'arriver à temps ; sinon, il ne peut plus arriver à temps. On note B l'évènement « Julien réussit à prendre son bus », de probabilité P(B)=0{,}2, et V l'évènement « Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol ». Donner la valeur de P_B(V).

S'il réussit à prendre son bus, Julien est certain d'être à l'heure à l'aéroport pour son vol. Donc, la réponse est P_B(V)=1.

Partie1 ; 2. S'il manque son bus, Julien prend une compagnie de voitures privées, avec une probabilité 0{,}5 d'être à l'heure à l'aéroport. Représenter la situation par un arbre pondéré.

On représente un arbre à deux niveaux : le premier niveau donne les branches B (probabilité 0{,}2) et \overline{B} (probabilité 1-0{,}2=0{,}8).
Depuis B partent les branches V (probabilité 1, puisque P_B(V)=1) et \overline V (probabilité 0).
Depuis \overline B partent les branches V (probabilité 0{,}5) et \overline V (probabilité 0{,}5).

Partie1 ; 3. Montrer que P(V)=0{,}6.

D'après la formule des probabilités totales, appliquée au système complet d'évènements \{B,\overline B\} : \begin{aligned}P(V) &= P(B\cap V)+P(\overline B\cap V) \\ &= P(B)\times P_B(V) + P(\overline B)\times P_{\overline B}(V)\end{aligned}
\begin{aligned}P(V) &= 0{,}2\times1+0{,}8\times0{,}5 \\ &= 0{,}2+0{,}4 \\ &= 0{,}6\end{aligned}
Donc, la réponse est P(V)=0{,}6.

Partie1 ; 4. Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ?

On cherche \begin{aligned}P_V(B) &= \dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\ &= \dfrac{P(B\cap V)}{P(V)} \\ &= \dfrac{0{,}2\times1}{0{,}6} \\ &= \dfrac{0{,}2}{0{,}6} \\ &= \dfrac13\end{aligned}
Donc, la réponse est P_V(B)=\dfrac13.

Partie2 ; 1. Une compagnie aérienne pratique le surbooking : chaque passager a 5 % de chance de ne pas se présenter à l'embarquement, indépendamment des autres. Pour un vol de 200 places où 206 billets ont été vendus, on note X la variable aléatoire comptant le nombre de passagers se présentant à l'embarquement. Justifier que X suit une loi binomiale, en précisant ses paramètres.

On répète 206 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues : « le passager se présente » (probabilité 1-0{,}05=0{,}95) ou « le passager ne se présente pas » (probabilité 0{,}05). X compte le nombre de succès.
Donc, la réponse est que X suit la loi binomiale de paramètres n=206 et p=0{,}95.

Partie2 ; 2. En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement ?

L'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p vaut n\times p, donc \begin{aligned}E(X) &= 206\times0{,}95 \\ &= 195{,}7\end{aligned}
Donc, la réponse est qu'en moyenne, environ 196 passagers se présentent à l'embarquement.

Partie2 ; 3. Calculer la probabilité que 201 passagers se présentent à l'embarquement, arrondie à 10^{-3} près.

P(X=201) = \dbinom{206}{201}\times0{,}95^{201}\times0{,}05^{5}.
Donc, la réponse est P(X=201)\approx0{,}031 (à 10^{-3} près).

Partie2 ; 4. Calculer P(X\leqslant200), arrondi à 10^{-3} près, puis interpréter ce résultat.

La calculatrice donne P(X\leqslant200)\approx0{,}948 (à 10^{-3} près).
Donc, la réponse est qu'il y a environ 94,8 % de chances qu'au plus 200 passagers se présentent, c'est-à-dire que tous les passagers présents puissent embarquer : il est donc très probable que l'avion ne soit pas en surcapacité.

Partie2 ; 5.a Chaque billet coûte 250 €. Si plus de 200 passagers se présentent, la compagnie doit rembourser le billet et payer une pénalité de 600 € à chaque passager lésé. On note Y le nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu'ayant acheté un billet ; sa loi de probabilité est donnée par P(Y{=}0)=0{,}94775, P(Y{=}1)=0{,}03063, P(Y{=}2)=0{,}01441, P(Y{=}3)=0{,}00539, P(Y{=}4)=0{,}00151, P(Y{=}5)=0{,}00028. Compléter la loi de probabilité en calculant P(Y=6).

Y ne peut prendre que les valeurs 0 à 6 (au maximum 206-200=6 passagers surnuméraires), et la somme de toutes les probabilités d'une loi vaut 1.
P(Y=6) = 1-\big(P(Y{=}0)+P(Y{=}1)+P(Y{=}2)+P(Y{=}3)+P(Y{=}4)+P(Y{=}5)\big).
\begin{aligned}P(Y=6) &= 1-(0{,}94775+0{,}03063+0{,}01441+0{,}00539+0{,}00151+0{,}00028) \\ &= 1-0{,}99997 \\ &= 0{,}00003\end{aligned}
Donc, la réponse est P(Y=6)=0{,}00003.

Partie2 ; 5.b Justifier que C=51\,500-850Y, où C est le chiffre d'affaires de la compagnie sur ce vol.

La compagnie encaisse d'abord la vente des 206 billets, soit 206\times250=51\,500 €.
Pour chacun des Y passagers ne pouvant pas embarquer, elle doit rembourser le billet (250 €) et verser une pénalité de 600 €, soit 250+600=850 € par passager lésé, donc un total de 850Y € à déduire.
Donc, la réponse est C = 51\,500-850Y.

Partie2 ; 5.c Donner la loi de probabilité de C sous forme d'un tableau, puis calculer l'espérance de C à l'euro près.

D'après la relation C=51\,500-850Y et la loi de Y, on obtient les valeurs suivantes : c_0=51\,500, c_1=50\,650, c_2=49\,800, c_3=48\,950, c_4=48\,100, c_5=47\,250, c_6=46\,400 (chacune avec la même probabilité que la valeur y_i correspondante de Y).
Par linéarité de l'espérance, E(C) = 51\,500-850\times E(Y), ou directement E(C)=\sum_i c_i\times P(Y{=}y_i).
\begin{aligned}E(C) &\approx 51\,500\times0{,}94775+50\,650\times0{,}03063+49\,800\times0{,}01441+48\,950\times0{,}00539+48\,100\times0{,}00151+47\,250\times0{,}00028+46\,400\times0{,}00003 \\ &\approx 51\,429{,}25\end{aligned}
Donc, la réponse est E(C)\approx51\,429 € (à l'euro près).

Partie2 ; 5.d Comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement 200 billets et le chiffre d'affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.

En vendant exactement 200 billets (sans risque de pénalité), la compagnie réalise un chiffre d'affaires de 200\times250=50\,000 €.
En pratiquant le surbooking à 206 billets, elle peut espérer un chiffre d'affaires moyen de 51\,429 € (question précédente), soit 1\,429 € de plus.
Donc, la réponse est que le surbooking est en moyenne plus avantageux pour la compagnie que la vente de 200 billets seulement.

PartieA ; 1. Lors de la fabrication d'une paire de lunettes, la paire de verres subit deux traitements T1 et T2. On prélève au hasard une paire de verres dans la production et on note A l'évènement « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 » et B l'évènement « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ». On donne P(A)=0{,}1, P(B)=0{,}2, et la probabilité qu'une paire ne présente aucun des deux défauts est 0{,}75. Recopier et compléter le tableau à double entrée des probabilités (lignes B/\overline{B}, colonnes A/\overline{A}).

On sait que P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right) = 0{,}75, donc, comme la ligne « Total » vaut 1, \begin{aligned}P\left(\overline{B}\right) &= 1-P(B) \\ &= 1-0{,}2 \\ &= 0{,}8\end{aligned} et \begin{aligned}P\left(\overline{A}\right) &= 1-P(A) \\ &= 1-0{,}1 \\ &= 0{,}9\end{aligned}
Dans la ligne \overline{B}, la case A\cap\overline{B} vaut donc \begin{aligned}P\left(\overline{B}\right)-P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right) &= 0{,}8-0{,}75 \\ &= 0{,}05\end{aligned}
Dans la colonne A, le total vaut P(A) = 0{,}1, donc la case A\cap B vaut 0{,}1-0{,}05 = 0{,}05.
Dans la ligne B, la case \overline{A}\cap B vaut \begin{aligned}P(B)-P(A\cap B) &= 0{,}2-0{,}05 \\ &= 0{,}15\end{aligned} on vérifie que la colonne \overline{A} totalise bien \begin{aligned}0{,}15+0{,}75 &= 0{,}9 \\ &= P\left(\overline{A}\right)\end{aligned}
Le tableau complété est donc : ligne B : 0{,}05 (A), 0{,}15 (\overline{A}), 0{,}2 (total) ; ligne \overline{B} : 0{,}05 (A), 0{,}75 (\overline{A}), 0{,}8 (total) ; ligne Total : 0{,}1, 0{,}9, 1.

PartieA ; 2.a Déterminer, en justifiant, la probabilité qu'une paire de verres prélevée au hasard présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2.

L'évènement « la paire présente un défaut pour au moins un des deux traitements » est l'évènement A\cup B, contraire de l'évènement « la paire ne présente aucun des deux défauts », c'est-à-dire \overline{A}\cap\overline{B}.
Donc \begin{aligned}P(A\cup B) &= 1-P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right) \\ &= 1-0{,}75 \\ &= 0{,}25\end{aligned}

PartieA ; 2.b Donner la probabilité qu'une paire de verres prélevée au hasard présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2.

D'après le tableau de la question 1, la probabilité que la paire présente les deux défauts à la fois est directement lue dans la case A\cap B : P(A\cap B) = 0{,}05.

PartieA ; 2.c Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier.

Si A et B étaient indépendants, on aurait P(A\cap B) = P(A)\times P(B).
Or \begin{aligned}P(A)\times P(B) &= 0{,}1\times0{,}2 \\ &= 0{,}02\end{aligned} alors que P(A\cap B) = 0{,}05 (question précédente).
Comme 0{,}02\neq0{,}05, les évènements A et B ne sont donc pas indépendants.

PartieA ; 3. Calculer la probabilité qu'une paire de verres prélevée au hasard présente un défaut pour un seul des deux traitements.

Présenter un défaut pour un seul des deux traitements correspond à l'évènement \left(A\cap\overline{B}\right)\cup\left(\overline{A}\cap B\right), réunion de deux évènements incompatibles.
D'après le tableau de la question 1, P\left(A\cap\overline{B}\right) = 0{,}05 et P\left(\overline{A}\cap B\right) = 0{,}15.
Donc, la probabilité cherchée vaut 0{,}05+0{,}15 = 0{,}2.

PartieA ; 4. Calculer la probabilité qu'une paire de verres prélevée au hasard présente un défaut pour le traitement T2, sachant qu'elle présente un défaut pour le traitement T1.

Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}.
\begin{aligned}P_A(B) &= \dfrac{0{,}05}{0{,}1} \\ &= 0{,}5\end{aligned}

PartieB ; 1. On prélève au hasard un échantillon de 50 paires de verres, assimilé à un tirage avec remise vu la taille de la production. X est la variable aléatoire comptant, dans un tel échantillon, le nombre de paires présentant un défaut pour le traitement T1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

Le prélèvement est assimilé à la répétition de 50 tirages indépendants et identiques, chacun ayant deux issues : la paire présente le défaut T1 (probabilité P(A)=0{,}1) ou non.
X compte le nombre de succès (le défaut T1) parmi ces 50 répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli : X suit donc une loi binomiale de paramètres n=50 et p=0{,}1, notée X\sim\mathcal{B}(50~;~0{,}1).

PartieB ; 2. Donner l'expression permettant de calculer la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, exactement 10 paires de verres présentant ce défaut. Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à 10^{-3}.

P(X=10) = \dbinom{50}{10}\times0{,}1^{10}\times0{,}9^{40}.
La calculatrice donne P(X=10)\approx 0,015 au millième près.

PartieB ; 3. En moyenne, combien de paires de verres présentant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de 50 paires ?

Le nombre moyen de paires présentant le défaut correspond à l'espérance de X, qui vaut \begin{aligned}E(X) &= n\times p \\ &= 50\times0{,}1 \\ &= 5\end{aligned}
Donc, en moyenne, on trouve 5 paires de verres présentant ce défaut dans un échantillon de 50 paires.

1.Le directeur d'une grande entreprise a proposé à tous ses salariés un stage de formation à un nouveau logiciel, suivi par 25 % des salariés. Parmi les 52 % de femmes de l'entreprise, 40 % ont suivi le stage. On interroge au hasard un salarié et on note F l'évènement « le salarié interrogé est une femme » et S l'évènement « le salarié interrogé a suivi le stage ». a. Donner la probabilité de l'évènement S.

L'énoncé indique directement que le stage a été suivi par 25 % des salariés interrogés au hasard, donc P(S)=0,25.

1.bRecopier et compléter les branches de l'arbre pondéré associé aux évènements F et S.

L'arbre part de la racine avec les branches F (probabilité 0,52) et \overline{F} (probabilité 1-0,52=0,48) ; sous F, les branches S (probabilité 0,40, donnée par l'énoncé) et \overline{S} (probabilité 1-0,40=0,60) ; sous \overline{F}, les branches S et \overline{S} (probabilités encore inconnues à ce stade).

1.cDémontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage vaut 0,208.

On cherche P(F\cap S). D'après la formule des probabilités composées : P(F\cap S) = P(F)\times P_F(S) = 0,52\times0,40 = 0,208.

1.dSachant que la personne interrogée a suivi le stage, quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

On cherche P_S(F)=\dfrac{P(S\cap F)}{P(S)} = \dfrac{0,208}{0,25} = 0,832. Donc, la probabilité que ce soit une femme sachant qu'elle a suivi le stage vaut 0,832.

1.eLe directeur affirme que, parmi les hommes salariés, moins de 10 % ont suivi le stage. Justifier cette affirmation.

D'après la formule des probabilités totales appliquée à S : P(S) = P(S\cap F)+P\left(S\cap\overline{F}\right), donc P\left(S\cap\overline{F}\right) = P(S)-P(S\cap F) = 0,25-0,208 = 0,042.
On cherche P_{\overline{F}}(S) = \dfrac{P\left(S\cap\overline{F}\right)}{P\left(\overline{F}\right)} = \dfrac{0,042}{0,48} = 0,0875.
Comme 0,0875<0,1, l'affirmation du directeur est vérifiée : moins de 10 % des hommes salariés ont suivi le stage.

2.aOn note X la variable aléatoire qui, à un échantillon de 20 salariés choisis au hasard, associe le nombre d'entre eux ayant suivi le stage (l'effectif de l'entreprise est assez grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise). Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par X.

Choisir 20 salariés indépendamment, chacun ayant suivi ou non le stage avec la même probabilité p=P(S)=0,25 (tirage assimilé à un tirage avec remise), constitue la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. X compte le nombre de succès (« a suivi le stage ») : X suit donc la loi binomiale de paramètres n=20 et p=0,25, notée X\sim\mathcal{B}(20~;~0,25).

2.bDéterminer, à 10^{-3} près, la probabilité que 5 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.

P(X=5) = \dbinom{20}{5}\times0,25^5\times0,75^{15} \approx 0,202 (à la calculatrice). Donc, la probabilité que 5 salariés exactement aient suivi le stage vaut environ 0,202.

2.cOn donne un programme Python qui utilise la fonction binomiale(i, n, p) renvoyant P(X=i) pour X\sim\mathcal{B}(n~;~p) : def proba(k): puis P = 0, for i in range(0, k+1): P = P + binomiale(i, 20, 0.25), return P. Déterminer, à 10^{-3} près, la valeur renvoyée par proba(5), et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

La boucle for i in range(0, k+1) cumule les probabilités P(X=i) pour i allant de 0 à k inclus. Donc proba(5) calcule P(X\leqslant5) = \displaystyle\sum_{i=0}^{5}P(X=i). À la calculatrice, P(X\leqslant5)\approx0,617. Dans le contexte de l'exercice, cela signifie qu'il y a environ 61,7 % de chances qu'au plus 5 salariés, sur un échantillon de 20, aient suivi le stage.

2.dDéterminer, à 10^{-3} près, la probabilité qu'au moins 6 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.

L'évènement « au moins 6 salariés ont suivi le stage » est l'évènement contraire de « au plus 5 salariés ont suivi le stage ». Donc P(X\geqslant6) = 1-P(X\leqslant5) \approx 1-0,617 = 0,383. Donc, la probabilité qu'au moins 6 salariés sur 20 aient suivi le stage vaut environ 0,383.

3.Cette question est indépendante des précédentes. Pour inciter les salariés à se former, l'entreprise a décidé d'augmenter de 5 % le salaire des salariés ayant suivi le stage, et de 2 % celui des salariés ne l'ayant pas suivi. Quel est le pourcentage moyen d'augmentation des salaires de l'entreprise dans ces conditions ?

Le pourcentage moyen d'augmentation dépend en réalité de la répartition des salaires entre les deux catégories de salariés (ceux ayant suivi le stage et les autres), et pas seulement des proportions de salariés (25 % et 75 %). Illustrons avec deux répartitions différentes de la masse salariale, à effectifs identiques (25 salariés ayant suivi le stage, 75 ne l'ayant pas suivi, sur un échantillon de 100).
Premier cas : les 25 salariés formés touchent 1000 € et les 75 autres touchent 1200 €. La masse salariale totale avant augmentation est 25\times1000+75\times1200=115\,000 €, soit un salaire moyen de 1150 €. Après augmentation, la masse salariale devient 25\times1000\times1,05+75\times1200\times1,02=118\,050 €, soit un salaire moyen de 1180,50 €. Le coefficient multiplicateur moyen est \dfrac{1180,50}{1150}\approx1,0265, soit une augmentation moyenne d'environ 2,65 %.
Deuxième cas : les 25 salariés formés touchent 1200 € et les 75 autres touchent 1000 €. La masse salariale totale avant augmentation est 25\times1200+75\times1000=105\,000 €, soit un salaire moyen de 1050 €. Après augmentation, la masse salariale devient 25\times1200\times1,05+75\times1000\times1,02=108\,000 €, soit un salaire moyen de 1080 €. Le coefficient multiplicateur moyen est \dfrac{1080}{1050}\approx1,0286, soit une augmentation moyenne d'environ 2,86 %.
Les deux répartitions donnent des pourcentages moyens différents (2,65 % contre 2,86 %) alors que les proportions de salariés formés (25 %) et non formés (75 %) sont identiques. Donc, le pourcentage moyen d'augmentation ne peut pas être déterminé avec les seules données de l'énoncé : il dépend de la répartition des salaires entre les deux groupes.

Partie1 : Stéphanie s'entraîne au basket-ball. Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points, et parmi eux 60 % sont réussis ; les trois quarts restants sont des tirs à trois points, et parmi eux 35 % sont réussis. Elle réalise un tir ; on note D l'évènement « le tir choisi est un tir à deux points » et R l'évènement « le tir est réussi ». 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

L'arbre part de la racine avec les branches D (probabilité 0{,}25) et \overline{D} (probabilité 0{,}75). Sur la branche D, les sous-branches sont R (probabilité 0{,}6) et \overline{R} (probabilité 0{,}4). Sur la branche \overline{D}, les sous-branches sont R (probabilité 0{,}35) et \overline{R} (probabilité 0{,}65).

2.Calculer la probabilité P\left(\overline{D}\cap R\right).

D'après la lecture de l'arbre : P\left(\overline{D}\cap R\right) = P\left(\overline{D}\right)\times P_{\overline{D}}(R) = 0{,}75\times0{,}35 = 0,2625.

3.Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir quelconque est égale à 0{,}4125.

On calcule de même \begin{aligned}P(D\cap R) &= P(D)\times P_D(R) \\ &= 0{,}25\times0{,}6 \\ &= 0{,}15\end{aligned}
Les évènements D et \overline{D} partitionnent l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : P(R) = P(D\cap R) + P\left(\overline{D}\cap R\right) = 0{,}15 + 0{,}2625 = 0,4125, ce qui est le résultat annoncé.

4.Sachant que Stéphanie a réussi son tir, calculer la probabilité qu'il s'agisse d'un tir à trois points (arrondir au centième).

D'après la définition de la probabilité conditionnelle : \begin{aligned}P_R\left(\overline{D}\right) &= \dfrac{P\left(R\cap\overline{D}\right)}{P(R)} \\ &= \dfrac{0{,}2625}{0{,}4125}\end{aligned}
On obtient P_R\left(\overline{D}\right) \approx 0{,}6364, soit, arrondi au centième, 0,64.

Partie2 : Stéphanie réalise une série de 10 tirs à trois points, supposés indépendants ; on rappelle que la probabilité de réussir un tir à trois points vaut 0{,}35. On note X la variable aléatoire comptant le nombre de tirs réussis. 1. Justifier que X suit une loi binomiale, et préciser ses paramètres.

Les 10 tirs sont indépendants et chacun n'a que deux issues possibles (réussi ou raté), avec la même probabilité de succès 0{,}35 à chaque tir : X suit donc une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}35.

2.Calculer l'espérance de X, et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Pour une loi binomiale, E(X) = np = 10\times0{,}35 = 3,5. Cela signifie que, si Stéphanie répète très souvent des séries de 10 tirs à trois points, elle réussira en moyenne 3,5 tirs par série.

3.Déterminer la probabilité que Stéphanie rate 4 tirs ou plus sur cette série de 10 (arrondir au centième).

Rater 4 tirs ou plus sur 10, c'est en réussir au plus 10-4=6 : l'évènement demandé correspond donc à (X\leqslant6).
À la calculatrice, avec X suivant la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}35 : P(X\leqslant6) \approx 0,97.

4.Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus 4 tirs sur cette série de 10 (arrondir au centième).

Rater au plus 4 tirs sur 10, c'est en réussir au moins 10-4=6 : l'évènement demandé correspond donc à (X\geqslant6).
À la calculatrice : P(X\geqslant6) = 1 - P(X\leqslant5) \approx 0,09.

Partie3 : Stéphanie souhaite réaliser une série de n tirs à trois points indépendants, avec n entier naturel non nul, la probabilité de réussir chaque tir restant égale à 0{,}35. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité qu'elle réussisse au moins un tir parmi les n soit supérieure ou égale à 0{,}99.

La probabilité de rater un tir donné vaut 1-0{,}35=0{,}65. Comme les tirs sont indépendants, la probabilité de les rater tous les n vaut 0{,}65^n.
La probabilité de réussir au moins un tir parmi les n est donc l'évènement contraire de « tout rater », de probabilité 1-0{,}65^n.
On cherche le plus petit entier naturel non nul n tel que 1-0{,}65^n \geqslant 0{,}99, c'est-à-dire 0{,}65^n \leqslant 0{,}01.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, cette inégalité équivaut à \ln\left(0{,}65^n\right) \leqslant \ln(0{,}01), soit n\ln(0{,}65) \leqslant \ln(0{,}01).
Comme \ln(0{,}65) < 0, diviser par \ln(0{,}65) inverse le sens de l'inégalité : n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}65)}.
Or \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}65)} \approx 10{,}69, donc le plus petit entier naturel qui convient est n=11 : Stéphanie doit prévoir une série d'au moins 11 tirs.

Partie1 (première méthode) : On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1, muni du repère orthonormé \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}\right). Le point I est le milieu du segment [EF], K le centre du carré ADHE et O le milieu du segment [AG]. On donne I\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right) et K\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right). Le but de l'exercice est de calculer, de deux manières différentes, la distance du point B au plan (AIG). 1. Donner, sans justification, les coordonnées des points A, B et G.

Le repère étant \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}\right) et le cube ayant pour arête 1, on lit directement : A(0~;~0~;~0) (origine du repère), B(1~;~0~;~0) et G(1~;~1~;~1).

2.Démontrer que la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).

Les points A, I, G ne sont pas alignés (I n'est ni sur (AG), ni confondu avec A ou G), donc les vecteurs \overrightarrow{\text{AI}} et \overrightarrow{\text{AG}} forment une base du plan (AIG).
On calcule les coordonnées : \overrightarrow{\text{AI}}\begin{pmatrix}0{,}5 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \overrightarrow{\text{AG}}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, et \overrightarrow{\text{BK}}\begin{pmatrix}0-1 \\ 0{,}5-0 \\ 0{,}5-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0{,}5 \\ 0{,}5\end{pmatrix}.
Le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires à l'aide des coordonnées : \begin{aligned}\overrightarrow{\text{BK}}\cdot\overrightarrow{\text{AI}} &= (-1)\times0{,}5+0{,}5\times0+0{,}5\times1 \\ &= -0{,}5+0+0{,}5 \\ &= 0\end{aligned}
De même, \begin{aligned}\overrightarrow{\text{BK}}\cdot\overrightarrow{\text{AG}} &= (-1)\times1+0{,}5\times1+0{,}5\times1 \\ &= -1+0{,}5+0{,}5 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur \overrightarrow{\text{BK}} est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AIG) : il est donc orthogonal à ce plan tout entier, donc la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).

3.Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (AIG) est 2x-y-z=0.

D'après la question précédente, la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG), donc tout vecteur directeur de (BK) est un vecteur normal à (AIG). Le vecteur \vec{n}=-2\,\overrightarrow{\text{BK}}, de coordonnées \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}, est donc normal à (AIG).
Le plan (AIG) admet donc une équation cartésienne de la forme 2x-y-z+d=0, où d est un réel à déterminer.
Comme A(0~;~0~;~0) appartient au plan (AIG), ses coordonnées vérifient l'équation : \begin{aligned}2\times0-0-0+d = 0 &\iff d = 0 \end{aligned}
Donc, la réponse est qu'une équation cartésienne du plan (AIG) est bien 2x-y-z=0.

4.Donner une représentation paramétrique de la droite (BK).

La droite (BK) passe par B(1~;~0~;~0) et est dirigée par \overrightarrow{\text{BK}}\begin{pmatrix}-1 \\ 0{,}5 \\ 0{,}5\end{pmatrix}.
Donc, la réponse est que (BK) admet pour représentation paramétrique \begin{cases}x=1-t\\y=0{,}5t\\z=0{,}5t\end{cases}, avec t\in\mathbb{R}.

5.En déduire que le projeté orthogonal L du point B sur le plan (AIG) a pour coordonnées L\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right).

On cherche la valeur du paramètre t pour laquelle le point de (BK) a pour coordonnées \left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right) : d'après la représentation paramétrique, 1-t=\dfrac{1}{3} donne t=\dfrac{2}{3}, et on vérifie que 0{,}5\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3} pour les deux autres coordonnées. Le point L de coordonnées \left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right) appartient donc bien à la droite (BK).
On vérifie aussi que L appartient au plan (AIG), d'équation 2x-y-z=0 (question 3) : \begin{aligned}2\times\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3} &= \dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3} \\ &= 0\end{aligned} Les coordonnées de L vérifient donc l'équation du plan.
Le point L appartient donc à la fois à la droite (BK) et au plan (AIG) : c'est le point d'intersection de cette droite et de ce plan. Comme (BK) est orthogonale à (AIG) (question 2), L est donc bien le projeté orthogonal de B sur le plan (AIG).

6.Déterminer la distance du point B au plan (AIG).

La distance de B au plan (AIG) est la distance BL, puisque L est le projeté orthogonal de B sur ce plan. Le repère étant orthonormé, on calcule cette distance à partir des coordonnées de B(1~;~0~;~0) et L\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right) :
\text{BL}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{3}-1\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-0\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-0\right)^2}=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{6}{9}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.
Donc, la réponse est que la distance du point B au plan (AIG) vaut \dfrac{\sqrt{6}}{3}.

Partie2 (deuxième méthode) : On rappelle que le volume V d'une pyramide vaut V=\dfrac{1}{3}\times b\times h, où b est l'aire d'une base et h la hauteur associée. 1.a Justifier que, dans le tétraèdre ABIG, [GF] est la hauteur relative à la base AIB.

Le triangle AIB est inclus dans le plan (ABF), qui est le plan contenant la face avant du cube ABFE (car A, I, B appartiennent tous trois à cette face, I étant le milieu de [EF]).
Comme ABCDEFGH est un cube, l'arête [GF] est perpendiculaire à la face ABFE, donc perpendiculaire au plan (AIB). Le segment [GF] joint le sommet G du tétraèdre au plan de la base AIB en formant un angle droit avec ce plan : c'est donc bien la hauteur du tétraèdre ABIG relative à la base AIB.

1.bEn déduire le volume du tétraèdre ABIG.

Le triangle AIB a pour base [AB], de longueur 1 (arête du cube), et pour hauteur associée la distance de I à la droite (AB), qui vaut ici 1 (même longueur que l'arête [AE], puisque I est le milieu de [EF] à la même hauteur que E et F). Son aire est donc \begin{aligned}b_{\text{AIB}} &= \dfrac{1\times1}{2} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}
La hauteur du tétraèdre relative à cette base est h_{\text{GF}}=\text{GF}=1 (arête du cube).
Donc, la réponse est \begin{aligned}V_{\text{ABIG}} &= \dfrac{1}{3}\times b_{\text{AIB}}\times h_{\text{GF}} \\ &= \dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times1 \\ &= \dfrac{1}{6}\end{aligned}

2.On admet que AI = IG =\dfrac{\sqrt{5}}{2} et que AG =\sqrt{3}. Démontrer que l'aire du triangle isocèle AIG est égale à \dfrac{\sqrt{6}}{4} unité d'aire.

Le triangle AIG est isocèle en I (car AI = IG), donc la hauteur issue de I est aussi la médiane issue de I : elle passe par le milieu O du côté [AG], qui est précisément le point défini dans l'énoncé comme le milieu de [AG].
On calcule la longueur IO à l'aide des coordonnées : I\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right) et O, milieu de [AG] avec A(0~;~0~;~0) et G(1~;~1~;~1), a pour coordonnées O\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right).
\text{IO}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}-0\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}-1\right)^2}=\sqrt{0+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
L'aire du triangle AIG, dont [AG] est la base et [IO] la hauteur associée, vaut donc \begin{aligned}A_{\text{AIG}} &= \dfrac{\text{AG}\times\text{IO}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{aligned}
Donc, la réponse est que l'aire du triangle AIG est bien \dfrac{\sqrt{6}}{4} unité d'aire.

3.En déduire la distance du point B au plan (AIG).

On peut aussi calculer le volume du tétraèdre ABIG en considérant le triangle AIG comme base : la hauteur associée est alors la distance h du point B au plan (AIG), c'est-à-dire la distance cherchée.
D'après les questions précédentes, V_{\text{ABIG}}=\dfrac{1}{6} et A_{\text{AIG}}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}, donc : \begin{aligned}\dfrac{1}{6} &= \dfrac{1}{3}\times A_{\text{AIG}}\times h \\ &= \dfrac{1}{3}\times\dfrac{\sqrt{6}}{4}\times h\end{aligned}
On en déduit \begin{aligned}h &= \dfrac{1}{6}\times\dfrac{3\times4}{\sqrt{6}} \\ &= \dfrac{12}{6\sqrt{6}} \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{6}} \\ &= \dfrac{2\sqrt{6}}{6} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{aligned}
Donc, la réponse est que l'on retrouve bien la distance du point B au plan (AIG) égale à \dfrac{\sqrt{6}}{3}, ce qui confirme le résultat obtenu par la première méthode.